1、曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分復習復習 課課 主要內容主要內容 例題例題 各種積分之間的聯絡各種積分之間的聯絡一、主要內容一、主要內容1 1、曲線積分、曲線積分1 1概念概念 LdsMf)(第一類第一類第二類第二類 LdxMf,)( LdyMf,)( LdzMf)(2 2兩類曲線積分的聯絡兩類曲線積分的聯絡 sddst0ds)cos,cos,(cos ),(dzdydx 3 3計算計算直接計算法直接計算法第一類：從小參數到大參數；第一類：從小參數到大參數；第二類：從起點參數到終點參數。第二類：從起點參數到終點參數。化為對化為對L L的定位參數的定積分。的定位參數的定積分。留意：留意：先化

2、簡；先化簡；間接計算法間接計算法用兩類曲線積分的聯絡；用兩類曲線積分的聯絡；用用GreenGreen公式及其推論、公式及其推論、StokesStokes公式公式. .第二類與定向有關。第二類與定向有關。 LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI閉合閉合非閉非閉閉合閉合 DdxdyyPxQI)(非閉非閉補充曲線再用公式補充曲線再用公式根本根本方法方法ttytytxQtxtytxPId)()(),()()(),(: )()(ttyytxx2 2、曲面積分、曲面積分1 1概念概念 dSMf)(第一類第一類第二類第二類.)( dxdyMf2 2兩

3、類曲面積分的聯絡兩類曲面積分的聯絡,)( dydzMf ,)(dzdxMf SddSn0dS)cos,cos,(cos ),(dxdydzdxdydz 3 3計算計算直接計算法直接計算法第一類：化為對某兩個直角坐標第一類：化為對某兩個直角坐標 的定位參的定位參 數的二重積分；數的二重積分；第二類：將對第二類：將對x x、y y的曲面積分化為對的曲面積分化為對x x、y y的的二重積分。二重積分。留意：留意：先化簡；先化簡；間接計算法間接計算法用兩類曲面積分的聯絡；用兩類曲面積分的聯絡；用高斯公式。用高斯公式。第二類與定向有關。第二類與定向有關。3 3、GreenGreen公式、公式、Gauss

4、Gauss公式、公式、StokesStokes公式公式1 1建立了不同維數積分間的聯絡建立了不同維數積分間的聯絡留意：留意： 定向。定向。2 2公式及其推論在計算曲線積分、曲公式及其推論在計算曲線積分、曲面積分中的運用面積分中的運用留意：條件。留意：條件。例例 1 1 計計算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其 中中L為為由由點點)0 , 0(O到到點點)1 , 1(A的的曲曲線線xy2sin . . 思緒思緒: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI閉合閉合非閉非閉閉合閉合 DdxdyyPxQI)(非閉非閉補充曲線再用

5、公式補充曲線再用公式二、例題二、例題解解xyP2 由于由于xxQ2 ,xQyP 有有xyo11A 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 例例 1 1 計計算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其 中中L為為由由點點)0 , 0(O到到點點)1 , 1(A的的曲曲線線xy2sin . . 例例 2 2 計計算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, , L為為由由)0 ,(a到到)0 , 0(的的上上半半圓圓周周0,22 yaxyx. . 解解myeyPx cosyexQxcos xQyP 有有xyo)0 ,(aAMmxQyP 但但 AMOAOAOA

6、OALIdxdy)yPxQ(D 0 Ddxdym.82am 在在第第四四卦卦限限部部分分的的上上側側為為平平面面，其其中中求求1 C),( ,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例3xyoz111 解解),1 , 1, 1( n的的法法向向量量為為.31cos,31cos,31cos ),(31xzyxfI dSzyx)(31 dS31方程方程.21 dSzzyxfyzyxf),(31),(231 所所截截部部分分外外側側被被平平面面為為錐錐面面求求2, 1, 222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例4解解 21220rd

7、rrd.215 xyDdxdyyx)(22dxdyzI 2對對稱稱性性41:22 yxDxy例例 5 5 求求yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , , ：曲曲線線)31(01 yxyz繞繞 y 軸軸的的旋旋轉轉曲曲面面, , 法法向向量量與與y軸軸正正向向夾夾角角恒恒大大于于2 . . 解解221 xzy 旋轉面方程為旋轉面方程為 *I dvyyy)4418( *2)31(2dzdx dv zxDdzdx)(16 322 .34 xyzo132 *,)(lim)(10 niiiMfdMf .)()(, badxxfdMfbaR 上上區區間間.),()(,2 Ddyxfd

8、MfDR 上上區區域域三、三、 各種積分之間的聯絡各種積分之間的聯絡定積分定積分二重積分二重積分積分概念的聯絡積分概念的聯絡 dVzyxfdMfR),()(,3 上上區區域域.)()(,32 dsMfdMfRR 上上（有有向向）曲曲線線或或.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 上上（有有向向）曲曲面面曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()( SdxdyzyxfdMf .)()( dxMfdMf 計算上的聯絡計算上的聯絡)(),(),()()(21面面積積元元素素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdVzyxf)()()

9、,(),(2121),(),( baLdxyxyxfdsyxf21)(,),( baLdxdxxyxfdxyxf)()(,),(投投影影元元素素,),( baDxdydzzyxfdx或或,),(),(),(21 yxzyxzDdzzyxfdxdyxy或或)(體積元素體積元素dV弧弧長長元元素素）（ds xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR)(,(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsRQPRdzQdyPdxLL)coscoscos( )(面面積積元元素素dS)(投影元素投影元素dxdy實際上的聯絡實際上的聯絡1. 定積分與不定積分的聯絡定積分與不定積分的聯絡)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2. 二重積分與曲線積分的聯絡二重積分與曲線積分的聯絡)( )(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3. 三重積分與曲面積分的聯絡三重積分與曲面積分的聯絡 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4. 曲面積分與曲線積分的聯絡曲面積分