1、直線與平面所成的角和二面角（一）教學(xué)目的：1 .理解并掌握斜線在平面內(nèi)的射影、直線和平面所成角的概念2 .根據(jù)概念先找直線射影后確定線面夾角從而熟練求解直線和平面所成角.3 .培養(yǎng)化歸能力、分析能力、觀察思考能力和空間想象能力等4 .培養(yǎng)立體感、數(shù)學(xué)美感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)特別是立體幾何的興趣.教學(xué)重點(diǎn)：線面夾角的概念及利用概念分步求夾角.教學(xué)難點(diǎn)：直線和平面所成角的概念及 cos cos 1 cos 2的應(yīng)用.授課類(lèi)型：新授課. 課時(shí)安排：1課時(shí). 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 . 內(nèi)容分析：本節(jié)有三個(gè)知識(shí)點(diǎn)：直線與平面所成的角、二面角、兩平面垂直的性質(zhì).要求學(xué)生掌握直線和平面、平面和平面所成的

2、角、距離的概念.并能靈活運(yùn)用勾股定理、正余弦定理和向量代數(shù)方法計(jì)算有關(guān)的角和距離.了解異面直線距離的概念和計(jì)算.在學(xué)生已初步掌握向量工具的基礎(chǔ)上，可用向量工具解決立體幾何中的一 些較難的問(wèn)題，一方面可進(jìn)一步顯示向量工具的威力，另外也為解決空間的度 量問(wèn)題找到了通法，減少學(xué)生學(xué)習(xí)度量問(wèn)題的困難.過(guò)去學(xué)生解這類(lèi)問(wèn)題，主要方法是構(gòu)造三角形，應(yīng)用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解,這種解法需要對(duì)圖形進(jìn)行平移、投影等轉(zhuǎn)化技能，而且不同的問(wèn)題需要不同的技巧,實(shí)踐證明，沒(méi)有向量工具，學(xué)生求解這類(lèi)問(wèn)題比較困難.有了向量運(yùn)算工具，很多較難的空間計(jì)算問(wèn)題，就有了統(tǒng)一的方法求解、但如果全用向量處理夾角相距離問(wèn)題， 雖

3、有通法，但有時(shí)在解決一些較難問(wèn)題時(shí)，運(yùn)算量較大并需要一定的技巧，學(xué) 生掌握這些技能同樣會(huì)有困難.所以在教材具體編寫(xiě)時(shí)，不是都用向量計(jì)算方 法，有些直接使用勾股定理和三角能解決的問(wèn)題，就不再使用向量方法了.教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1.平面幾何中，點(diǎn)、線段在直線上射影的概念及性質(zhì)：2.直線和平面的位置關(guān)系(平行、相交和直線在平面內(nèi))二、講解新課：1 .斜線，垂線，射影垂線 自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影.這個(gè)點(diǎn)和垂OB足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段.斜線一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這A個(gè)平面的斜線.斜線和平面的交點(diǎn)叫 斜足；斜線上一點(diǎn)與斜足間

4、的線 段叫這點(diǎn)到這個(gè)平面的 斜線段.射影過(guò)斜線上斜足外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影.垂足和斜足間線段叫這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段在這個(gè)平面內(nèi)的射影直線與平面平行，直線在平面由射影是一條直線.直線與平面垂直射影是點(diǎn).斜線任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上.2 .射影長(zhǎng)相等定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線中 射影相交兩條斜線相交；射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng) 相等的斜線段射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng) 垂線段比任何一條斜線段都短 .OB=OCAB=AC OB OC ABAC AB=AC OB=OC AB AC OB OC OAAB, OA AC3 .直線

5、和平面所成角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角.一直線垂直于平面，所成的角是直角 .一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0角直線和平面所成角范圍：0,2(2)定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角證明：設(shè)平面的一條斜線l在 內(nèi)的射影為l ,角是l與l所成的角.直線OD是平面 內(nèi)與l不同的任意一條直線， 過(guò)點(diǎn)l上的點(diǎn)A引AC垂直于ODA0APABAOAB.AP所以 cos 1 cos 2AO ABAP AOABAPcos垂足為C因?yàn)锳B<AC一,AB AC所以 ,即 sin sin AOC,因此 AOC

6、.AO AO4.公式已知平面 的斜線a與 內(nèi)一直線b相交成。角，且a與 相交成 i角,a在 上的射影c與b相交成 2角，貝U有cos i cos 2 cos用幾何法研究:在平面 的斜線a上取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別作直線c、b的垂線PO、PB, 垂足為0、B.連接0B,則OB±b.在直角 AOP中，cos 1在直角 ABC中，cos 2在直角 ABP中，cos所以cos 1 cos 2 cos 成立*用向量運(yùn)算研究：如圖，AP是平面 的斜線，A是斜足，PO垂直于平面，O為垂足,則直線AO是斜線在平面 內(nèi)的射影.設(shè)AB是平面內(nèi)的任意一條直線，且OB AB ,垂足為B ,又設(shè)AP與AO所成角為

7、1, AB與AO所成角為AP與AB所成角為，則易知：uur uuruur uuruuu| AO| | AP|cos 1 , |AB| |AO|cos 2 | AP | cos 1 cos 2uuu uur又 |AB| | AP | cos ,可以得至k cos cos 1 cos 2 ,則同樣可以得到：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成角，是這條斜線和這個(gè) 平面內(nèi)的任一條直線所成角中最小的角；、講解范例:例1 .如圖，已知AB是平面 的一條斜線，B為斜足，AO,0為垂足，BC為 內(nèi)的一條直線，ABC 60o, OBC 450,平面所成角.解：: A0 ,由斜線和平面所成角的定義可知，ABO為AB

8、和所成角，又: cos cos 1 cos 2 ,-1 cos ABOcos ABCcos CBOcos60o12.2一o一一一cos 45222BAO 45°,即斜線AB和平面 所成角為45°.例2.如圖，在正方體 AC1中，求面對(duì)角線 AB與對(duì)角面BB1D1D所成的角.解法一：連結(jié) AG與B1D1交于O ,連結(jié)OB ,DD1 A1C1，B1D1 AjC1，AO 平面 BB1D1D , A1BO是A1B與對(duì)角面BB1D1D所成的角，一1一 C在 Rt A1BO 中，AO -A1B, ABO 30。2解法二：由法一得ABO是A1B與對(duì)角面BBQQ所成的角,Po .2 B1B

9、,6又 cos A1 BB1 cos45 , cos B1BO -,2BO32 _ cos ABO cos ABB1 ,A1BO 30o .cos B1BO _623說(shuō)明：求直線與平面所成角的一般方法是先找斜線在平面中的射影，后求斜線與其射影的夾角另外，在條件允許的情況下，用公式cos cos 1 cos 2求線面角顯得更加方便解法三：建立空間直角坐標(biāo)系，用向量計(jì)算例3.已知空間四邊形 ABCD的各邊及對(duì)角線相等，求 AC與平面BCD所成 角的余弦值一解：過(guò)A作AO 平面BCD于點(diǎn)O , AB AC AD , O是正三角形設(shè)四面體的邊長(zhǎng)為 a ,則CO a ,3APB=PC=V2 BC,.31

10、221731 AD與平面PBC所成角的余弦值為,21731四、課堂練習(xí)：1 .選擇題(1) 一條直線和平面所成角為0 ,那么。的取值范圍是(A) (0q90o)(B) 0o,90o(C) 0o,180o)(D)0o,180o)AOC 90°,， ACO即為AC與平面BCD所成角, cos ACO X3,所以，AC與平面BCD所成角的余弦值為3例 4 如圖，已知 API BP, PAX PC, / ABP=/ACP=60o,是BC中點(diǎn)，求AD與平面PBC所成角的余弦值.解： APXBP, PAXPC, API PBC連PD,則PD就是AD在平面PBC上的射影 / PDA就是AD與平面P

11、BC所成角又. / ABP=Z ACP=60o, PB=PC=V2bC, D 是 BC 中點(diǎn),PD= BC , PA= 66 BCAD=2PD cos PDAAD(2)兩條平行直線在平面內(nèi)的射影可能是兩條平行線；兩條相交直線;一條直線；兩個(gè)點(diǎn).上述四個(gè)結(jié)論中，可能成立的個(gè)數(shù)是(A) 1 個(gè)(B) 2 個(gè)(C) 3 個(gè)(D)(3)從平面外一點(diǎn) P引與平面相交的直線，使 P點(diǎn)與交點(diǎn)的距離等于 1,則滿足條件的直線條數(shù)不可能是()(A)。條或1條(B)。條或無(wú)數(shù)條(C) 1條或2條(D)0條或1條或無(wú)數(shù)條答案：(1) B (2)C (3)D2 .填空題(1 )設(shè)斜線與平面所成角為0 ,斜線長(zhǎng)為l ,

12、則它在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)是.(2)一條與平面相交的線段，其長(zhǎng)度為10cm,兩端點(diǎn)到平面的距離分別是 2cm, 3cm,這條線段與平面所成的角是 .(3)若(2)中的線段與平面不相交，兩端點(diǎn)到平面的距離分別是2cm, 3cm,則線段所在直線與平面所成的角是.0110答案：(1) l cos (2) 30(3) arcsin3 .若P為ABC所在平面外一點(diǎn)，且 PA=PB=PC,求證點(diǎn) P在/ABC所在平 面內(nèi)的射影是ABC的外心.分析：斜線段長(zhǎng)相等，則射影長(zhǎng)也相等.從而由PA=PB=PC,點(diǎn)P的射影到ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以射影為ABC的外心.五、小結(jié)：我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面的斜線、射影和直線與平面成角的幾個(gè)概念，射影定理中的三個(gè)結(jié)論成立的前提是這些斜線段及垂線段必須是從平面外同一點(diǎn)向平面所引而得到的.否則，結(jié)論不成立.線面夾角的概念及解題步驟：先找垂線，后找射影最后確定夾角D1在具體解題時(shí)，關(guān)鍵是求斜線在平面內(nèi)的射影f/p7六、課后作業(yè) ：A廠.B1在正方體ABCD-A 1B1C1D1中，E、F分別是AA1、A1D1 的中點(diǎn)，求：E D_,一(1) DB與面AC所