1、第五節橢圓A組基礎題組1.已知方程+=1 表示焦點在y 軸上的橢圓 ,則實數 k 的取值范圍是 ()A.B.(1,+)C.(1,2)D.2.(2017 黑龍江齊齊哈爾一中期末)已知橢圓的焦點在x 軸上 ,離心率為,直線 x+y-4=0與 y 軸的交點為橢圓的一個頂點,則橢圓的方程為 ()A.+=1B.+=1C.+ =1D. +=13.矩形 ABCD 中 ,|AB|=4,|BC|=3,則以 A,B 為焦點 ,且過 C,D 兩點的橢圓的短軸的長為()A.2B.2C.4D.44.設橢圓 + =1的焦點為 F1,F2,點 P在橢圓上 ,若 PF1F2是直角三角形 ,則 PF1F2的面積為()A.3B.

2、3 或C.D.6或35.已知橢圓+=1(0<b<2) 的左 ,右焦點分別為F1,F2,過 F1的直線l交橢圓于 A,B兩點 ,若|BF 2 |+|AF2| 的最大值為 5,則 b 的值是 ()A.1B.C.D.6.已知橢圓的中心在原點, 焦點在 x軸上 , 離心率為, 且過點 P(-5,4),則橢圓的標準方程為.7.已知橢圓C 的中心在原點 ,一個焦點為 F(-2,0),且長軸長與短軸長的比是2 ,則橢圓 C 的方程是.8.橢圓+=1 的左 ,右焦點分別為 F1,F2,點 P 在橢圓上 ,若|PF 1 |=4, 則 F1PF2 的大小為.9.已知橢圓的兩焦點為(1)求此橢圓的方程;

3、(2)設直線 l:y=x+m, 若F1 (-,0),F2(l 與此橢圓相交于,0),離心率 e=.P,Q 兩點 ,且 |PQ| 等于橢圓的短軸長,求m 的值 .10.已知橢圓 + =1(a>b>0),F 1,F2 分別為橢圓的左 ,右焦點 ,A 為橢圓的上頂點 ,直線 AF2 交橢圓于另一點 B.(1)若 F1AB=90 °,求橢圓的離心率;(2)若=2,· = ,求橢圓的方程.B組提升題組11.已知橢圓 C:+=1的左 ,右焦點分別為F1,F2,橢圓C 上的點A 滿足AF 2 F1F2.若點P 是橢圓C上的動點,則·的最大值為()A.B.C.D.12

4、.如圖 ,已知橢圓C 的中心為原點|PF|=4, 則橢圓 C 的方程為 ()O,F(-2,0)為C 的左焦點,P 為C 上一點 ,滿足 |OP|=|OF|,且A.+=1B.+=1C.+=1D.+=113.(2016 江蘇 ,10,5 分 )如圖 ,在平面直角坐標系xOy 中 ,F 是橢圓+=1(a>b>0)的右焦點,直線y=與橢圓交于B,C 兩點 ,且 BFC=90°,則該橢圓的離心率是.14.設 F1,F2 分別是橢圓 C: +=1(a>b>0) 的左 ,右焦點 ,點 P 在橢圓 C 上 ,線段 PF1 的中點在 y 軸上 ,若 PF1F2=30 °

5、;,則橢圓 C 的離心率為.15.(2016云南檢測 )已知焦點在 y 軸上的橢圓 E 的中心是原點 O,離心率等于,以橢圓 E 的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4.直線 l:y=kx+m 與 y 軸交于點 P,與橢圓 E 相交于 A 、B 兩個點 .(1)求橢圓 E 的方程 ;(2)若=3,求 m2 的取值范圍 .答案全解全析A組基礎題組1.C 方程+=1 表示焦點在y 軸上的橢圓 ,所以解得故 k 的取值范圍為 (1,2).2.C設橢圓的方程為+=1(a>b>0), 由題意知解得所以橢圓的方程為+ =1.3.D依 題 意 得 |AC|=5,橢 圓 的 焦 距 2c=|AB|

6、=4,長 軸 長 2a=|AC|+|BC|=8,所以短軸長2b=2=2=4 .4.C 由橢圓的方程知a=2,b=,c=1,當點 P 為短軸端點 (0,)時 , F1PF2= , PF1F2 是正三角形 ,若 PF1F2是直角三角形,則直角頂點不可能是點 P,只能是焦點 F1(或 F2),此時|PF 1|=,=× ×2= .故選 C.5.D由橢圓的方程可知a=2, 由 橢 圓 的 定 義 可 知 ,|AF 2|+|BF2|+|AB|=4a=8, 所 以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|) 3,由橢圓的性質可知 ,過橢圓焦點的弦中,垂直于焦點所在坐標軸的弦最短 ,則=3.

7、所以 b2=3, 即 b= .6.答案+=1解析由題意設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0). 由離心率 e=可得 a2=5c2,所以 b2 =4c2 ,故橢圓的方程為+=1, 將 P(-5,4)代入可得 c2=9, 故橢圓的方程為+=1.7.答案+=1解析設橢圓C 的方程為+=1(a>b>0).由題意知解得 a2=16,b 2=12.所以橢圓 C 的方程為+=1.8.答案120 °解 析由 橢 圓 定 義 知 ,|PF 2|=2,|F 1 F2|=2 ×=2. 在 PF1F2中,由余弦定理,得cos F1PF2 =- , F1 PF2=120 &#

8、176;.9.解析(1)設橢圓方程為+=1(a>b>0), 由題意知 c= , =,所以 a=2,則 b=1,所求橢圓方程為+y 2=1.(2)由消去 y,得22-1)=0,則2225x +8mx+4(m=64m-4× 5× 4(m-1)>0,整理 ,得 m <5(*).設 P(x1 ,y1),Q(x2,y2 ),則 x1+x 2=-,x1x2=,y1-y2=x 1-x2,|PQ|=2.解得m=±,滿足 (*),所以m=±.10.解析(1) F1AB=90°,則 AOF 2 為等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即 b=

9、c. 所以a=c,所以e= =.(2)由題知x=,y=- ,即A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中B.c=, 設B(x,y).由=2, 得 (c,-b)=2(x-c,y), 解 得將 B 點坐標代入+=1, 得+=1, 即+ =1, 解得a2=3c2.又由· =(-c,-b) ·= ,得 b2-c2=1, 即由 解得 c2=1,a2=3,從而有 b2=2.所以橢圓的方程為+=1.a2-2c2 =1 .B組提升題組11.B由橢圓方程知 c=1, 所以 F1(-1,0),F2(1,0),因為橢圓 C 上的點 A 滿足 AF 2 F1F2 ,所以可設 A(1,y0

10、),代入橢圓方程可得= ,所以 y0=± .設 P(x1,y1), 則=(x 1+1,y1),又=(0,y0),所以· =y 1 y0,因為點 P 是橢圓 C 上的動點 ,所以 - y1 ,故· 的最大值為,選 B.12.B設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0), 焦距為 2c,右焦點為F',連接 PF',如圖所示 .因為F(-2,0)為 C 的左焦點,所以c=2. 由 |OP|=|OF|=|OF'|知 ,FPF'=90 °,即 FP PF'. 在Rt PFF' 中 , 由 勾 股 定 理 ,

11、得 |PF'|=8.由橢圓定義,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,所以 a=6,a2=36,于是 b2 =a2-c2=36-(2)2 =16,所以橢圓的方程為+ =1.13.答案解析由已知條件易得B,C,F(c,0), =,=,由 BFC=90°,可得· =0,所以+=0,c2- a2+b2=0,即 4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即 3c2=2a2,所以= ,則 e= =.14.答案解析如圖 ,設 PF1 的中點為M,連接 PF2.因為 O 為 F1 F2 的中點 ,所以 OM 為 PF1F2 的中位線 .所以 OM PF2 ,所以 PF2

12、F1= MOF 1=90 °.因為 PF1F2=30 °,所以 |PF 1|=2|PF2|.由勾股定理得 |F 1F2|= |PF 2|,由橢圓定義得2a=|PF 1 |+|PF 2|=3|PF2| ?a=,2c=|F 1 F2|=|PF 2| ?c=,則 e= =·=.15.解析(1)根據已知設橢圓E 的方程為+=1(a>b>0),由已知得=, c=a,b2=a 2-c2=. 以橢圓 E 的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4,4=2a=4, a=2, b=1. 橢圓E 的方程為x2+=1.(2)根據已知得P(0,m),設 A(x 1,kx1+m),B(x 2,kx2+m),由得 ,(k2+4)x 2+2mkx+m2-4=0.由已知得=4m2k2-4(k2+4)(m2 -4)>0,即 k2 -m2+4>0,由一元二次方程的根與系數的關系知,x1+x 2=,x1x2=.由 =3 得 x1=