1、2011年高考數(shù)學一輪復習資料第十四章圓錐曲線與方程整體感知網(wǎng)錐曲線標準方程情圓定義幾何性質出線9圓錐曲線的位置關系熱點點擊：高考圓錐曲線試題一般有 3題（1個選擇題，1個填空題，1個解答題）,共計22分左右，考查的知識點 約為20個左右.其命題一般緊扣課本，突出重點，全面考查？選擇題和填空題考查以圓錐曲線的基本概念和性質為主，難度在中等以下，一般較容易得分，解答題常作為數(shù)學高考中的壓軸題，綜合考查學生數(shù)形結合、等價轉換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力，重點考查圓錐曲線中的重要知識點：通過知識的重組與鏈接，使知識形成網(wǎng)絡，著重考查直線與圓錐曲線的位置關系，往往結合平面向量進行求解，在復習 應

2、充分重視。高考命題趨勢：圓錐曲線是高中數(shù)學的一個重要內容，它的基本特點是數(shù)形兼?zhèn)洌嫒莶膳c代數(shù)、三角、幾何知識相溝通，歷來是高考的重點內容。縱觀近幾年高考試題中對圓錐曲線的考查，基本上是兩個客觀題，一個主觀題，分值 20分，并且主要體現(xiàn)出以下幾個特點：1 ?圓錐曲線的基本問題，主要考查以下內容： 圓錐曲線的兩種定義、標準方程及a、b、c、e、p五個參數(shù)的求解.圓錐曲線的幾何性質的應用.2、求動點軌跡方程或軌跡圖形在高考中出現(xiàn)的頻率較高，此類問題的解決需掌握四種基本方法：直譯法、定義法、相關點法、參數(shù)法.3?有關直線與圓錐曲線位置關系問題，是高考的重熱點問題，這類問題常涉及圓錐曲線的性質和

3、直線的基本知識以及線段中點、弦長等，分設而不求”的方法、對稱的方析這類問題時，往往要利用數(shù)形結合思想和法及韋達定理，多以解答題的形式出現(xiàn)4?求與圓錐曲線有關的參數(shù)或參數(shù)范圍問題，是高考命題的一大熱點，這類問題綜合性較大，運算技巧要幾何、函數(shù)、不等式的綜合，特別近年出現(xiàn)的解析幾何與平面向量結合的問題，是常考常新的試題，將是今后高考命題的一個趨勢.高考復習建議：1 圓錐曲線的定義、標準方程及幾何性質是本章的基本內容?復習中對基本概念的理解要深， 對公式的掌握要活， 充分重視定義在解題中的地位和作用， 重視知識間的內在聯(lián)系?橢圓、雙曲線、拋物線它們都可以看成是平面截圓錐所得的截線，其本質是統(tǒng)一的？因

4、此這三種曲線可統(tǒng)一為“一個動點P到定點F和定直線 I 的距離之比是一個常數(shù)e 的軌跡”，當0v ev 1 e= 1 e> 1 時 , 分別表示橢圓、拋物線和雙曲線. 復 習中有必要將橢圓、拋物線和雙曲線的定義，標準方程及幾何性質進行歸類、比較，把握它們之間的本質聯(lián)系，要學會在知識網(wǎng)絡交匯處思考問題、解決問題.2 ?計算能力的考查已引起高考命題者的重視， 這一章的復習要注意突破“運算關”， 要尋求合理有效的求較高；尤其是與平面向量、平面解題途徑與方法.3?加強直線與圓錐曲線的位置關系問題的復習，注重數(shù)形結合思想和設而不求法與弦長公式及韋達定理的運用.4?重視圓錐曲線與平面向量、函數(shù)、方程、

5、不等式、三角、平面幾何的聯(lián)系，重視數(shù)學思想方法的訓練，達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程的目的.第 1 講橢圓【知識精講】（一） 橢圓及其標準方程1.點M的軌跡橢圓的定義：平面內與兩個定點Fi、F2的距離的和等于常數(shù) 2a （大于| Fi F2I）的動叫做橢圓，橢圓的定義中，平面內動點與兩定點Fi、F2的距離的和大于IRF2I這個條件不可忽視.若這個距離之和小于| Fi F2I,則這樣的點不存在；若距離之和等于I Fi F2i ，則動點的軌跡是線段Fi F2.y2 =1 ( a > b >0), ab22. 橢圓的標準方程：x32ax2 = 1 ( a > b >0) .a

6、2b23. 橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大小：如果x2項的分母大于y2項的分母,則橢圓的焦點在x 軸上，反之，焦點在y 軸上 .4.求橢圓的標準方程的方法：正確判斷焦點的位置；設出標準方程后，運用待定系數(shù)法求解(二 ) 橢圓的簡單幾何性質2 2設橢圓方程為芻 a > b > 0) . 范圍： -a < xw a, -b < x< b, 所以橢圓位于直線x= _ a 和 y= _ ba2 b 2所圍成的矩形里? 對稱性：分別關于x 軸、 y 軸成軸對稱，關于原點中心對稱. 橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.頂點：有四個A (-a , 0)、A(a

7、,0)B(0,-b )、B2(0, b).線段A A、B,B分別叫做橢圓的長軸和短軸?它們的長分別等于2a 和 2b, a 和 b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長?所以橢圓和它的對稱軸有四個交點它的值表示橢圓的扁平程度c稱為橢圓的頂點?(4)離心率：橢圓的焦距與長軸長的比e叫做橢圓的離心率.0 vev 1.e 越接近于1 時，橢圓越扁；反之,e 越接近于0 時，橢圓就越接近于a(三 )橢圓的第二定義C定義：平面內動點M與一個頂點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù).、e ( ev 1 =時，這a個動點的軌跡是橢圓2 2 2 準線：根據(jù)橢圓的對稱性， AB7八7 = 1 ( a > b

8、 > 0)的準線有兩條，它們的方程為x = 一.對a b2 2 2于橢圓 與 ?篤 =1 ( a > b > 0)的準線方程，只要把x 換成 y 就可以了，即y 二一丈 .a bc3. 橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點與其焦點所連的線段叫做這點的焦半徑2 2設 Fi(-c ,0), F2 (c,0)分別為橢圓 務？ £=1 ( a > b > 0)的左、右兩焦點，M( x ,y) 是橢a b圓上任一點，則兩條焦半徑長分別為MF1 =a+ex , MF2 =a-ex .橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往比較簡便橢圓的四個主要元素 a、b、c、e中有a2

9、 = b2 + c； e=涮個關系，因此確定橢圓的標準方程只需兩個獨立條件x = a cost（0為參數(shù)） y = bsin v說明這里參數(shù)0叫做橢圓的離心角？橢圓上點P的離心角0與直線OP的傾斜角a 不同：tan=-ta nr a(四)橢圓的參數(shù)方程2 2橢圓冷？么=1( a > b > 0)的參數(shù)方程為a2 b2 橢圓的參數(shù)方程可以由方程2 2'A1與三角恒等式曲 7于八1相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質是三角代換【基礎梳理】1 .橢圓的定義平面內到兩定點F1、F2距離之和為常數(shù)2a () 的點的軌跡叫橢圓？有| PF1|+| PF2|=2 a.在定義中，當 時，

10、表示線段 F1F2;當 時，不表示任何圖形.2 .橢圓的標準方程2 2x y1) )2=1 (a > b> 0),其中 a2=b2+c2,焦點坐標為 . a b2 2x y2) )2=1 ( a>b>0),其中 a2=b2+c2,焦點坐標為b af x =o小p六 0為參數(shù)，a> b>0).3) 中心在,原點，焦點在x軸上的橢圓的參數(shù)方程(l y =2 2x y4) 橢圓一 A =1 ( a>b>0)的幾何性質a b(1)范圍：|x| w a,| y| w b,橢圓在一個矩形區(qū)域內；對稱性：對稱軸 x=0, y=0,對稱中心qo , 0)；一般規(guī)

11、律：橢圓有兩條對稱軸，它們分別是兩焦點的連線及兩焦點連線段的中 垂線,短軸長| BB|二(3)頂點：A1(-a,0),A2( a,0),B1(0,- b), B2(0, b),長軸長 |AA|= ;一般規(guī)律：橢圓都有四個頂點，頂點是曲線與它本身的對稱軸的交點(4)離心率：e=_(0 vev1),橢圓的離心率在 內，離心率確定了橢圓的形狀(扁圓狀態(tài)).當離心率越接近于時 ， 橢圓越圓 ； 當離心率越接近于時，橢圓越扁平【要點解讀】要點一橢圓的概念及標準方程【例1.求適合下列條件的橢圓的標準方程:(1)兩個焦點的坐標分別是(/,0 )、(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10 ; ( 2)

12、兩個焦3 5l點的坐標分別是(0,-2 ) 、 (0, 2 )，并且橢圓經(jīng)過點(-,)；(3)焦點在x軸上，a:b = 2:1, c二-b ；2 23 5(4)焦點在y軸上，a2 bA5 ,且過點(-邁，。)；(5)焦距為b, a - b =1 ；(6)橢圓經(jīng)過兩點(-了才，(3.5 )【命題立意】若查了橢同的方程的求解，熟悉其性質【標準解析】T橢圓的焦點在重軸上，故設需圓的標準方程為=i (a>b>。, a b2 2=10 ? A = 4) i2 =df 2 -c2 = 9 ?所從 US圓的標誰萬程一+ =1. 25 9(2)橢匾焦點在軸上，故設帽同的標準方程處冬+冷“ <

13、a>2>>0) , a b由橢圓的定義知Q1+ (言丁)匕灰皿C = 2F /.滬-y-J-10-4-6,所以橢圓的標準方程次/ + X -1.10 6(3)=a2 - b2c2 = 6 r又由a b2A代入得4護-護=6,二滬=2, 口卞=8,又朋點去軸匕 所從幗的標準方程為右號設橢圓方程為言舌言丁 1,務12 2所以，橢圓的標準方程為 H 1 .32(5).焦距為 6,二 c 二 3, a - b = c2 2 2=9,又.a - b 二 1,二 a 二 5,b 二 4所以，橢圓的標準方程為一y 1或二、1.5 1625 16F (- 2 . 3, 0),且長軸長是短軸長

14、的2倍，則該橢圓的2 2x V(6)設橢圓方程為1 ( m, n .0m n2 2所以，橢圓方程為-1 ?10 6【誤區(qū)警示】求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義，【答案】略【變式訓練】已知橢圓中心在原點，一個焦點為標準方程是3 25 2(-才 2 (2) 2=1n 得 m = 6, n = 10 由 m35彳1 m n還要知道橢圓中一些幾何要素與橢圓方程間的關系(2)橢圓的中心為點 E(_1,0),它的一個焦點為F(_3,0) ，相應于焦點F的準線方程為x=-,則這個A. 22 土巫十.213【標準解析】(1)已知=(2)橢圓的中心為點2(x 1)2 竺21I a =2b, c = 2 3 2 2

15、 2a -b cE(-1,0),它的一個焦點為皿 y2=1b2 =4Ia 2 =16F (-2 '3,0)F(-3,0),半焦距C = 2,相應于焦點F的準線方程為=5C 2,a2=5,b2=1,則這個橢圓的方程是【技巧點撥】 橢圓的方程是(1.當遇到與焦點距離有關的問題時首先應考慮用定義解題？若橢圓上的點到焦點的距離；否則應用第一定義轉化成到另焦點的距離來解決.離直接處理較困難，且問題中有一個與離心率相關的系數(shù)時應用第二定義轉化成點到相應的準線的距2 ?求橢圓的標準方程主要有定義法、待定系數(shù)法，有時還可根據(jù)條件用代入法？用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟是：(1) 作判斷：根據(jù)條件判斷

16、橢圓的焦點在x 軸上，還是在y 軸上，還是兩個坐標軸都有可能2 2 2 2 設方程：根據(jù)上述判斷設方程2q與=1( a>b>0)或二a bb 找關系：根據(jù)已知條件，建立關于a、b、c的方程組.(4)得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求 .特別警示當橢圓焦點位置不明確而無法確定標準方程時，可設為也可設為 Ax2 + By = 1( A>0, B>0 且 Am B).=1(a>b>0).2 2x y=1( m>0, n>o, mu n), m n【例2】？在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，2,焦點到相應準線的距離為1,則該橢圓的離要點

17、二橢圓的性質運用(B)-(C)2心率為【命題立意】本題重點考查了橢圓的基本性質。2 2【標準解析】不妨設橢圓方程為篇？乙=1( a b 0)a2 b2選Bo【誤區(qū)警示】準線方程和離心率的準確記憶和運用。【答案】B【變式訓練】2010年大綱全國I理(16)已知F是橢圓C的一個焦點，uu UIT長線交C于點D,且BF =2FD ,則C的離心率為2【答案】-3【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù)形結合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質可尋求到簡化問題的捷徑(D)2、2且一-八1 ,據(jù)此求出 cB是短軸的一個端點，線段【

18、解析】如圖，|BF bc2二a,作DD_, 一 y軸于點D1,則由BF =2FD ,得.2e=BF的延uir匹旦二蟲2,所以 | DD11 |BD| 33回臨陽寧，3c,整理 a2亦3c即XD,由橢圓的第二定義得|FD| = e(22小2a 3c3c尸a 又由 | BF 2 | FD |，得 c = 2ac 22a00得 3c - 2a ? ac=0.兩邊都除以a，得3e飛-2=0,解得e -1(舍去)，或e =【技巧點撥】掌握橢圓的基本性質即可。要點三、橢圓定義以及性質的綜合運用22【例3】已知點P(3, 4)是橢圓x+y2 = 1(a>b>0)上的一點，F(xiàn)i、F?是它的兩焦點，

19、若PFPF2,求：a 2 b2(1)橢圓的方程；(2) PF1F2的面積.【命題立意】橢圓的方程以及性質的靈活運用【標準解析】：(1)法一：令Fi( C, 0), F2(C, 0) - PFi ± PF2,kpF*pF2= 1即-A - A = -1,解得c= 5 橢圓的方程為3 c 3 -c2x-I a?點P (3, 4)在橢圓上，解得 a2= 45 或 a2 = 5 又 a> c,. a2= 5 舍去.2 2故所求橢圓的方程為一y 14520法二：利用 PF1F2是直角三角形，求得c= 5(以下同方法一一)(2)由焦半徑公式：| PF1 |= a+ ex= 3(5 -1 J

20、 X3= 4 J53J5G4a| PF2 |= a ex= 3 ,5 5 X3 = 2 .5 /? S pa = -| PF 1 | IPF2 |=3A522X4 .5 >2 5 = 20【誤區(qū)警示】1)求離心率一般是先得到 a, b, c的一個關系式，然后再求e； 2)由橢圓的一個短軸端點一個焦點，中心0為頂點組成的直角三角形在求解橢圓問題中經(jīng)常用到；(3)運用橢圓的定義結合三角形中位線定理，使題目得證。2 2【變式訓練】變式訓練 2：已知P (X0,y。)是橢圓 務T(a>b>0)上的任意一點 a bF 1> F2是焦點,求證：以PF2為直徑的圓必和以橢圓長軸為直徑

21、的圓相內切證明設以PF2為直徑的圓心為A,半徑為r.T F1、F2為焦點，所以由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a, |PF2|=2r?|PF|+2r=2a ,即|PF1=2 (a r)連結OA,由三角形中位線定理，知1 1|OA|=| PF 1 |2(a - r)二 a - r.2 2故以PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相內切【技巧點撥】巧用定義解決問題2 2【例4】如圖，設E：篤？與=1 （a>b>0）的焦點為F,與F2,且P E,. F.PR=2二。求證：.PF1F2a b的面積S =b2 tan v。【命題立意】定義的運用1【標準解析】設PFAri, PF 2 =r

22、 2,則S= 2sin2日，又FiFA2c ,2由余弦定理有（2c）22 -2 叩 2 cos2v - (r i r 2)2 -2 叩 2 -2r ir2 cosA2 2 2(2a) _2 訂 2(1 cos2T)二 2r ir2 (1 cos2 日勺=4a - 4c【誤區(qū)警示】解與 或余弦定理，并結合=PFF2（P為橢圓上的點）有關的問題，常用正弦定理=4b2 二門 r2 二2b2cos2八這樣即有2b2cos2 J2 2 sin ) cos- sin 2)- b 2 cd 二PP-| P桎=2a來解決。【變式訓練】已知橢圓的焦點是Fi(- 1,0) ,F2(1,0),P 為橢圓上的一點，且

23、 |F1F2I 是|PFi| 和|PF2| 的等差中項。（1）求橢圓方程;(2)若點P在第三象限，且/ P FiF2=12 0 0,求tan / FiPF2【標準解析】解:,C=10 二(1)由題設 2|FiF2|=|PF i|+|PF 2|2a=4,. ? . b=3。？ ？?橢圓方程為-y 14(2)設/ FiPR= 0 ,則/PFa Fi=600- 0 ,由正弦定理并結合等比定理可得到| 市 2 1 =IPF2I =|PFj 二si nrsin 120 0IPF2I+IPF iIsi n(6O 0 -巧 si n120 0 si n(6O0 一-巧?化簡可得5sin v - . 3(1 'COS),二 tan -2 1+cosT 53 ，一 ，,從而可求得tan / FiPE=5-3o11【技巧點撥】解與P F1F2有關的問題（P為橢圓上的點）常用正弦定理或余弦定理,并且結合 IPFiI+IPF 2l=2a來求解。【高考新動向】 橢圓是一種重要的圓錐曲線，是高考的必考內容 ？橢圓的定