1、第二章一元函數積分學第三節不定積分的分部積分法1A主要內容：不定積分的分部積分法分部積分公式設函數w = w(x),v = v(j)具有連續的導函數，則由乘 積的導數公式，有(wv) -u'v + uV,移項后，兩邊積分得：JuVdx = J(uv) dx Ju'vdx=wv J ufvdx,(1)公式(1)即稱為分部積分公式.注i分部積分法的關鍵是如何選擇好仏仏使得注2 般地，可按反（三角函數），對（數函數），幕（函數），三（角函數），指（數函數）的順序來選擇況.常見積分及相應規則如下：xflexdx, x cos xAx. x,? sin xdx,將指數函數或三角函數視為，

2、交換后對暮函數求導;x,? In xAx. xn arcsin xAx. x arctan xdx,將幕函數視為，交換后對對數函數或反三角函數求導例1 求積分 x cos xAx解 取 二 x, VAx - cos xdx,貝!)jxcosxdx = x(sinx) dx = xsinx-Jsinxdx= xsinx + cosx + C.注意到，按另一種選擇，則Jxcosxdx =訂（十）cosxckx2 sin xdx,_1 2 1=X COS X H2 2此時經過分部積分后，積分表達式比原來的更為復雜了, 說明這樣的選擇不合適.在公式（1）中，如果記vfdx = dv, it Ax =

3、du.則公式（i）寫成一個更容易記憶的公式:J udv = uv (2)例2求 x2eAdxe解x2e vdx 二 j x2de v 二 x2e_v - e v 2xdx-x2e2 - 2 xdeA= xV-2(xex-jeYdx)二 x2ex- 2xev + 2 于 + C.例3 求 Jx"Inxdx.解j x4 In xdx = j In x (x5) dxIn x dxX5(1< - “ -弓皿存+c.注意第一類換元積分法與分部積分法在使用上的差別.例4求積分.In2 丫r In2 % ,%解兀血換元» XIn2 xT-dx x2= -ln2x-2-lnx +

4、2XX分部ln2dlnx = -ln3x + C.3In2%dx = ln x + 2X= -ln2x-2ilnx-2- + C.XXX8首頁上頁返回下頁結束鈴例5 求 J % arctan xdx. 解x arctan xdx1_2-1/ 2 1=I x +11 arc tan x 2V ) 2Jarctan xd(x2 + 1)宀1)7dx+ 1(%2 +1) arctan xx + C. 2V ) 22=x arcsine+2a/1 - x2arcsinxdx = xarcsinx- x=xarcsin x + /l-x2 + C.10首頁上頁返回下頁結束鈴例7 求 x arcsin x

5、&x.x arcsin xdx =代頁科上面的積岔疚有sint r9J-=dx= sin2 drr Jyl-x x211 Ix arcsin xdx =arcsin xarcsin 兀 + 兀"1一對 +C. =_tsiicost + C °°2 2arcsin x + C,2 211首頁上頁返回下頁結束鈴例8 求 ev sin xdx.解 eA sinxdx = sinxdeA = eAsinx- e'cosxdx=ev sin x - cosxdeA=ev sin x ev cos x e" sin xdx.由上述等式，可解得(sin

6、x-cosx) + C.sec3 xdx.解二 secxtanx-j =secxtanx-jsec3 xdx - sec xd tan x = sec x tan x - tanx«secxtanxdxsecx(sec2x-l)cksec3 xdx + j sec xdx = sec x tan x +ln secx + tan x| - j sec3 xdx.由上述等式得到sec x + tan x + C.sec3 xAx = * (sec x tan 兀 + In=xsin (in %)-j cos (in x) dx解sin=xsin (in x)-x cos (in x)-j sin (in x) dx, 移項后得 sin (In x)dx = -(xsin(lnx)-x cos (In x) + C. J2'14首頁上頁返回下頁結束鈴在求不定積分的過程中往往要兼用換元法和分部積分法例 11 求 jedx.解作代換 t - 則 x = t2,dx = 2tdt,=1） + C = 2e 五（依1） + C.例12 求 sinj2 + 3xdx 2解令a/2 + 3x = r => dx = tdt.則原積分為 3sin V2 + 3xdx =.2人smt 一tck3J cos rd J = (siin - r cos r