1、第四十五講第四十五講 主講：楊榮副教授主講：楊榮副教授吉林大學(xué)遠(yuǎn)程教育吉林大學(xué)遠(yuǎn)程教育 2.5 求定積分的換元積分法和分部積分法 在例21中，用換元積分法求原函數(shù)時(shí)，要將新變量還原為原來(lái)的積分變量，才能求出定積分之值，這樣做比較麻煩，現(xiàn)介紹省略還原為原積分變量的步驟計(jì)算定積分的方法。 1. 定積分的換元積分法 例15 求 .1140dxx 解 令 x = t2( t0) ,即 ，當(dāng)x = 0時(shí) t = 0 ，當(dāng) x = 4時(shí) t = 2 ，于是 xt )3ln2(2)1ln(21211202040ttdtttdxx嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，關(guān)于定積分的換元積分法有下面的定理。 定理7 設(shè) 那么 該公式稱(chēng)為定積

2、分的換元積分公式證明從略）。 dtttfdxxfba)()()( 這樣做省略了將新變量 t 還原為原積分變量 x 的麻煩，但需注意兩點(diǎn)：第一，引入的新函數(shù) 一般是單調(diào)的，為的是使 t 在區(qū)間,內(nèi)變化時(shí)，x在區(qū)間a , b內(nèi)變化，且 ， ；第二，改變積分變量時(shí)必須改變積分上下限，簡(jiǎn)稱(chēng)為換元必?fù)Q限。 )(tx)(a)(b （1設(shè) f (x)在a,b上的連續(xù)； （2函數(shù) 在,上單調(diào)，且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)； )(tx （3） x ,時(shí)， x a,b， ,)(a)(b 1. 用 把原積分變量 x 換成新積分變量 t 時(shí)，積分限也要換成新積分變量的積分限。)(tx 定理7的公式也可以倒過(guò)來(lái)使用，寫(xiě)成duufdtx

3、xfba)()()( 2.求出 的一個(gè)原函數(shù)后，不必像計(jì)算不定積分那樣再換回積分變量 x 的函數(shù)，而只要把新變量 t 的上下限代入原函數(shù)中然后相減就行了。)()(ttf這里.)(,)(ba 例16 求.11210dxxx 解 令 ，那么 ，當(dāng) x = 0時(shí) t = 0 ；當(dāng) x = 1時(shí) t = ，于是tx12tdtdxtx),1(2123dttttdtttdxxx312231210121)1(211126)13(2arctan21112313122ttdttt 例18 求.sinsin053dxxx 例17 求.2422dxxaxaa 解 令 x = asect ，那么 dx = asect

4、 tant dt .當(dāng) x = a時(shí)， t = 0 ；當(dāng) x = 2a時(shí) t = ，于是33022304222422cossin1tansecsec1sec1tdttatdttttadxxaxaa 計(jì)算上式最后一個(gè)積分可不引入新的變量，則定積分上、下限也不改變?，F(xiàn)在用這種方法計(jì)算如下：2303230223022833sin1sinsin1cossin1atattdatdtta 解 由于 ，在 上， 在 上， 于是xxxxxxcossin)sin1 (sinsinsin2323532,0,2xxcoscosxxcoscos 證 由于 例19 設(shè)函數(shù) f (x) 在對(duì)稱(chēng)區(qū)間-a, a上連續(xù)，試證：

5、.)(2)(0dxxfdxxfaaa (1) 假設(shè) f (x) 為偶函數(shù)，那么 (2) 假設(shè) f (x) 為奇函數(shù)，那么.0)(dxxfaa 對(duì)上式右端第一個(gè)積分作變換，令 x = - t，得)1()()()(00dxxfdxxfdxxfaaaaNoImagedxxxdxxxdxxx2232023053)cos(sincossinsinsin)(sinsin)(sinsin2232023xdxxdx54)52(52sin52sin522252025xx.)()()()(0000dxxfdttfdttfdxxfaaaa (1) 假設(shè) f (x) 為偶函數(shù)， f (x) = f (x)，那么(2)

6、式成為把上式代入(1)式，得dxxfdxxfdxxfdxxfaaaaa000)(2)()()(.)()()()(0000dxxfdttfdttfdxxfaaaa (2) 假設(shè) f (x) 為奇函數(shù)， f (x) = f (x)，那么(2)式成為把上式代入(1)式，得0)()()(00dxxfdxxfdxxfaaaa 本例題給出奇函數(shù)和偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上積分的性質(zhì)，用這個(gè)性質(zhì)計(jì)算對(duì)稱(chēng)區(qū)間上定積分時(shí)，注意到被積函數(shù)的奇偶性，可以簡(jiǎn)化計(jì)算。例如計(jì)算 ，由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，積分區(qū)間為對(duì)稱(chēng)區(qū)間，立即知該積分為零。dxxx44cosdxxfdxxfTaTaa)()( 例20 設(shè) f (x) 是以T 為周

7、期的連續(xù)函數(shù)，試證對(duì)任何常數(shù) a，有 證證 因?yàn)閷?duì)任何常數(shù)因?yàn)閷?duì)任何常數(shù) a ，都有，都有對(duì)上式右端第三個(gè)積分作變換，令 x = tT，并利用 f (x)的周期性，得把上式代入(3)式，得)3()()()()(00dxxfdxxfdxxfdxxfTaTTaTaadxxfdttfdtTtfdxxfaaaTaT000)()()()(dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfTaTaTaa0000)()()()()( 解 設(shè) x1= t ，那么 dx = dt .當(dāng) x = 0時(shí)， t =1 ；當(dāng) x = 2時(shí) t = 1.于是dttfdttfdttfdxxf10011120)()()()1( 例22 求. )0(022adxxaa10011tdtdtet1001)1ln(tet2ln11e 例21 設(shè) 求,)0(,)0(,11)(xexxxfx.)1(20dxxfdttatadxxaa2002