1、均勻球體對質(zhì)點的萬有引力的計算及應(yīng)用湖州中學(xué)竺斌牛頓從開普勒定律出發(fā)，研究了許多不同物體間遵循同樣規(guī)律的引力之后，進一步把這個規(guī)律推廣到自然界中任意兩個物體之間，于1687年正式發(fā)表了萬有引力定律:自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小跟這兩個物體的質(zhì)量的乘積成正比, 跟它們的距離的二次方成反比。即：Mm F引G r這里的兩個物體指的是質(zhì)點。萬有引力定律只給出了兩個質(zhì)點間的引力。而對于一般不 能看成質(zhì)點的物體間的萬有引力，需將物體分成許多小部分，使每一部分都可視為質(zhì)點，根 據(jù)式求出物體1各小部分與物體2各小部分之間的引力，每個物體所受的引力就等于其各 部分所受引力的矢量和。但是，若物體

2、為球體，且密度均勻分布，他們之間的引力仍然可以用上式計算，其中 表示兩球球心的距離，引力沿兩球球心的連線。這一點在高中教材、教學(xué)參考書都沒有給出 證明，只是用簡單的幾句話帶過。我用兩種方法來證明“對于質(zhì)量分布均勻的球體，在計算 萬有引力時，可以把其看成質(zhì)量都集中在球心的質(zhì)點。”并計算均勻球殼對其內(nèi)部質(zhì)點的引力僅供大家參考。和均勻球?qū)ζ鋬?nèi)部的引力, 一、有關(guān)引力的計算 1.用微積分法。.質(zhì)點與均勻球體間的萬有引力。若質(zhì)點質(zhì)量為m,與球心的距離為Ro設(shè)球的半徑為a,密度為 標(biāo)系。質(zhì)量為M43v a o建立如圖所小的坐 3根據(jù)對稱性可知，球?qū)|(zhì)點的引力必沿 向上合力為00球上取一微元，坐標(biāo)為（r,

3、9,z方向，x, y方小），其體積為2r sin drd d 。dF G r對質(zhì)點的萬有引力。m vr2 sin2drd dR2 2rR cos(R> a)在z方向上的分力為:m dFz dF cos G 2 ，r (R r cos )sin232 drd dR(r 2rR cos ) 2F合Fz2 ,m v(R r cos )sin22(r R32rR cos ) 2d d drGmar2dr0(R r cos )sin ,3 d223o(r R 2rRcos ) 2Gmr2dr1o o2 ( . r R 2rR cos2rR .2 r22r RR22rR cos 0八zOxGMm R

4、2所以均勻球體對球外一點的萬有引力好象球體的質(zhì)量全部集中在球心一樣。那么兩個均r就是球心勻球體間的萬有引力就可以分別把質(zhì)量全部集中至各自球心，所以用公式計算時 間距離。均勻球殼與球殼內(nèi)質(zhì)點間的萬有引力。若質(zhì)點的質(zhì)量為m與球心距離為R,球殼的密度為質(zhì)量為Mv -R3 Ri3 ,建立如圖所示的坐標(biāo)系。3由對稱性可知，球?qū)|(zhì)點的引力必沿 z方向，x、y方向 上合力為0。球殼上一微元對質(zhì)點的萬有引力為 -2- m vr sin_dF G 二2vdrd d R ar R 2rR cos在z方向上的分力,dFz dF coscm vG(r2r2(Rr cos )sin23R 2rR cos ) 2drd

5、dF合FzR2RiGm2r (R r cos )sin , d d drGm(rR2R22r dr2rRcos ) 2(R r cos )sin , d02 _2_3 o(r R 2rR cos ) 2R29199Gm v 2 r dr 2( r R 2rRcosB 2rR2 ,22r R 2rRcos 00這就說明均勻球殼對球殼內(nèi)質(zhì)點的萬有引力等于002.高斯定理法電學(xué)中高斯定理的表述：通過一個任意閉合曲面S的電通量E等于該面所包圍的所有電 荷電量的代數(shù)和qi除以°。即：L，- 1E - E cos dS - qiS0 3 M r3Mr 34 R3 R33內(nèi)通過F引G粵與F庫 ,號

6、 對比，在力學(xué)中引入引力場強度 E引，E引G）,r4 0 rr則 e mE引。再引入引力通量 引，引E引Scos ，則類似的在引力場中的高斯定理有：引。E引 cos dS 4 G miSS內(nèi)下面再用高斯定理來證明均勻球體（半徑為 R）對質(zhì)點的萬有引力。如果場點P （設(shè)OP=D在球外，由于球體質(zhì)量均勻分布，則引力場強分布應(yīng)具有球?qū)ΨQ 性。在任何與均勻球同心的球面上各點的 E引大小均相等，方向沿半徑向外呈輻射狀。根據(jù) 引力場強的球?qū)ΨQ性特點，取高斯面為通過 P點的同心球面，此球面上的引力場強 E引的大 小處處和P點相等，而cos 8處處等于1,通過此面的引力通量為：2引 o E引 cos dS E

7、引 Q dS 4 r E引 SSGM2- rGMmE引 m (r>R)r根據(jù)高斯定理引4 Gmi 4 GME引 F引如果場點P在球內(nèi)，則所有半徑大于r=OP的那些球殼對P點的引力場強不起作用，只有 半徑等于r的球?qū)點的引力場強有貢獻。根據(jù)上面的結(jié)論有 E引MrR3 GMmrE5l m r3(r<R)所以均勻球體對球體內(nèi)的一點的萬有引力隨深度的增加而減小二、在高中物理競賽中的應(yīng)用例1.地球內(nèi)部引力勢能的計算。如圖所示，O點表示球心，地球質(zhì)量為 M,設(shè)想地球內(nèi)部有一條從地球表面A開始到地心的直線通道 AQ 質(zhì)量為m物體從地球表面A點沿直線AO運動到某點B, B到地心。的距離為r。要計

8、算物體在B點的引力勢能，就要計算物體從 A點運動到B點萬有引力做的功，物體從 A到B運動，受到的萬有引力是變力，而萬有引力F引GMmL,與到。點的距離是線形關(guān)系，所以萬有引力做功可以很方便的計算。RGMmR GMmrr2）。萬有引力做功等于引力勢能減少Q(mào)3Q3Wab F (R r) R一2 (R量，可得：WabEpA EpB,其中EpAGMm ,所以 EpBRp駕(3R22R例2.如圖所示，設(shè)想在地球表面的A B兩地之間開鑿一直通隧道,A處放置一小球，小球在地球引力的作用下從靜止開始在隧道內(nèi)運動，忽略一切摩擦，試證明小球在隧道內(nèi)做簡諧運動。地球內(nèi)部質(zhì)量均勻分布，不考慮地球自轉(zhuǎn)。設(shè)地心到隧道的距離為d,取隧道中點為坐標(biāo)原點，當(dāng)小球的位置矢量為x時，所受的引力大小為FGMm Jx2