1、解三角形知識點匯總及典型例 題-自己匯總的作者:日期:2知識點復習1正弦定理及其變形解三角形知識點總結及典型例題2R （R為三角形外接圓半徑）sin A sin B sin C(1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c2RsinC （邊化角公式）(2) si nA 皂,si nB 邑,si nC2R2R2（角化邊公式）(3) a:b: c si nA:si nB:si nC(4)a snA,a sin-A bsin B c sin Csin Bsin C2、正弦定理適用情況:（1）已知兩角及任一邊（2）已知兩邊和一邊的對角（需要判斷三角形解的情況）已知a，b和A,求B時的解的情況：如果si

2、 nA si nB，則B有唯一解；如果si nA如果sin B 1，貝U B有唯一解；如果si nB 1，3、余弦定理及其推論2 ab22 cb22 a2 a2bccosAcosAk2accos B 1 z cosB2abcosCcosC（2）已知三邊.2 c2 cb2sin B1，乍.則B無解.222bca2bca2c2b22ac2.22abc則B有兩解;2ab余弦定理適用情況：）已知兩邊及夾角； 常用的三角形面積公式(1)S ABC(2)SABC2absinC11-bcsinA -casinB (兩邊夾一角)226、三角形中常用結論(1)a b c,b ca, ab（即兩邊之和大于第三邊，

3、兩邊之差小于第三邊）(3)在ABC中，A 在 ABC中, A.A Bsin 2BB CC A cos, cos2b si nA si n B(即大邊對大角，大角對大邊).，所以 sin (A B) si nC ； cos(A B) cosC ； tan(A B) tanC.B . CSin .2 210二、典型例題 題型1邊角互化例1 在ABC中，若【解析】由正弦定理可得sin A: si nB:s inC 3:5:7, a: b :c 3:5:7 ,令 a、b、則角C的度數為c依次為3、5、7 ,2.2 2貝 y cosC = ac-2ab32 5272 =12 3 52因為0C ，所以CA

4、BC 的三邊，f (x) b2x2(b2 2 2c a )x c ,則函數f (x)的圖象與x軸()有兩個交點B 、有一個交點C 、沒有交點、至少有一個交點【解析】由余弦定理得 b2 c2 a22 2f(x) b x 2bccosAgx2bccos A,所以2 2 c = (bx ccos A) c2 2 c cos2 2 2 2A ,因為 cos A 1,所以 c c cos A 0 ,因此f (x)0恒成立，所以其圖像與 x軸沒有交點。題型2三角形解的個數例3在 ABC中，分別根據下列條件解三角形，其中有兩解的是A a 7, b 14, A 30 ;B、b 25, cD a 46 , bC

5、、b 4, c 5 , B 30 ;題型3面積問題ABC的一個內角為1200,并且三邊構成公差為4, x, x 4,例4【解析】設 ABC的三邊分別:/ C=120,.由余弦定理得: ABC三邊分別為6、10、(x14,2 24) (x 4)1 .1Svabcab sin C622題型4判斷三角形形狀10例 5在 ABC 中，已知(a2 b2) sin(A B)【解析】把已知等式都化為角的等式或都化為邊的等式。方法一：a2si n(A B) sin (A B) b2 sin(A B)2 22a cos Asi nB 2b cos B si nA()30 , C示,B150 ;60。4的等差數列

6、，貝y ABC的面積為2x(x 4)cos1200，解得：x 10 ,b2) sin (A B),判斷該三角形的形狀。sin(A B)由正弦定理，即知 si n2AcosAs in B sin2 B cos B si nAsin Asin B(sin A cos A sin B cos B)0sin2A sin2B由 02A,2B2 ，得 2A 2B或 2A2B,即ABC為等腰三角形或直角三角形方法二：同上可得 2a2cosAsin B 2b2 cosBsin A2 2 2由正、余弦定理，即得：a2bc a2bc2 2 .2b (a c b )2b )0b2,2 2 , 2 .2 a c b

7、b a2aca2(b2 c2 a2)即(a2 b2)(c2 a2a b 或 c2a2即ABC為等腰三角形或直角三角形【點撥】判斷三角形形狀問題，一是應用正弦定理、余弦定理將已知條件轉化為邊與邊之間的關系，通過因式分解等方法化簡得到邊與邊關系式，從而判斷出三角形的形狀;（角化邊）二是應用正弦定理、余弦定理將已知條件轉化為角與角之間三角函數的關系,通過三角恒等變形以及三角形內角和定理得到內角之間的關系，從而判斷出三角形的形狀。 題型5正弦定理、余弦定理的綜合運用（邊化角）例6在 ABC中，a,b,c分別為角A.B,C的對邊，且si nA si nCpsin B( pR)且 ac-b245(1)當P

8、 -b 1時，求a,c的值;4（2）若角B為銳角，求p的取值范圍。【解析】（1）由題設并由正弦定理，得 a5 ,ac41一，解得，4三、課堂練習:（2）由余弦定理，b2 a2c22ac cos B = (a c)1COS B，因為 02cosB 1，所以 p2a1,c或a 4422ac2ac cos B(7,2)，由題設知p1,c2P b所以1、滿足A 45，a 2的 ABC的個數為m，則am為卻21 2一 b cos B22、已知a 5,b30，解三角形。3、ABC中，已知a4 cm , bx cm，A 60，如果利用正弦定理解三角形有兩解，則x的取值范圍是（）A X 4 B、C、 4 x4

9、、ABC中，若S1(a24b2c2),則角C5、R是 ABC外接圓的半徑,2R(si n2A si n2C) “ab） sin B，試求 ABC面積的最大值。6、5ABC 中，D 為邊 BC上一點，BD 33，sinB 133，cos ADC -,求 AD .57、ABC中，已知a,b,c分別為角A,B,C的對邊，若 旦bcos B，試確定 ABC形狀。cos A8、在 ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，已知cosA 2cosC cosB(1)求sin A若cosB1,b 2,求ABC的面積。4四、課后作業ABC中，若(aA等邊三角形C、直角三角形b c)(b c a)3bc,且 sin A 2sinBcosC，則B、鈍角三角形D等腰直角三角形2c abABC是2c )則角CABC中若面積S=1(a2 b243、清源山是國家級風景名勝區，山頂有一鐵塔AB，在塔頂A處測得山下水平面上一點 C的俯角為，在塔底B處測得點C的俯角為，若鐵塔的高為h2、m，則清源山的高度為4、A、C、h sin cossin( )h sin sinsin( )ABC的三個內角為 A B、C，求當5、在