1、期權定價的二叉樹模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期權定價的另一種常用方法 二叉樹（binomial tree）模型，它假設標的資產在下一個時間點的價格只有上升和下降兩種可能結果，然后通過分叉的樹枝來形象描述標的資產和期權價格的演進歷程。本章只討論股票期權定價的二叉樹模型，基于其它標的資產如債券、貨幣、股票指數和期貨的期權定價的二叉樹方法，請參考有關的書籍和資料。8.1   一步二叉樹模型我們首先通過一個簡單的例子介紹二叉樹模型。例8.1 假設一只股票的當前價格是$20，三個月后該股票價格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票價格的這種變動過程可通過

2、圖8.1直觀表示出來。                    在上述二叉樹中，從左至右的節點（實圓點）表示離散的時間點，由節點產生的分枝（路徑）表示可能出現的不同股價。由于從開始至期權到期日只考慮了一個時間步長，圖8.1表示的二叉樹稱為一步（one-step）二叉樹。這是最簡單的二叉樹模型。一般地，假設一只股票的當前價格是 ，基于該股票的歐式期權價格為 。經過一個時間步（至到期日T）后該股票價格有可能上升到 相應的期

3、權價格為 ；也有可能下降到 相應的期權價格為 . 這種過程可通過一步（one-step）二叉樹表示出來，如圖8.2所示。我們的問題是根據這個二叉樹對該歐式股票期權定價。為了對該歐式股票期權定價，我們采用無套利（no arbitrage）假設，即市場上無套利機會存在。構造一個該股票和期權的組合（portfolio），組合中有 股的多頭股票和1股空頭期權。如果該股票價格上升到 ，則該組合在期權到期日的價值為 ；如果該股票價格下降到 ，則該組合在期權到期日的價值為 。根據無套利假設，該組合在股票上升和下降兩種狀態下的價值應該相等，即有     

4、60;                  由此可得                               (8.1)上式意味著 是兩個

5、節點之間的期權價格增量與股價增量之比率。在這種情況下，該組合是無風險的。以 表示無風險利率，則該組合的現值（the present value）為 ,又注意到該組合的當前價值是 ，故有                      即             &#

6、160;  將(8.1)代入上式，可得基于一步二叉樹模型的期權定價公式為                         (8.2)                  &

7、#160;                  (8.3)需要指出的是，由于我們是在無套利（no arbitrage）假設下討論歐式股票期權的定價，因此無風險利率應該滿足： .         現在回到前面的例子中，假設相應的期權是一個敲定價為$21，到期日為三個月的歐式看漲權，無風險的年利率為12%，求該期權的當前價值。已知：且在期權到期日，當 時

8、，該看漲權的價值為而當 時，該看漲權的價值為 根據(8.3)和(8.2)，可得                .上述期權定價公式(8.2)和(8.3)似乎與股價上升或下降的概率無關，實際上，在我們推導期權價值時它已經隱含在股票價格中了。不妨令股價上升的概率為 ，則股價下降的概率就是 ，在時間 的期望股票價格為           

9、0;           如果我們假設市場是風險中性的（risk neutral），則所有證券的價格都以無風險利率增加，故有                       于是，我們有        &

10、#160;                               由此可得                  &#

11、160;       與(8.3)比較，我們發現： ，這就是參數 的含義，我們稱之為風險中性狀態下股價上升的概率。8.2   兩步二叉樹模型在一步二叉樹模型中，股票和期權的價格只經過一個時間步的演化，如果初始時間距期權到期日的時間間隔太長，有可能造成計算誤差太大的缺陷。因此，在初始時間與期權到期日之間增加離散的時間點，縮短計算的時間步長，有助于提高計算精度。現在我們將初始時間距期權到期日的時間T分成兩個相等的時間步，則每個時間步長 。假設一只股票的初始價格是 ，基于該股票的歐式期權價格為 ，且每經過一個時間步，該股

12、票價格或者增加到當前價格的 倍，或者下降到當前價格的 倍。股票和期權價格的演化過程可通過如圖8.3所示的二叉樹表示出來，這種含有兩個時間步長的二叉樹稱為兩步二叉樹（Two-step binomial trees）模型。我們的問題是根據這個二叉樹對該歐式股票期權定價。類似于一步二叉樹模型的期權定價方法，采用無套利（no arbitrage）假設，由前向后（backward）逐步計算期權價值，我們得到                 (8.4)其中，

13、                                       (8.5)    在(8.4)中， 分別是風險中性狀態下最后一個時間步股價到達上節點，中間節點和下節點的概率。因

14、此，期權的初始價值可認為是期權在到期日的期望價值貼現。            例8.2 假設一只股票的初始價格是$50，且每過1年該股票價格或者上升20%，或者下降20%，無風險利率為5%，現有一個基于該股票，敲定價為$52且2年后到期的歐式看跌權，試用二叉樹模型確定該期權的價值。分析  將初始時間到期權到期日的2年時間分成相等的兩個時間步，則股票和期權價格的演化進程可通過圖4直觀表示出來。依題意，已知： 且在期權到期日，當 時，該看跌權的價值為  

15、60;                  當 時，該看跌權的價值為                       當 時，該看跌權的價值為     &#

16、160;               根據(8.5)，可得                     再由(8.4)，即可求得該看跌權的初始價值為         .

17、60;             8.3   多步二叉樹模型一步和兩步二叉樹模型太簡單了，實際使用的二叉樹要求具有多個離散的時間步長來計算期權的價值。通常從初始時間到期權到期日需要分成30或更多個時間步長。兩步二叉樹模型的歐式股票期權定價公式容易推廣到多步二叉樹模型的情形。如果我們將初始時間距期權到期日的時間T分成 個相等的時間步，則每個時間步長 。令股票的初始價格為 ，且每經過一個時間步，股價或向上增加到當前價格的 倍，或向下下降到當前價格的 倍，無風險利

18、率為的 ，則在期權到期日，股票價格有 種可能結果： 它們在風險中性狀態下出現的概率分別是： 其中                                       (8.6)令 為與 種股票價格對應的期權價值，

19、 為期權的敲定價，則在無套利假設下，股票看漲權在到期日的價值為           股票看跌權在到期日的價值為           將該期權在到期日的期望價值貼現，我們即可得到期權的（初始）價值為                 

20、       (8.7)關于參數 的取值，Cox，Ross和Rubinstein給出了由股票價格波動率 確定的公式：                              (8.8)8.4   二叉樹模型的美式股票期權定價上面

21、我們討論了應用二叉樹模型給歐式股票期權定價。實際上，二叉樹模型還可給美式股票期權定價。美式和歐式股票期權在到期日的價值是相同的。不同的是，美式股票期權的定價過程要求在到期前每一個離散時間點上判斷提早執行（early exercise）是否最優，并計算對應的期權價值。假設股票價格經歷了 個時間步的演化到達期權到期日，且每一個時間步長為 ，這可用一個 步二叉樹描述（圖形省略）。若股票的初始價格為 ，且每經過一個時間步，股價或向上增加到當前價格的 倍，或向下下降到當前價格的 倍，無風險利率為的 ，則在第 個時間步后，二叉樹上產生 個節點，自上而下分別用 表示，則節點 對應的股票價格為期權價值用 表示

22、。如果在節點 處期權沒有被提早執行，則期權價值 可通過式(8.2)和(8.3)來計算，即                  (8.9)                        

23、0;             (8.10)如果在節點 處期權被提早執行是最優的，則期權價值 就是提早執行的收益（payoff），令 為期權的敲定價，對股票看漲權，有                          &#

24、160;     (8.11)對股票看跌權，有                                (8.12)顯然，美式股票期權在節點 處的價值應該取 中的較大者，即      

25、                               (8.13)由于美式股票期權在期權到期日的價值是已知的，因此美式股票期權的定價應該由前向后逐步計算，這也稱作向后推演（backwards induction）。先由第 步（期權到期日）的 個節點上的期權價值通過公式(8.9)(8.13)推出第 步對應的 個節點上的期權價值，依此下去，我們可以得到初始時間上的期權