1、線段的垂直平分線與角平分線(1)知識要點詳解1、線段垂直平分線的性質(1)垂直平分線性質定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.定理的數學表示：如圖1,已知直線m與線段AB垂直相交于點D,且AD= BD,若點C在直線 m上，則 ACC= BC.定理的作用：證明兩條線段相等(2)線段關于它的垂直平分線對稱.課堂筆記:2、線段垂直平分線性質定理的逆定理(1)線段垂直平分線的逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.定理的數學表示：如圖 2,已知直線m與線段AB垂直相交于點D,且AD= BD, 若AC= BC,則點C在直線m上.定理的作用：證明一個點在某線段的垂

2、直平分線上.一.課堂筆記:3、關于三角形三邊垂直平分線的定理(1)關于三角形三邊垂直平分線的定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等定理的數學表示：如圖 3,若直線i, j,k分別是 ABC三邊AR BC CA的垂直平分線，則直線i,j,k相交于一點 O,且 OA= OB= OC.定理的作用：證明三角形內的線段相等.(2)三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀的關系:若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形內部；若三角形是直角三角形，則它三邊垂直平分線的交點是其斜邊的中點；若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的交點任二電龍處邯.反之，三角形三

3、邊垂直平分線的交點在三角形內部，則該三角形是銳角三角形；三角 形三邊垂直平分線的交點在三角形的邊上，則該三角形是直角三角形；三角形三邊垂直平分線的交 點在三角形外部，則該三角形是鈍角三角形.經典例題：例1 如圖1,在 ABC中，BO 8cm, AB的垂直平分線交 AB于點D,交邊AC于點E, 4BCE的周長等于18cm,則AC的長等于A. 6cmC. 10cmD . 12cmBi圖1課堂筆記:針對性練習:已知：1)如圖，AB=AC=14cm,AB垂直平分線交 AB于點D,交AC于點A .E,如果4EBC的周長是24cm 那么BC= 2) 如圖，AB=AC=14cm,AB垂直平分線交 AB于點D

4、,交AC于點E,如果、BC=8cm那公匕EBC勺周長是D/_3) 如圖，AB=AC,AB勺垂直平分線交 AB于/點D,交AC于點E,如果/ A=287度，那么/ EBC是例2.2知：AB=AC DB=DC E是AD上一點，求證：BE=CE課堂筆記:針對性練習：已知：在 ABC中，ON AB的垂直平分線，OA=OC 求證：點。在BC的垂直平分線B-例3.在 ABC中，AB=AC AB的垂直平分線與邊 AC所在的直線相交所成銳他50° , ABC的底角/ B的大小為課堂筆記:針對性練習:1 .在AB5, AB=AC AB的垂直平分線與 AC所在直線相交所得的銳角為 40° ,則

5、底角B的大小為例4、如圖8,已知 AD是4ABC的BC邊上的高，且/ C= 2/B,求證：BD= AC+ CD.證明：在 BD上取一點E,使DE = DC,連接 AE,則AE = AC,課堂筆記：課堂練習:2 .如圖，AC=AD BC=BD,則（）A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CDC.CD平分/ ACBD.以上結論均不對3 .如果三角形三條邊的中垂線的交點在三角形的外部，那么，這個三角形是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形4 .下列命題中正確的命題有（）線段垂直平分線上任一點到線段兩端距離相等；線段上任一點到垂直平分線兩端距離相等；經過線段中點的直線只有一條

6、；點P在線段A附卜且PA=PB過P作直線MN則乂睚線段AB的垂直平分線；過線段上任一點可以作這條線段的中垂線.A.1個B.2個C.3個D.4個5 . ABO, AB的垂直平分線交ACT D,如果AC=5 cm, BC=4cm那么 DBC勺周長是（A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm6 .已知如圖，在 ABC中,AB=AO。是4ABC內一點,且 OB=OC 求證：AOL BC.7 .如圖，在 ABC中，AB=AC, ZA=120° , AB的垂直平分線8 M另J交BC AB于點M N 求證：C附2BM課后作業：1 .如圖7,在 ABC中，AC= 23, AB的垂直平分線交

7、AB于點D,交BE, 4ACE的周長為50,求BC邊的長.2.已知：如圖所示，/ ACB /ADBtB是直角，且 AC=AD F上任意一點，求證：CP=DP線段的垂直平分線與角平分線（2）知識要點詳解4、角平分線的性質定理：角平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.定理的數學表示：如圖 4,已知OE是/AOB勺平分線，F是OE上一 點，若CFL OA于點C, DF± OB于點D,則CF DF.定理的作用:證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題；,一 角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線課堂筆記:5、角平分線性質定理的逆定理:角平分線性質定理的逆定理：在角的

8、內部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上定理的數學表示：如圖 5,已知點P在/AOB勺內部，且PCXOA于C, PD ，OB于D,若PC= PD則點P在/AOB勺平分線上.定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線 注意角平分線的性質定理與逆定理的區別和聯系課堂筆記:6、關于三角形三條角平分線的定理：(1)關于三角形三條角平分線交點的定理：三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等.定理的數學表示：如圖 6,如果AR BQ CR分別是 ABC的內角/BAC / ABC /ACB的平分線，那么：AP、BQ CR相交于一點I ;若ID、IE、IF分別垂直

9、于 BG CA AB于點D> E、F,則DI = EI = FI.定理的作用：用于證明三角形內的線段相等；用于實際中的幾何作圖問題(2)三角形三條角平分線的交點位置與三角形形狀的關系:三角形三個內角角平分線的交點一定在三角形的內部7、關于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：(1)會作已知線段的垂直平分線；(2)會作已知角的角平分線;(3)會作與線段垂直平分線和角平分線有關的簡單綜合問題的圖形.課堂筆記：經典例題:例1、 已知：如圖，點 B、C在/A的兩邊上，且 AB=AC P為/A內一點，PB=PCPH AB, PF，AC,垂足分別是E、F 求證：PE=PF課堂筆記：針對性練習:已知：PA

10、、PC分別是 ABC外角/ MAC： / NCAf分線,它們交于 P, PD)± BMT D, PF, BN于F,求證：BP為/ MBN勺平分線。例2、如圖10,已知在直角梯形 ABCDF, AB/ CD AB,BC, E為BC 中點，連接 AE、DE, DE平分/ ADC求證：AE平分/ BAD.課堂筆記：針對性練習：如圖所示，AB=AC BD=CD DE!AB于 E, DF±AC于 F,求證：DE=DF例3、如圖11-1 ,已知在四邊形 ABCDK 對角線BD平分/ ABC且/ BAD/ BCD互補,求證：AD= CD.課堂練習：1 . 4ABC中，AB=AC AC的中垂線交 AB于E, zEBC的周長為20cm, AB=2BC則腰長為2 .如圖所示，AB/CD,。為/A、/C的平分線的交點，OH AC于E,且OE=2則AB與CD之間的距離等于 03 已知：如圖，/ B=/ C=9(J, DMff分 /ADCAM¥