1、第一章電磁現象的普遍規律.1電荷與電場1、庫侖定律(1)庫侖定律如圖1-1-1所示，真空中靜止電荷Q對另一個靜止電荷Q的作用力F為F 1qq40 |r r(1.1.1)式中0是真空介電常數。(2) 電場強度E靜止的點電荷q在真空中所產生的電場強度 E為E-Q40 |r I,”3 r(1.1.2)(3) 電場的疊加原理N個分立的點電荷在r處產生的場強為NE i 1 40Qi屮3rrirri(1.1.3)體積V內的體電荷分布 r所產生的場強為(1.1.4)r dV云r rr rl3式中r為源點的坐標，r為場點的坐標。2、高斯定理和電場的散度高斯定理：電場強度E穿出封閉曲面S的總電通量等于S內的電荷

2、的代數 和(Qi)除以0。用公式表示為idS（分離電荷情形）(1.1.5 )dS（電荷連續分布情形）(1.1.6)其中V為S所包住的體積,dS為S上的面元，其方向是外法線方向。應用積分變換的高斯公式(1.1.7)孚 dS V EdV由（1.1.6 ）式可得靜電場的散度為3. 靜電場的旋度由庫侖定律可推得靜電場E的環量為(1.1.8)I10應用積分變換的斯托克斯公式E dlE dSLS從（1.1.8 ）式得出靜電場的旋度為(1.1.9).2電流和磁場1、電荷守恒定律不與外界交換電荷的系統，其電荷的代數和不隨時間變化。對于體積為V , 邊界面為S的有限區域內，有(121)(122)這就是電荷守恒定

3、律的數學表達式。2、畢奧-薩伐爾定律r處的電流元Idl在r處產生的磁感強度為dB -0 Idl r r4參見圖1-1-2。由此得沿閉合曲線L流動的電流I所產生的磁感強度為r,n-3(1.2.4)如果電流是體分布,則電流元3為J r dV ,這時dB rJr r r04 ir rdV(1.2.5),f3r dV(1.2.6)3、磁場的環量和旋度(1)安培環路定理磁感強度B沿閉合曲線L的環量等于通過L所圍的曲面S的電流代數和的0(1.2.7)倍；即0 B dl 0 J dSLS(2)磁場的旋度由安培環路定理和斯托克斯公式S B dS可得磁場的旋度為oJ(1.2.8)這是安培環路定理的微分形式。4、

4、磁場的散度磁場的散度為B 0(1.2.9)1.3麥克斯韋方程組1、麥克斯韋對電磁感應定律的推廣按照法拉第電磁感應定律,變化的磁場在一固定導體回路L中產生的感應電動勢為ddt(1.3.1)依定義，感應電動勢是電場強度E感沿導體回路L的線積分，因此（1.3.1）式可寫做Ei d1dtsB dS(132)0其中Ei是變化的磁場在導體中產生的感應電場的電場強度。麥克斯韋的推廣：當導體回路不存在時，變化的磁場在空間仍然產生感應電場E感，并且滿足（1.3.2）式。應用斯托克斯公式，可將（1.3.2 ）式化為微分形式(133)BEit在一般情況下，既有靜電場Es，又有感應電場Ei，則總電場便為E EsEi(

5、134)又因為Es 0，故得這就是麥克斯韋推廣了的 法拉第電磁感應定律。2、麥克斯韋對安培環路定理的推廣這與電荷守恒定律相矛盾。麥克斯韋的推廣:在一般情況下，安培環路定理的普遍形式為其中叫做位移電流密度。即dlJ -D dSt(136)(137)(138)(139)(1310)(1.3.11)3、麥克斯韋方程組我們把電磁學中最基本的實驗定律概括、總結和提高到一組在一般情況下相互協調的方程組，這便是麥克斯韋推廣了的安培環路定理。 它與電荷守恒定律不0矛盾。(1312)這組方程稱為 麥克斯韋方程組 。4、洛倫茲力公式帶電荷 q 的粒子以速度 v 在電磁場中運動時，它所受的力為作用在單位體積的電荷上

6、的力（力密度）為f E v B E J B1.4介質的電磁性質1、介質的極化(1) 極化強度P在外電場的作用下，介質的分子產生電偶極矩或固有的電偶極矩趨向有規則 的排列，這叫做介質的極化。極化強度P是描述介質極化狀態的量，其定義是單位體積內的電偶極矩，即(141)PiP V式中V為包含有大量分子的物理小體積，Pi為第i個分子的電偶極矩。如果每個分子的平均電偶極矩為P，則P np(142)式中n為分子數密度。(2) 極化電荷與極化強度的關系極化電荷體密度P與極化強度P的關系為dS(143)(144)(145)極化電荷面密度 P與P的關系為P n RP2式中n為交界面法線方向的單位矢量,從介質1指

7、向介質2。如果介質2為真空,(146)均勻介質內的極化電荷D 0E1 f(147)即均勻介質內任意一點的極化電荷密度等于該點的自由電荷密度f的1 倍。因此，若該點處無自由電荷分布，則P 0 0(3) 有介質時的電場在一般情況下，介質中的電場E是自由電荷的電場Ef，極化電荷的電場Ep 以及變化磁場產生的感應電場Ei的和，即(148)E Ef EpEi在介質中，電場的旋度和散度分別為Ei(149)(1410)(4)電位移D及其與電場強度E的關系(1411)電位移矢量D的定義為D oE P在各向同性的線性介質中,P與E成線性關系Pe 0E(1412)e叫做介質的電極化率。代入(1.4.11 )式得(

8、1413)定義相對介電常數r和介電常數分別為(1415 )這時(1415 )2、介質的磁化(1)磁化強度M在外磁場的作用下,介質分子產生的磁矩或固有磁矩趨向有規則排列，這叫做介質的磁化。磁化強度M是描述介質磁化狀態的量，其定義是單位體積內的磁矩，即mi(1416)M-V式中V為含有大量分子的物理小體積， mi為第i個分子的磁矩。如果每個分子的平均磁矩為m，則M nm(1417)式中n為分子數密度。(2)磁化電流與磁化強度的關系磁化電流體密度與磁化強度M的關系為上式可寫作dlS JM dSS(1418)dl(1419)式中I M是積分環路L所套住的磁化電流的代數和，如圖1-1-3。把斯托克斯公式

9、用于（1418 ）式，便得(1421 )Jm磁化電流面密度 M與磁化強度M的關系：面電流是指在曲面上流動的電流，面電流密度 的大小等于通過與垂直的單位長度橫截線的電流。設介質 1的磁化強度為M1，介質2的磁化強度為M2，在兩介質的交界面上，磁化面電(1421)(1421)流密度為M，交界面的單位法向矢量為n,從介質1指向介質2，則M n M2 M1若介質2為真空，則M n M2 M1（3）有介質時的磁場自由電流Jf、磁化電流Jm和位移電流Jd都產生磁場，這些磁場的疊加就是介質中的磁場B。因此，在一般情況下，磁場的旋度和散度分別為B 0 J f JM J D0 J f(1423)(1424)（4

10、）磁場強度H及其與磁感強度B的關系磁場H定義為(1425)對于各向同性的非鐵磁物質，磁化強度 M和H之間有簡單的線性關系M mH(1426)M叫做介質的磁化率。把（1.4.26 ）式代入（1.4.25 ）式可得這時定義相對磁導率r和磁導率分別為(1428 )(1429 )對于所有物質來說，相對介電常數r都大于1，但相對磁導率r則可以大于1 （順磁質），也可以小于1 （抗磁質）。3、介質中的麥克斯韋方程組電磁場遵守的普遍規律為Bt(1429)Dt物質方程：在各向同性的線性介質中(1429)1.5 電磁場邊值關系E2H2D2B2E1 0H1D1B1 0由麥克斯韋方程組的積分形式得出介質交接面兩側場

11、量的關系為(1.5.1)(1.5.2)(1.5.3)(1.5.4)式中n是交接面法線上的單位矢量，從介質1指向介質2 ; 和 分別是交界面 上的自由電荷和自由面電流密度。在用交界面兩側的切向分量（下標 t ），和法向分量（下標 n ）表示時，邊值 關系可寫做Et1Ht2D n2Bn1Et2Ht1Dn1Bn2(1.5.5)(1.5.6)(1.5.7)(1.5.8)1.6電磁場的能量和能流1.電磁系統的能量守恒定律考慮圖1-1-4所示的空間區域V，其邊界面為2。設V內有電荷分布和電流分布J。(1 )電磁場作用在單位體積電荷上的力為f (E v B)，這力的功率為f v (EvB)v E v J E

12、(161 )式中J E代表介質單位體積消耗的焦耳熱。(2)電磁場對體積V內的電荷系統做功的功率為Vf vdV VJ EdV(162 )(3)體積V內電磁場能量的增加率為d dV (E D B H)dV dt V dt V2(163)(4)單位時間內從邊界面2流出體積V的電磁能量為oSd V SdV(164 )因為能量守恒，對于體積V內的電磁場能量有J EdVVSdV(165)(1.6.6 )這便是電磁場的能量守恒定律。2. 電磁場的能量密度單位體積內的電磁場能量為(167)2(e d h b)3. 電磁場的能量密度S單位時間流過垂直于能流方向的單位面積的電磁場能量為(167)S通常叫做坡印廷矢

13、量。第二章靜電場靜電場的標勢及其微分方程1、靜電場的標勢（1）靜電場的基本方程(2.1.1 )(2.1.2)(2.1.3)(2.1.4)其中電荷Q是封閉曲面S包住的自由電荷的代數和，是自由電荷密度。（2）靜電場的電勢在靜電場中，根據（2.1.3 ）式知道有勢函數存在，使得(2.1.5 )如果在無窮遠處的電場強度為零，一般便選 ro為電勢參考點，這時由上 式得空間一點P r的電勢為(2.1.6)E drr點電荷的電勢由庫侖定律可得處（源點）的點電荷Q在r處（場點）產生的電勢為(2.1.7)1 Q4電勢疊加原理Qi分立的點電荷系所產生的電勢為(2.1.8)rri連續分布的電荷所產生的電勢為(2.1

14、.9)1 r dV r 4 V2、靜電勢所滿足的微分方程和邊值關系(1)電勢的微分方程電勢滿足方程(2.1.10)在均勻介質內，(2.1.10 )式可化為這個方程叫泊松方程。式中 是自由電荷密度。如果(2.1.11)0則(2.1.11 )式便化為拉普拉斯方程(2.1.12)(2)電勢的邊值關系在介電常數不同的兩種介質交界面上，電勢滿足下列邊值關系(2.1.13 )(2.1.14 )其中n是由介質1指向介質2的單位法向矢量， 是交界面上的自由電荷面密度。如果介質1是導體，則以上兩式分別化為1=常量(2.1.15 )(2.1.16 )3、靜電場能量電荷分布在區域V內，密度為 r，所具有的靜電能量為

15、dV(2.1.17 )這能量分布在電場中，因此W - E DdV2-E2dV(2.1.17 )式中E是上述電荷所產生的電場,積分遍及 E不為零的全部空間。2.2唯一性定理靜電學的基本問題是求出在所有邊界上滿足邊值關系或給定邊界條件的泊 松方程的解。唯一性問題是討論在什么條件下，解是唯一的。這點很重要，因為 求解的方法不同，求出的解可能有不同的表達形式，有時要證明它們是同一解頗 非易事；但如果這些解都滿足相同的邊界條件，則它們必定相同。其次，對于有 些問題，可以根據經驗提出嘗試解。如果所提出的嘗試解滿足唯一性定理所要求 的條件，它就是該問題的唯一正確解。1. 問題說明假定空間V可以分為若干個小區

16、域 V，每一小區域V內都是充滿均勻的，介電常數為i的各向同性介質。設V內的自由電荷分布 r已知，則在Vi內，電勢滿足泊松方程(221)在兩區域Vi和Vj的交界面上,電勢滿足邊值關系(221)(221)2. 唯一性定理設區域V內自由電荷的分布 r已知，在V的邊界S上給定電勢S，(ii)電勢的法向導數(即En)，n s則V內的電場便唯一確定。3. 有導體存在時的唯一性定理設區域V內有一些導體，給定導體之外的電荷分布r，并給定(i)每個導體上的電勢i，(ii)每個導體上的總電荷Qi ,以及V的邊界S上的S或 值，則V內的電場便唯一地確定。 n S2.3拉普拉斯方程分離變量法1、笛卡兒坐標系拉普拉斯方

17、程（簡稱拉氏方程）的形式為(2.3.1)設電勢 X, y,z可分離變數，即 X, y,z X xY yZ z，則拉氏方程可分為以下三個方程1 d2XX dx2k2(2.3.2)1 d2YY眉l2(233)1 d2ZZ dz2k2 l2(234)由此得方程的通解為X, y,zAk coskx A2k sin kx (Bn coslx B21 sin lx) k,lC1k,leEC2k,le W z(2.3.5)式中各常數Aik，A2k，Bii，B2l，C1k,l，C2k,l等由問題的具體條件決定。2、柱坐標系拉氏方程為(2.3.6)設電勢 r,z可分離變數,即 r, ,z R r Z z，代入上

18、式求得Z z的解為(237)Cicoshbz C2Sinh bz的解為C3 cos a C4 sin a(2.3.8)R r的解為式中其中級數伽瑪函數函數內,符合物理實際的解必須是單值的，因此 a必須是整數。CsJa brCeNa br(239 )Ja brNa bra 2m,m br1 2m 0 m! a m 1cosa J a br J a brsin aJ br是a階第一類貝塞耳函數，如果 aa m 1可以用（n m）!來代替。NaNa br在r 0附近的奇異性與Ij相似。(2.3.10 )(2.3.11 )n （整數），貝U在幕級數中的br是a階第二類貝塞耳函數。因此,只要已知r0處的

19、電勢是有限的，在解中就不包含 Na br，即系數C6為零。3、球坐標系球坐標系中拉氏方程為sin12 2 2 r sin(2.3.12)設電勢r,可分離變數，即r, , R r，且在r,為有限值，則拉氏方程（2.3.12 ）的通解為| b|m _mr, ,a|mr -yy P cos cosm(2.3.13 )|,m 0rC |d|m _mC|mrP| cos Sin m|,mr式中P|m cos是連帶勒讓德多項式。如果問題具有軸對稱性（m 0），通解為r,alrlP cos| 0r(2.3.14 )式中Pl cos是勒讓德多項式。通解中的系數aim，b|m，C|m，dm或引、b|等由問題的具

20、體條件確定。1、平面邊界(1)無限大導體平面外的點電荷24鏡像法點電荷Q到電勢為零的無限大導體平面的距離為a，如圖1-2-1，電像q在導體平面的另一側，與導體平面的距離為a。貝U導體外的電勢為q1x,y,z廠；F盲，z 0( 2.4.1)導體面上的感應電荷面密度TiQ-*H空Jcr一r /Z rrrF rrffrX0|z 0n_qa2 2 2 2 2x y a 2辱體(242)導體面上的總感應電荷為dS q(243)導體上感應電荷吸引點電荷的力為(244)如圖1-2-2，兩無限大導體平板電勢為零，夾角為。其間有一點電荷q，點電荷q的幅角為0，與 角的頂點0的距離為a。q有多重電像，當(n為整數

21、)時，電像的個數為(2n-1 )個,n2n 1(246)所有電像均位于以O為圓心,a為半徑的圓周上。諸電像的位置為40， n40，n圖 1-2-2像。，24時電像的分布圖。共有七個電(3)介質平面外的點電荷兩無窮大的均勻介質的介電常數分別為共(n 1)個。共n個。2交界面為平面。在1中有一自由點電荷q，距交界面為a，如圖1-2-3所示。則所求電勢2為(248)解得因此1q12 x,y,z04 2 Jx2y2在z=0的交界面上任意一點處,設a1a2則在原點處(X2z a1電勢應滿足邊值關系y z 0)，應用上式可得(249 )(2410 )q21 q12(2411)q2q1(2412)q2q11

22、 Jx2112q2y2 zO2(2413)(2414)(2415)(2416)點電荷q所受的庫侖力為(2417)2、球面邊界(1)導體球外的點電荷有一電勢為零，半徑為R的導體球，球外距球心0為I處的A點有一點電荷q。如圖1-2-4，在球內A點設置一電像q ,距球心為I。由邊界條件得qR2I(2418)RTq(2419)于是球外P r處的電勢為qR llr I(2420)這里選取球心為原點，I和I 分別為電荷q和q的位置矢量。球上的電荷密度面為0|rrqI2 R2R34 R R2 I2 2RI cos 4(2421)電荷q與導體球的相互作用能為(2422)電荷q所受的庫侖力為(2423)_U1

23、q2RI(2)導體球形空腔內的點電荷導體內有一球形空腔，腔內距球心0為l處有一點電荷q，導體的電勢為零。由對稱性可知，這時圖1-2-4中，位于A點的電荷q便是q的電像，并且(2424 )(2425 )q Rq這時空腔內的電勢為qRr I(r R)(2426 )25 格林函數點電荷的密度：位于x處的單位點電荷的密度為(x) (x x)。格林函數：它是單位正點電荷在一定邊界條件下的電勢。它用G(x, x )表示，括號內左邊的位矢x對應場點，右邊的x代表點源q 1的位矢。它滿足方程2G(x, x )1 (x x)0(2.5.1)第一類邊值問題的格林函數滿足邊界條件(2.5.2)G(x,x)第二類邊值

24、問題的格林函數滿足邊界條件G(x,x )n10S(2.5.3)其中n為邊界面法線方向。(2.5.4)格林函數的對稱性G(x,x) G(x,x)對于一定邊界條件下的格林函數，場點和源點交換時，格林函數的值不變。如球(2.5.5)外空間的第一類格林函數是(x) vG(x，x)(x)dV 叫(xrG(x，x)dS(2.5.7)式中的G(x,x)位為第一類邊值格林函數，邊界條件由(x) S給定。第二類邊值問題的解(x) VG(x,x) (x)dVSG(x ,x) VSn(x)n式中的G(x,x)為第二類邊值，邊界條件由的面。(x)dS(2.5.8 )S給定，S中應包含無限遠處26 電多極矩n1、電勢的

25、多極展開電荷分布在有限的區域V內，體密度為r，則它所產生的電勢為對于遠場（即rr處的場），上式可展開為1 1r -r2! i,j2 1XiXjXi Xj r.dV(2.6.1)式中Q為電荷系的總電量，即Q (r)dVVP為電荷系的電偶極矩，即P r (r)dVVD為電荷系的電四極矩，即(3rr r2I )V(rDij Xji, j2r5)dV(262)(2.6.3)(2.6.4)(2.6.5)1r dV廠V |r 廠它的ij分量為DijV 3XiXjijr dV(2.6.6)點電荷系的電四極矩為3rnrn2rn I qn(2.6.7)其ij分量為Dij(3Xni Xnj2rn ij ) qn(

26、2.6.8)(269)電四極矩張量D是對稱張量，又因為Dl1D 22 D 330因而D只有五個獨立分量。2、相互作用能點電荷q在外場e中的能量為Weq e式中e是q所在處外電場的電勢。電荷系r在外場中的能量為We V r er dV點電荷系的相互作用能為1 nWeT qk k2 k 1式中k是除qk外所有其余的點電荷在qk所在點產生的電勢。第三章靜磁場3.1矢勢及其微分方程1、矢勢穩恒電流磁場的基本方程V(3.1.1)%B dS 0(3.1.2)(3.1.3)(3.1.4)式中J是自由電流密度，I是被閉合環路L套住的自由電流的代數和。(2)穩恒磁場的矢勢由 B 0知，存在空間矢量勢函數 A，它

27、滿足(3.1.5)對于一個確定的磁場B，由(3.1.5 )式確定的矢勢A不是唯一的，可以有 一個附加的任意空間函數的梯度。通常用條件(3.1.6)來對這個任意函數加以限制。(3)矢勢A的物理意義Ad s AdSSB dS(3.1.7)即矢勢A沿任一閉合環路L的積分等于通過以L為邊界的曲面S的磁通量。2、矢勢A的微分方程和邊值關系在均勻介質內，矢勢A滿足泊松方程(3.1.8)2a j矢勢的邊值關系A1 A2在均勻介質內，該方程的特解是J r dVVA -4 |r r(3.1.9)式中的積分遍及電流所分布的空間 V。3、矢勢的近似電流分布在區域(線度為I)內，電流密度為J r 。這電流在遠處(即r

28、I)產生的磁場其矢勢可近似為(3.1.10)式中VrJ r dV(3.1.11)叫做這電流的磁矩。對于一個載流為I的小線圈L,其磁矩為(3.1.12)(3.1.13)J dl4、穩恒電流磁場的能量(1)自具能電流分布在區域V內，密度為Jr,所具有的能量為這能量分布在磁場中，因此W 1 H BdV2 VH2dV(3.1.14)積分遍及 H不為零的全部空間(2)相互作用能電流 J r 在外磁場 Ae 中的能量為3.1.15 )WiJ AedVv載電流 I 的小線圈在外磁場 Be 中的能量為Wi m B3.1.16 )式中 m 為小線圈的磁矩。3.2磁標勢1、磁標勢如果在某一閉合區域內沒有自由電荷（

29、即 J 0）,這時穩恒磁場的基本方程(3.2.1) (322)由 H 0知，在該區域內存在勢函數m，它滿足(3.2.3)這時，H在形式上與靜電場的E相對應，而m則與靜電場的電勢 相對應。2、磁標勢的拉氏方程和邊值關系拉氏方程為(3.2.4)在沒有傳導電流的兩介質交界面上，由HitH2t(3.2.5)BinB2n(3.2.6)得出磁標勢的邊值關系為mim2(3.2.7)m22n(3.2.8)式中n是交界面上由介質指向介質2的單位法向矢量。3、“磁荷”磁荷密度:第四章電磁波的傳播1v4.1平面電磁波1、電磁場的波動方程(1)真空中J 0的自由空間中，電磁強度E和磁場強度H滿足波動方程(4.1.1)

30、式中(4.1.2)c 12.997925 108 米 / 秒V 0 0(4.1.3)是光在真空中的速度。(2)介質中當電磁波在介質內傳播時，介質的介電常數 和磁導率 一般地都隨電磁波的頻率變化，這種現象叫色散。這時沒有E和H的一般波動方程，僅在單色波(頻率為)的情況下才有2E(4.1.4)2H(4.1.5)式中(4.1.6)是頻率的函數。2、亥姆霍茲方程在各向同性的均勻介質內，假設0 , J 0,則對于單色波有(4.1.7)(4.1.8)LAL tE r,t EreH r,t H這時麥克斯韋方程組可化為2E k2E0, k(4.1.9)(4.1.10)(4.1.11)（4.1.9）式稱為亥姆霍

31、茲方程。由于導出該方程時用到了E 0的條件，因此,亥姆霍茲方程的解只有滿足E 0時，才是麥克斯韋方程的解。3、單色平面波亥姆霍茲方程的最簡單解是單色平面波丄 k r tE r,t Eoe(4.1.12)H r,tH0ekr t(4.1.13)式中k為波矢量，其值為(4.1.14)平面波在介質中的相速度為Vp(4.1.15)式中 和 一般是頻率 的函數。算符 和作用于單色平面波的場（4.1.12 ）式或（4.1.13 ）式時，可簡化(4.1.16 )(4.1.17 )ik,下 i即 E ik E， E ik E，而一E i E。電場和磁場的關系為H Fn E式中n，為波傳播方向上的單位矢量。4、

32、電磁波的能量和能流電磁波的能量密度為(4.1.18)對于單色平面波有E2H 2，故E2 H2(4.1.19)單色平面波的能流密度為S EJ-E(4.1.20)對時間平均的能流密度為S -ReE H2(4.1.21).2電磁波在介質交界面上的反射和折射如圖1-3-1所示，取兩介質的交界面為 xy平面，z軸從介質1指向介質2。設平面電磁波從介質1入射到交界面上，入電場強度分別為入射波：EiE10eik1r反射波：ErEwe kr折射波：EiE20ei k r射波、反射波和折射波的ttt1、反射定律和折射定律(421)(422)(423)電磁波在交界面上反射和折射時，分別遵守反射定律和折射定律(4.

33、2.4)sin 1k2sin 2k12 2門211 1(425)式中門21為介質2相對于介質1的折射率。除鐵磁質外，一般介質0，故可門21(426)2、反射波和折射波的振幅(1)菲涅耳公式(427)按入射波電矢量的振幅E10分下列三種情形:(i) E10垂直于入射面IE10sin 12sin 12Ei0E202 cos 1 sin 2E10sin 12(428)(ii)E10平行于入射面eIoE10tan 12tan 12(429)E202cos 4 sinsin 122cos 1(4.2.10)(iii)E10與入射面斜交把三個波的電矢量的振幅E0都分解為垂直于入射面的分量E0和平行于入射面

34、的分量E0/，如圖1-3-2所示，即E10EioE10/(4211)tE10EioIE10/(4212)E20E20E20/(4213)結果得出,和E20都只與E10有關;而E10和E20則都只與E10有關。具體關系如下:E10sin12 LE10sin12(4214)E202 sin 2 cos 1；E10sin 12(4215)J 匚tan 12 r匚n1 E10/n1 E10/tan 12(4216 )2sin 2 cos 1n2E20/n1E10/Sin 12 cos 12(4217 )可見（i）和（ii）是（iii）的兩種特殊情況。（2 ）反射和折射產生的偏振由（4.2.16 ）式可

35、知，在12900的情況下，E平行于入射面的分量沒有反射波，因而反射波便是E垂直于入射面的完全偏振波。這就是光學中的布儒斯特定律，這時的入射角稱為布儒斯特角，其值為(4218 )3、全反射由折射定律知，當電磁波從較大的介質1入射到較小的介質212變為900，這時的若入射角再增大，當10時，sin 1n21。這時2就是復數，因而不再具的交界面上時，折射角2大于入射角1，當Sin 1n21時,入射角稱為臨界角，其值為 0 sin冷乂。有折射角這種直觀的幾何意義了。但折射定律sin 1邑sin 2k1仍然成立。這時折射波為EiE20e2i kqxsin 1 tn 21z e 1(4219 )是沿交界面

36、x方向傳播的電磁波。它的振幅沿z軸方向指數衰減。當振幅衰減到1交界面上的振幅的-時，沿z方向的距離為eZo(4220 )1 1kjjsin2 1 n：2 in2 1 n：在一般情況下，Zo和波長1同數量級。因此在發生全反射時，折射波的能量主要集中在交界面附近厚度為 Zo的薄層內。當10時，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度。因此，對時間平均來說，入射波的能量全部被 反射，所以叫做全反射。4.3有導體存在時電磁波的傳播1、導體的弛豫時間在靜電時，自由電荷只能分布在導體表面上。當導體里某處有電荷密度 出現時，就會引起電流流動。t與時間t的關系為(4.3.1 )t _t-t 0 e 0 e

37、式中是導體的電導率。，叫做導體的弛豫時間，它等于 值減小到的時間。在交變場中，只要電磁波的頻率滿足(432)就可以認為導體里沒有自由電荷分布，因此（4.3.2）式可當做良導體的條件。2、導體內的電磁波對于一定頻率的單色波來說，麥克斯韋方程組可以化為(4.3.3)(4.3.4)(4.3.5)(4.3.6)式中(4.3.7)叫做導體的復介電常數。由（4.3.3）（ 4.3.6）可得導體內的亥姆霍茲方程為(4.3.8)(439)這時k是一個復矢量，設(4310 )則方程（338）的單色波解為(4.3.11 )E r ,t Eoe其中k的實部稱為周相常數,虛部稱為衰減常數。如圖1-3-3，設電磁波從介

38、質入射到導體平面（z=0）上, ZX平面為入射面。則由邊值關系k0xkx可得其中0,0,(k0 sin ,0, z)(4.3.12),2.2 2 2 2 2 1 2k0 Sin2k0 sin2(4.3.13)n / 2.2.2 22 2 2 1 2.2.2即 k0Sin2 k0Sin(4.3.14)3、穿透深度當電磁波垂直入射到導體表面上時，由（4.3.12 ）式和（4.3.13 ）式可得(4.3.15)1這時，透射波的振幅隨z作指數衰減，當振幅減小到導體表面處振幅的 -時，沿ez方向經過的距離定義為穿透深度(4.3.16)1 R 2一廠4.4諧振腔諧振腔是各面都由金屬壁構成的一個空腔，在腔內

39、能夠激發各種特定頻率的駐波。1.矩形諧振腔中的電磁波矩形諧振腔(a b c)如圖1-3-5所示。解亥姆霍茲方程，并把金屬壁當作理想導體,利用邊界條件得出：矩形腔內電磁場的振幅為ExEyEzA, coskxXSinky ysin kzzA2 sin kXxcosky y sinkzzA3 sin kxXsin kyycoskzZ(441)式中kxkykzma nbPc(442)p為任意正整數或零。A，A2和A3為任意常數；但因 E0,故 A1，A和A3之間有如下關系:kXA1 kyA2 kzA30(443)所以，A，A2和A3之中僅有兩個是獨立的。2.本征頻率mnp對于每一組(m, n, P)值

40、，諧振腔的本振頻率為3. 偏振波型對于每一組（m, n, P）值，有兩種獨立的偏振波型，它們的電場 E互相垂直。矩形諧振腔可看做是由軸向長度為d的一根矩形波導管，在兩端加上與波導軸線垂直的金屬端面構成。由于端面的存在，波導內的場現在有兩部分迭加而成:部分是沿z方向傳播的波，另一部分是沿負z方向傳播的波。這樣對TE波來說，其縱向分量Hoz便為HozH0cos(x)cos(y)eikzzabH0 cos(m-ax）co吟y八又因為在端面z0和z d上有Hoz(445)故H。 H。于是得Hoz i2H0 cos( x) cos( y) sin(_ z)abd最后得到，能在矩形諧振腔內存在的電磁場是一

41、種駐波，其表達式如下:Hzi2H 0 cos( x)cos( y) sin( z)e i t abd(446)Hxi2H0 sin(-x)cos( y)cosz)e i ta kkzabd(447)Hyi2H0 cos(x)sin( y)cosz)e i tb k kz abd(448)Ex2H 0-F0Ck7cos( x) sin(y)sin(牛 z)e i tb kkzabdEy2H0 sin(- x)cos( y)sin( z)e i ta k kz a b d(4410)Ez(4.4.11)這駐波是諧振腔中一種獨立的偏振波型，它與波導中的 TE 波相對應。對于同一組 (m, n, p)

42、 值來說，與波導管中的 TM 波相對應的另一種獨立的偏振波型， 可以用類似的方法求出。4.5波導管1. 波導管中的電磁波傳播電磁波的長直金屬管叫做波導管。波導管中傳播的電磁波與自由空間 的電磁波相比，由于邊界條件不同，在性質上也有些不同。設以波導管的軸線為z軸，則波導管內沿z軸傳播的頻率為 的電磁波可表示為(4.5.1)EEo(x,y)ei(kzZ t)HHo(x,y)ei(kNZt)(4.5.2)(4.5.#)因E和H滿足下列方程1c2 t27)(4.5.3)故得式中kk2kz)E0H0(4.5.4)，kz為k沿z方向的分量。2. TE波和TM波把（4.5.1）式和（4.5.2 ）式代入麥克

43、斯韋方程組，得E i 0H(4.5.5)H i 0EE 0由此可得，場的橫向分量可用縱向（軸向）分量表示如下Li/ I H oz 1 E QzE ox22 (0ckkz)k kzyx(4.5.7)E oy存$( 0Ck旦kkzxHoxi ( k Eoz k kz 0c ykz丄)x(4.5.8)HoyikEozTT (k kz0ckz出)x y(4.5.9)可見，只要知道場的縱向分量Eoz和Hoz，波導管內的電磁場就可完全確定。由（4.5.6 ）至（4.5.9）諸式可以看出：波導管內不能傳播TEM波（即(4.5.11)0Eoz 0和 Hoz 0的橫電磁波）。波導管內可以傳播TE波（即Eoz 0而Hoz 0的橫電磁波）和TM波（即Eoz0而 Hoz 0的橫電磁波）。3.矩形波導管0橫截面為矩形的波導管叫做矩形波導管。設管內橫 截面積為a b ,取坐標如圖1-3-4所示，電磁波沿z軸方向傳播。(1) TE波圖1-3U矩形波導錯=由（4.5.6 ）至（4.5.9）諸式可知，TE波由電磁場的縱向分量H oz決定。由方程（4.5.4）得k； Hoz(4.5.10)邊界條件為HozxHozy由分離變量法可知，（4.5.10 ）式滿足上述邊界條件的解為(4.5.23 )式中H。是常量，