1、2.2 導數的運算法則導數的運算法則 0 和、差、積、商的求導法則和、差、積、商的求導法則0 反函數、復合函數的求導法則反函數、復合函數的求導法則一、和、差、積、商的求導法則一、和、差、積、商的求導法則定理定理并且并且可導可導處也處也在點在點分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導處可導在點在點如果函數如果函數,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu證證(3)(3),0)( ,)()()(

2、xvxvxuxf設設hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導處可導在在xxf推論推

3、論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfcxcf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf例題分析例題分析例例1 1.sin223的導數的導數求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的導數的導數求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的導數的導數求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2co

4、s)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的導數的導數求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5.sinh的導數的導數求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh .,1csc2. 12yxxy 求求補充題補充題).(,0),

5、1ln(0,)(. 2xfxxxxxf 求求設設3. 設函數設函數 f(x)在在 x=0的某鄰域內可導的某鄰域內可導,且且).0(f 求求,3)(lim0 xxfx4. 求證求證:雙曲線雙曲線 x y = a2 (a0)上任一點處切線與坐標軸上任一點處切線與坐標軸構成的三角形面積為常數構成的三角形面積為常數.解解2., 1)( xf,0時時當當 x,0時時當當 x,11)(xxf ,0時時當當 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf222)1(csc2)1(cotcsc2xx

6、xxxxy 222)1(2)1(cotcsc2xxxxx 解解1.解解3. . 3)(lim)0()(lim)0(, 0)0()(lim),(3)(:,3)(lim0000 xxfxfxfffxfxoxxfxxfxxxx由由極極限限與與無無窮窮小小的的關關系系解解4. 證明證明: 在曲線上任曲一點在曲線上任曲一點(x,y), )(:),(22xxxayyyx 的的切切線線方方程程為為過過點點.222121)0 ,(), 0(:22222222222aayxxaxaayxxxaysayxxxay 切切線線與與坐坐標標軸軸的的交交點點為為222,xayxay 二、反函數的導數二、反函數的導數定理定

7、理.)(1)(,)(,0)()(yxfixfyyiyxxy 且有且有內也可導內也可導在對應區間在對應區間那末它的反函數那末它的反函數且且內單調、可導內單調、可導在某區間在某區間如果函數如果函數即即 反函數的導數等于直接函數導數的倒數反函數的導數等于直接函數導數的倒數.證證,xix 任取任取xx 以以增增量量給給的單調性可知的單調性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連續連續xf),0(0 xy0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xixxx 例例1 1.arcsin的導數的導數求函數求函數xy 解解,

8、)2,2(sin內單調、可導內單調、可導在在 yiyx, 0cos)(sin yy且且內有內有在在)1 , 1( xi)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例2 2.log的導數的導數求函數求函數xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(內有內有在在 xi)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(內單調、可導內單調、可導在在 yyiax特別地特別地.1)(lnxx hxhxyaahlog)(logli

9、m0 xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .ln1log1axexa 三、復合函數的求導法則三、復合函數的求導法則定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導數為且其導數為可導可導在點在點則復合函數則復合函數可導可導在點在點而而可導可導在點在點如果函數如果函數即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導, ,等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導量求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(.(鏈式法則鏈式法則) )證證,)(0可可導導在在點點由由uufy )(lim00u

10、fuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設設.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導數為的導數為則復合函數則復合函數 例例3 3.sinln的導數的導數求函數求函數xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例4 4.)1(102的導數的導數求函數求函數 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092

11、 xx例例5 5.arcsin22222的導數的導數求函數求函數axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例6 6.)2(21ln32的導數的導數求函數求函數 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例7 7.1sin的導數的導數求函數求函數xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx , ,求求y y ( ( /2)./2).xxy22cos1cos1 2222)cos1(s

12、incos2)cos1()cos1(sincos2xxxxxxxy 22)cos1(2sin2xx , , y y ( ( /2)=0./2)=0.例例8 8例例9 9xnxynsinsin xxnnxxnxnynncossinsinsincos)1( xnxnxnxxnxxnnn)1sin(sin)cossinsin(cossin11 .,arctan1arctanyeeyxx 求求已知已知xtwxvutwyvuyy 21解：解：222111)1(11xteeuwv 221arctan21111)1(11xxeeexxx xxxxtgxxxctansec)(secsec)(cos)(sin0

13、)(2 1.常數和基本初等函數的導數公式（常數和基本初等函數的導數公式（p94）xxxxctgxxxxxcotcsc)(csccsc)(sin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)(11)(arccosxarcctgxxx 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函數的和、差、積、商的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則設設)(),(xvvxuu 可導，則可導，則（1） vuvu )(, （2）uccu

14、)(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數是常數) )c 3.反函數、復合函數的求導法則反函數、復合函數的求導法則.)(1)(,)(,0)()(xxfixfyyiyxxy 且有且有內也可導內也可導區間區間在對應在對應那末它的反函數那末它的反函數且且內單調、可導內單調、可導在某區間在某區間如果函數如果函數反函數的求導法則反函數的求導法則（注意成立條件）（注意成立條件）;).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或導數為導數為的的則復合函數則復合函數而而設設利用上述公式及法則初等函數求導問題可完全利用上述公式及法則初等函數求導問題可完全解決解決.注意注意: :初等函數的導數仍為初等函數初等函數的導數仍為初等函數.復合函數的求導法則復合函數