1、第5講數形結合思想在解題中的應用一、知識整合i.數形結合是教學解題中常常利用的思想方式，利用數形結合的方式，很多問題能迎刃而解，且解法筒捷。所謂數形結合，就是按照數與形之間的對應關系，通過數與形的彼此轉化來解決數學問題的一種重要思想方式。數形結合思想通過“以形助數，以教解形”，使亙雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合。2 .實現數形結合，常與以下內容有關：實數與數軸上的點的對應關系；函數與圖象的對應關系；曲線與方程的對應關系；以幾何元素和幾何條件為背景，成立起來的概念，如復數、三角函數等；所給的等式或代數式的結構含有

2、明顯的幾何意義。如等式(x2)2+(yl)2=43 .縱觀連年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方式解決一些抽象的教學問題,可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助教二4 .數形結合的思想方式應用普遍，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函教的值域，最值問題中，在求宣教和三角函數問題中，運用數形結合思想，不僅直觀易發覺解題途徑，而且能避免更雜的計算與推理，大大簡化了蟀題進程。這在解選擇題、埴空題中更顯其優越，要注意培育這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數想圖,以開拓自己的思維視野。二、例題分析例1.若關于x的方程V?+2丘+34=(X內兩根都在-1和3之間，塊的取值范圍。分析：令x

3、)=/+2H+3億其圖象與軸交點的橫坐標就是方程x)=0的解，莊ly=/(x)的圖象可知,要使二根都在-1,3之間,只制(-1)>0,(3)>0,/(-)=f(k)<0同時成立，角軍得一1vAv0,故人e(-1,0)2a例2.解不等式Jx+2>x解：法一、常規解法:或(乂x < 0x + 2>0x>0原不等式等價于(/)x+2Z0x+2>x66LA.-B.-C. D. V332分析：等式*-2)2+),2 =3有明顯的幾何意義，它表坐標平面上的一個圓，圓心為(2, 0),半徑，, = /,(如圖)，而則表示圓上的點(x, y)與坐 x x-0標原

4、點(0, 0)的連線的斜率。如此以來，該問題可轉化為如下幾何問題：動點A 在以(2, 0)為圓心，以6為半徑的圓上移動，求直線。4的斜率的最大值，由圖 可見，當NA在第一象限，且與圓相切時，04的斜率最大，經簡單計算，得最 大值為依60。= V3解(/),得04xv2；解()，得-24xvO綜上可知，原不等式的解集為xl-2<xv0或0<x<2=x-2<x<2法二、數形結合解法：令y、=El,%=為則不等式X的解，就是使y=五短的圖象在必=工的上方的那段對應的橫坐標，如下圖，不等式的解集為3必4xv與而修"J111Jx+2=x,解"(導，不臺=

5、2,x.=2,故不等式的解集為f2<x<2o例3.已知Ocavl,則方程/=llog.xl的實根個數為()A.1個B.2個C.3個D.1個或2個或3個分析：判斷方程的根的個數就是判斷圖象y=與'印限3的交點個數，畫出兩個函數圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選(B)。例4.如果實數小)，滿足。-2)2+)，2=3,則工的最大值為()X7)例5.已矢口，y滿足二十二=1,求)，-3x的最大值與最小值1625分析：對于二元函數y-3x在限定條件二+.=1下求最值問題，常采用1625構造直線的截距的方式來求之。令y-3x=。，貝Ijy=3x+/?,原問題轉化為：在橢

6、圓二十二=1上求一點，使過該點的直線斜率為3,1625且在)，軸上的截距最大或最小，22由圖形知，當直線y=3x+Z?與橢圓L=1相切時，有最大截距與最小1625截距。y=3x+b<x2y2=169/+9的+1加一400=0+-=111625由=(),得6=±13,故y-3x的最大值為13,最小值為-13。人Ifx=3cos8».例6.若集合y)n(0<6<4)>，集合N=(x,y)y=x+b”=3sinS且MflNWO,貝帕的取值范圍為。分析：”=(x,y)x2+y2=9,0<y<1,顯然，M表示以(0,0)為圓心,以3為半徑的圓在x軸

7、上方的部份，(如圖)，而N則表示一條直線，其斜率k=l,縱截距為乩由圖形易知，欲使MANNO,即是使直線y=x+與半圓有公共點，顯然的最小逼近值為-3,最大值為3及，即-3v<3及例7,點M是橢圓二+工=1上一點，它到其中一個焦點”的距離為2,N為25161MR的中點，O表示原點，則IONI=()3A.二B.2C.4D.82分析：設橢圓另一核心為F?,(如圖)，則1"不用"工1=2，而。=5IM£I=2,.IMF21=8又注意到N、O各為MB、F1F2的中點，AON是MBF2的中位線，,IONI=-IMFJ=-X8=42-2若聯想到第二概念，能夠肯定點M的坐

8、標，進而求MR中點的坐標，最后利用兩點間的距離公式求出IONI,但如此就增加了計算量，方式較之顯得有些復雜。例8.已知復數z滿足lz-2-2力=、歷，求z的模的最大值、最小值的范圍。分析：由于反-2-2/1=匕-(2+2/)1,有明顯的幾何意義，它表示復數s對應的點到復數2+2i對應的點之間的距離，因此滿足lz-(2+2/)1=血的復數z對應點Z,在以(2,2)為圓心，半徑為我的圓上，(如下圖)，而Izl表示復數z對應的點Z到原點O的距離，顯然，當點Z、圓心。、點O三點共線時，1/取得最值，IzLiin=及，lmax=3叵,"/的取值范圍為372|例9.求函數v=On'+2的

9、值域。cosx-2解法一（代數法）：Ijlijy=sinAWycosx-2y=sinx+2»cosx-2sinx-ycosx=-2y-2,yy2+1sin(x+(p)=-2y-2一2V2sin(x+(p)=.,而lsin(x+(p)<1l聿/隆1,解不等式得士看士正33函數的值域為匚±=,士立解法二(幾何法)：y=si".的形式類似于斜率公卦=上上cosx-2x2-xxy=2222一表示過兩點R)(2,-2),P(cosx,sinx)的直線斜率cosx-2由于點尸在單位圓£+y2=1上，如圖，顯然，攵毋<y<kp°B設過心的圓

10、的切線方程為y+2=-2).4±。pri,-4d74+47則有=1，解得&=-即&/=-，kx-一必一+13JJT-V7-4+,7”判“古n、kT-4+<y<-函數值域為,3333例10.求函數X=J2/+4+、/6-f的設值。分析：由于等號右端根號內，同為，的一次式，故作簡單換元歷4=?，無法轉化出一元二次函數求最值；倘使對式子平方處置，將會把問題復雜化，因此該題用常規解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個根號，故可采用兩步換元。解：=J2/+4,y=,6/,貝=x+yKx2+2y2=16(0<x<4,0<y<2y2)所給函數化為以為

11、參數的直線方程y=T+，它與橢圓Y+2產=16在第一象限的部份(包括端點)有公共點，(如圖)nun= 141相切于第一象限時，U取最大值y = -x + uX1 +2v2 = 16r=3x2 - 4Hx+ 2iJ - 16 = 0解=0,得=±2用，曰加=2J6*,Wniax=2遙三、總結提煉數形結合思想是解答數學試題的的一種常常利用方式與技能，專門是在解決選擇、填空題是發揮著獨特功效，溫習中要以熟練技術、方式為目標，增強這方而的訓練，以提高解題能力和速度。四、強化訓練見優化設計。【模擬試題】一、選擇題：1 .方程lgx=sinx的實根的個數為()A.1個B.2個C.3個D.4個2

12、.函數)，=lxl與y=x+a的圖象恰有兩個公共點，則實數a的取值范圍是()A.(1,+8)B.(-1,1)C.(,-1JU1>+s)D.(1)U(1»+°o)3 .設命題甲：0cx<3,命題乙：Ixllv4,則甲是乙成立的()A.充分沒必要要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.不充分也沒必要要條件4 .適合物-11=1且argz=。的復數z的個數為()4A.0個B.1個C.2個D.4個5 .若不等式Jx+aNx(a>0)的解集為且一1=%，則a的值為()A.1B.2C.3D.46 .已知復數Z1=3i,-1=2,則%+馬1的最大值為()A.V10-2B

13、.5C.2+V10D.2+2我7 .若2)時，不等式(X-1尸<log,x恒成立，則a的取值范圍為()A.(0,1)B.(L2)C.(1,2D,l,28 .概念在R上的函數y=/(x)在(s,2)上為增函數，且函數y=/(x+2)的圖象的對稱軸為x=0,則()A./(-1)</(3)B./(0)>/(3)c./(-1)=/(-3)D./(2)</(3)二、填空題：9 .若復數z知足回=2,則lz+1il的最大值為(.10 .若/(x)=l+"+c對任意實數t,都有/(2+，)=/(2一)，則/、/(3)、/(4)由小到大依次為,11 .若關于X的方程工2-41

14、工1+5=7有四個不相等的實根，則實數m的取值范圍為12 .函數y=y/x2-2x+2+J/-6x+13的最小值為013 .若直線y=x-z與曲線y=有兩個不同的交點，則實數m的取值范圍是三、解答題：14 .若方程愴(/+3不"?)=lg(3用在0,3上有唯一解，求m的取值范圍。15 .若不等式>(“一1口的解集為a,且AqM)<xv2,求a的取值范圍。16 .設>0且aWl,試求下述方程有解時k的取值范圍。log4*-ak)=log?(x2-a2)【試題答案】一、選擇題1 .C2 .D提示：畫出y=alxl與y=x+a的圖象a>0情形1：=>1a>

15、;,«<0情形2：=v1a<-13 .A4 .C提示：IZ-1I=1表示以（1,0）為圓心，以1為半徑的圓，顯然點Z對應的復數知足條件argz=。，另外，點。對應的復數O，因其幅角是多值，它也知足argz=V，故知足44條件的z有兩個°5 .B提示：畫出)，=Jx+ay=x的圖象，依題意y/a+a=a=>a=0或2。夕="百6 .C提示：由11=2可知，Z2對應的點在以(0,0)為圓心，y八PQ3.1)_,而Q+Z2ITZ2(-&)1=泛2-(3+1)1表示復數0與-3+i對應的點的距離，結合圖形，易知，此距離的最大值為：1Poi+r=&

16、quot;(一30)2+(10)2+2=710+27 .C提示：令乃=(x-l)2,y2=logx,若a>l,兩函數圖象如下圖所示，顯然當xe(l,2)時，flm=-a,n=a,從而以2為半徑的圓上，要使BV)，2，只需使log42之(21/，即442,綜上可知當1<。<2時，不等式“一1)2vlog'X對xe(L2)恒成立。若兩函數圖象如下圖所示，顯然當X£(l,2)時，不等式(工一1)2<logaX恒不成立。可見應選C8. A提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個單位而取得的，又知f(x+2)的圖象關于直線x=0(即y軸)對稱，故可

17、推知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，由f(x)在(YQ,2)上為增函數，可知，f(x)在(2,+8)上為減函數，依此易比較函數值的大小。二、填空題：9. 2+V2提示：21=2表示以原點為原心，以2為半徑的圓，即知足21=2的復數Z對應的點在圓O上運動，(如下圖)，而lz+l-il=lz(-1+i)I表示復數Z與-1+i對應的兩點的距離c由圖形，易知，該距離的最大值為亞+2。10. /(1)</(4)</(-3)提示：由/(2+，)=/(2-。知，人心的圖象關于直線乂=2對稱，又/(x)=f+法+c為二次函數，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知/(I)、/(3)、

18、/(4)的大小。11. ine(L5)提示：設y=,d4IM+5y2=m,畫出兩函數圖象示用意，要使方程x2一4I.VI+5=機有四個不相等實根，只需使1V加512. 最小值為工提示：對&_2x+2=J(l)2+1=J(X-l)2+(l_0)2,聯想到兩點的距離公式，它表不點(x,1)到(1,0)的距離，Jx-6x+13=J(x-3廠+(13)表示點(X,1)到點(3,3)的距離,于是y=Jx-2x+2+Jx-6x+13表示動點(x,1)到兩個定點(1,0)、(3,3)的距離之和，結合圖形，易患以皿=6。13. me(/2,1提示：y=x-m表示傾角為45°,縱截距為一m的直線方程，而y=，1一,1則表示以(0,0)為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部份(包括圓與x軸的交點)，如下圖所示,顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距一機£口，金),即"2 £(-/2 1 ©三、解答題:14.解：原方程等價于-x2+3x一?>03-x>00<x<3-x2+3x-？=3-x-x2 + 3x - m > 00 < x &