1、 冪級數(shù)就是將無窮多個冪函數(shù)相加。冪級數(shù)的理論是對函數(shù)進(jìn)行研究的重要工具，在數(shù)值計算、微分方程求解中都有應(yīng)用。 冪級數(shù)的研究主要包括三個方面的問題： (1)冪級數(shù)的收斂域； (2)冪級數(shù)求和； (3)將函數(shù)展開成冪級數(shù)。 本章包括三節(jié)。第一節(jié)介紹冪級數(shù)的概念和收斂域的求法。第二節(jié)，介紹冪級數(shù)求和的方法，其實就是等比級數(shù)求和。第三節(jié)介紹函數(shù)的冪級數(shù)展開方法。 給出一個冪函數(shù)列 其中，an為常數(shù)，n = 0,1,2。 ,2210nnxaxaxaa將冪函數(shù)列的所有項都加起來 02210nnnnnxaxaxaxaa稱上述冪函數(shù)列的和為冪級數(shù)。 當(dāng)x取定值x0，冪級數(shù)成為數(shù)值級數(shù) 。00nnnxa例例1

2、7.1.1給出冪函數(shù)列 將冪函數(shù)列的所有項都加起來，得冪級數(shù) ,11,121,111,12nxnxx 021111,1211111nnnxnxnxx當(dāng)x取定值 ，冪級數(shù)成為數(shù)值級數(shù) 。2102111nnn若數(shù)值級數(shù) 收斂，稱冪級數(shù) 在x0處收斂， 00nnnxa0nnnxax0稱為冪級數(shù)的收斂點。 若數(shù)值級數(shù) 發(fā)散，稱冪級數(shù) 在x0處發(fā)散， 00nnnxa0nnnxax0稱為冪級數(shù)的發(fā)散點。 例例17.1.2給出冪級數(shù) 0nnx當(dāng)x取定值 ,冪級數(shù)成為數(shù)值級數(shù) ,此數(shù)值級數(shù)收斂。21021nn故冪級數(shù) 在 處收斂， 是冪級數(shù)的收斂點。0nnx21x21x當(dāng)x取定值2,冪級數(shù)成為數(shù)值級數(shù) ,此數(shù)

3、值級數(shù)發(fā)散。02nn故冪級數(shù) 在 處收斂，是冪級數(shù)的發(fā)散點。 0nnx2x足條件|x|1的點,都是收斂點;所有滿足條件|x|1的點,都是發(fā)散點。由于冪級數(shù) 對每個x 都是等比級數(shù),公比為x, 所以所有滿0nnx冪級數(shù)的所有收斂點的集合，叫冪級數(shù)的收斂域； 冪級數(shù)的所有發(fā)散點的集合，叫冪級數(shù)的發(fā)散域。 這個例子中，冪級數(shù)的收斂域，是關(guān)于原點對稱的區(qū)間；發(fā)散域是位于這個對稱區(qū)間兩側(cè)的兩個半無窮區(qū)間。 冪級數(shù) 的收斂域為滿足不等式 | x | 1的集合,即開區(qū)間 (-1,1) ；發(fā)散域為滿足不等式 | x | 1 的點的集合，即0nnx(-,-1 1,+)，見圖17.1-1。 x圖17.1-1001

4、下面將看到，這是冪級數(shù)收斂域與發(fā)散域的共同特征。 求冪級數(shù)的收斂域，也就是求冪級數(shù)所有收斂點的集合。 由任意項級數(shù)收斂的比值判斂法，若有極限 |lim11xrxaxannnnn則 不等式r | x | 1的解集，為發(fā)散點集。 在使 r | x | = 1的兩點處，比值判斂法失效，一般用交錯級數(shù)的萊不尼茲判別法確定其斂散性。若收斂，就歸到收斂集合中，若發(fā)散就歸到發(fā)散集合中，然后就可回答收斂域和發(fā)散域是什么。 冪級數(shù)的收斂域，是關(guān)于原點對稱的一個區(qū)間，可能包括端點，也可能不包括端點。稱收斂區(qū)間的半徑，為冪級數(shù)的收斂半徑。 注意，單純從收斂半徑上，看不出收斂域是否包括端點。 (1)例例17.1.4求

5、冪級數(shù) 的收斂域和收斂半徑。 112) 1(nnnnnx|lim11nnnnnxaxanxnxnnnnn2) 1(2lim11x21所以，當(dāng) ，即-2 x 2級數(shù)發(fā)散。 1|21x(2)在端點x = -2， 級數(shù)成為 ，是發(fā)散的； 11nn在端點x = 2，級數(shù)成為 ，是條件收斂的。 111) 1(nnn(3).所以, 2 , 2(2) 1(11的收斂區(qū)間為級數(shù)nnnnnx收斂半徑r=2.因為 例例17.1.5求級數(shù) 的收斂域。 0!nnnx0) 1(limlim11nxxaxannnnnn所以級數(shù)的收斂域為(-, +)，收斂半徑r = +。 (1)例例17.1.6.202的收斂區(qū)間求級數(shù)nn

6、nx2221)1(21|2121lim22limlimxxxxuunnnnnnnnn;2,2|,1|21,022絕對收斂級數(shù)時即當(dāng)所以nnnxxx.2,2|,1|21022發(fā)散級數(shù)時即當(dāng)nnnxxx(2) 原級數(shù)成為1 + 1 + 1 + + 1 + ,是發(fā)散的.,2時當(dāng)x(3) 。)2,2(故原級數(shù)的收斂區(qū)間為令 x-2 = t，則原級數(shù)變?yōu)?，一般形式通過變量替換 冪級數(shù)的一般形式為 00)(nnnxxa可化為我們已經(jīng)熟悉的形式 ，在這種形式下進(jìn)0nnnta行研究，然后再將研究結(jié)果反變換到級數(shù) 上。 00)(nnnxxatxx0例例17.1.7 。 的收斂域求冪級數(shù)12)2(nnnx02n

7、nnt由 2|22lim|lim111tttuunnnnnnnn ，即| t | 2，級數(shù)絕對收斂。 12|t，級數(shù)發(fā)散。 12|t當(dāng) t = 2，級數(shù)成為 ，發(fā)散； 022nnn當(dāng) t = -2，級數(shù)成為 ，發(fā)散； 0) 1(nn即，|x -2 | 2，即 0 x 4，級數(shù)收斂； |x -2 | 2，即 x 0 或 x 4，級數(shù)發(fā)散。 若本題如下求解則更直接： 2|2|2)2(2)2(lim|lim111xxxuunnnnnnnn 級數(shù)當(dāng)| t | 2，級數(shù)絕對收斂，| t | 2，級數(shù)發(fā)散。 所以，當(dāng) 0 x 4，級數(shù)收斂； x = 0 時，級數(shù)成為 ，發(fā)散； 0) 1(nn x = 4

8、時，級數(shù)成為 ，發(fā)散。 01n當(dāng)|x -2 | 2，級數(shù)發(fā)散。 當(dāng) ，即|x -2| 2，級數(shù)發(fā)散。 12|2|x 當(dāng) ，即 x = 0 或 x = 4 時： 12|2|x 級數(shù)求和是很麻煩的，能夠求和的情況很少。我們介紹以下三種情況。 當(dāng)冪級數(shù)可以表示為等比級數(shù)，此時冪級數(shù)可以直接求和。這個和是x的函數(shù)，稱為冪級數(shù)的和函數(shù)，簡稱為冪級數(shù)的和。 例例17.2.1求冪級數(shù) 的和與收斂域。 0nnx冪級數(shù) 為等比級數(shù),公比q = x,所以冪級數(shù)的和為 0nnx(1) 收斂域為不等式| x | 1的解集，即開區(qū)間 (-1,1)。 xxnn110收斂域為開區(qū)間 (-2,2)。 例例17.2.2求冪級數(shù)

9、 的和與收斂域。 02nnx冪級數(shù) 為等比級數(shù),公比 ,所以冪級數(shù)的和為 02nnx2xq xxxnn2221120解不等式 ，得 -2 x 2 。 12x例例17.2.3求冪級數(shù) 的和與收斂域。 nnnx03冪級數(shù) 為等比級數(shù), 公比q =3x ,所以冪級數(shù)的和為nnnx03xxnnn31130解不等式 | 3x | 1，得 。 3131x收斂域為開區(qū)間 。 31,31冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)(不包括端點)，有 冪級數(shù)是無窮多個冪函數(shù)的和，是一個無窮和。對于函數(shù)的無窮和，“和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和”、“和的積分等于積分的和”這兩條性質(zhì)一般不再成立。但對于冪級數(shù)，這兩條性質(zhì)仍然成立。即 00nnnnn

10、nxadxdxadxd即：和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和。 例如 02012012121121nnnnnnxxndxdxndxd冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)(不包括端點)，有 即：和的積分等于積分的和。 例如 0000nxnnxnnndttadtta 01001000011nnnxnnxnxnnnxntdttdtt 冪級數(shù)在求導(dǎo)或積分后，收斂區(qū)間的端點處的斂散性可能改變。因此，在使用這兩條性質(zhì)進(jìn)行冪級數(shù)求和時，我們約定，不考慮端點處的情況，這樣可以省去很多麻煩。 雖然冪級數(shù)本身不是等比級數(shù)，但求導(dǎo)后的冪級數(shù)卻成為等比級數(shù)，此時可對冪級數(shù)求導(dǎo)以后再求和，然后將和積分，得到原級數(shù)的和。 我們用例子來說明這個過程。

11、例例17.2.4 。 的和求冪級數(shù)012121nnxn冪級數(shù)本身不是等比級數(shù),但求導(dǎo)后的冪級數(shù)卻成為等比級數(shù) 02nnx，公比q = x2。 設(shè) 012121)(nnxnxs兩端求導(dǎo)得 即 02012121)( nxnnxxnxs02012121)( nxnnxxnxs1|1122xxnxxx2421211)( xxs注意到，s(0) = 0 所以 兩邊從0到x積分 dttdttsxx02011)( xxttts0011ln21)(xxsxs11ln21)0()(1|,11ln21121)(2012xxxxnxsnn 雖然冪級數(shù)本身不是等比級數(shù)，但積分后的冪級數(shù)卻成為等比級數(shù)，此時可對冪級數(shù)積

12、分以后再求和，然后將和求導(dǎo)，得到原級數(shù)的和。 設(shè) 兩邊從0到x積分 11)(nnnxxs1|1)()(1101010 xxxxtdtntdttsnnnxnnxnx兩邊求導(dǎo) 1|)1 (11)(2xxxxxs即 1|)1 (1211xxnxnn例例17.2.5 。的和求冪級數(shù)11nnnx冪級數(shù)本身不是等比級數(shù)，但積分后的冪級數(shù)卻成為等比級數(shù) ,公比q = x。 1nnx怎樣把一個函數(shù)f (x)表示為冪級數(shù)。 上節(jié)我們討論怎樣求一個冪級數(shù)的和函數(shù)。這一節(jié)我們討論相反的問題： 把函數(shù)f (x)表示為冪級數(shù)，也稱為將f (x)“展開成”冪級數(shù)。 在下面的討論中，我們將用表示f (x)的n階導(dǎo)數(shù)，特別，

13、表示f (x)的0階導(dǎo)數(shù)，也就是函數(shù)f (x)本身。為 n階導(dǎo)數(shù)在0處的值。 假設(shè)函數(shù)f (x)能展成冪級數(shù)，即 0)(nnnxaxf= a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + + an xn + 則 f (0)(0) = f (0) = a0 = 0! a0 (為便于找規(guī)律，把1寫成0! ) 所以 !0)0()0(0fa (1) 由 f (1)(x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + + n an xn-1 + f (1)(0) = a1 = 1! a1 (為便于找規(guī)律，把1寫成1! ) 所以 (2) ! 1)0()1(1fa 由 f (2)(x) = 21a2

14、+ 32a3 x + + n (n-1) an xn-2 + f (2)(0) = 2! a2 由 f (3)(x) = 321 a3 + + n (n-1) (n-2) an xn-3 + f (3)(0) =3! a3 所以 (3) !2)0()2(2fa 所以 (4) !3)0()3(3fa 從(1)、(2)、(3)、(4)式中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了規(guī)律： , 2, 1, 0!)0()(nnfann(5) 于是我們有 nnnxnfxf0)(!)0()(6) (6)式稱為函數(shù)f (x)在點0處的泰勒展開式。 類似的，可得函數(shù)f (x)在點x0處的泰勒展開式為 通常，人們把(7)式叫做f (x)的

15、泰勒展開式，而把(6)式叫做f (x)的麥克勞林展開式。在這里我們就不分那么細(xì)了，都稱為泰勒展開式。 稱冪級數(shù) (8) 為f (x)的泰勒級數(shù)。 nnnxxnxfxf)(!)()(000)(7) nnnxxnxf)(!)(000)( 當(dāng)我們計算了f (x)的各階導(dǎo)數(shù)，就可寫出泰勒級數(shù)(8)。但我們還不能寫出f (x)的泰勒展開式(7)，因為還有兩個問題要確定： 一是冪級數(shù)(8)的收斂域是什么？二是冪級數(shù)(8)在其收斂域上是否就收斂到f (x)? 只有在冪級數(shù)(8)收斂到f (x)的區(qū)域上(7)式才成立。 這些問題過于復(fù)雜，我們就不過問了。可以證明，本節(jié)所給出的泰勒展開式都是正確的，你可以放心使

16、用。 對f (x) = ex有 xnexfxfxf )()()()()1()0(所以 1)0()0()0()()1()0( nfff于是 nxxnxxe!1!2112nnxn0!1對f (x) = sinx有 2sin)()(nxxfn (見例4.4.7) 2sin)0()(nfn, 2 , 1 , 0n于是，當(dāng)n是偶數(shù)，n = 2k， 0sin22sin)0()2(kkfk當(dāng)n是奇數(shù)，n = 2k+1 2) 12(sin)0()12(kfkkk) 1(2sin于是 0)(!)0(sinnnnxnfx120)!12() 1(kkkxk 通過計算f (x)的各階導(dǎo)數(shù)將f (x)展成冪級數(shù)的方法，

17、通常稱為直接展開法。 我們也可以借用已知的展開式，通過求導(dǎo)與積分，求出待展函數(shù)的展式。這種方法，通常稱為間接展開法。 由 012)!12() 1(sinkkkkxxx上式兩邊導(dǎo)：012)!12() 1()(sinkkkkxdxdxdxd012)!12() 1(kkkkxdxd所以，xkxxkkk02)!2() 1(cos證明：xixeixsincos解：nnixixne)(!101202202!) 12(!)2(kkkkkkxkiixki12020!) 12() 1(!)2() 1(kkkkkkxkixkxixsincos 這是一個很重要的公式，它把復(fù)數(shù)的三角形式，與指數(shù)形式聯(lián)系起來，這使我們在求解一些問題時