1、高中數學專題雙曲線的參數方程拋物線的參數方程理解慫L I J I iE11對應學生用書P251 .雙曲線的參數方程規定(1)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線x2y2= 1的參數方程是 x ：sec '' a by= btan 6參數6的取值范圍為 6 e 0,2兀)且6 w2, ()豐一2j.y2 x2x= btan 6 ,(2)中心在原點，焦點在 y軸上的雙曲線y2 =1的參數方程是a by= asec 巾.2 .拋物線的參數方程9x=2pt ,(1)拋物線y = 2px的參數方程為t 6 Ry= 2pt(2)參數t的幾何意義是拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數

2、.對應學生用書P25雙曲線、拋物線參數方程的基本問題一，一，x= 2/3tan a ,，一,，一一例1 (1)雙曲線 V( a為參數)的焦點坐標是y=6sec ax= tan t ,(2)將方程 _ 1 - cos 2 t化為普通方程是 y 1 + cos 2 t思路點撥(1)可先將方程化為普通方程求解;(2)利用代入法消去t.y2 x2 化為 36_?2= 1，x= 2/3ta解析(1)將y= 6sec可知雙曲線焦點在 y軸，且c=坂36+ 12 =4m, 故焦點坐標是(0, ±4、/3).(2)由 y=1 cos 2 t 2sin 2t1 + cos 2 t 2cos ttan

3、2t ,將tan t=x代入上式，得y = x例2 連結原點O和拋物線2y=x上的動點 M延長OMJ P點，使|OM=|MP,求P 點的軌跡方程，并說明它是何曲線.思路點撥由條件可知，M點是線段OP的中點，利用中點坐標公式，求出點P的軌跡方程，再判斷曲線類型.解 設M(x、y)為拋物線上的動點， Rx。，y。)在OM勺延長線上，且 M為線段OP勺中,即為所求方程.答案(1)(0 , ±4<3); (2) y=x2.方法*規律,小結(1)解決此類問題要熟練掌握雙曲線與拋物線的參數方程，特別是將參數方程化為普通 方程，還要明確參數的意義.(2)對雙曲線的參數方程，如果x對應的參數形

4、式是 sec巾，則焦點在x軸上；如果y對應的參數形式是 sec 6,則焦點在y軸上.題臬利x= sec 0 .1 .如果雙曲線(0為參數)上一點P到它的右焦點的距離是 8,那么Py=6tan 0到它的左焦點距離是.解析：由雙曲線參數方程可知a=1,故P到它左焦點的距離| PF = 10或| PF =6.答案：10或6,y = 2t,八、山 八、._ .2.過拋物線2(t為參數)的焦點作直線交拋物線于 A(x1, y1) , B(x2, y2)兩點，x = t如果 x2 + x2 = 6.則 | AB| =2解析：化為普通方程是：x = "4即y2=4x,p=2. . | AB| =X

5、i + X2+ p=8.答案：8"1雙曲線、拋物線參數方程的應用x= 2tXo= 4t點，拋物線的參數方程為y_ 2t2用中點公式得y_ 4t 21 22變形為yc= 4x0,即P點的軌跡方程為 x = 4y.表示拋物線.方法規律小結在求曲線的軌跡和研究曲線及方程的相關問題時,常根據需要引入一個中間變量即參數（將x, y表示成關于參數的函數），這種方法是參數法，而涉及曲線上的點的坐標時，可根據曲線的參數方程表示點的坐標.3.設P為等軸雙曲線x2-y2=1上的一點，F1和F2為兩個焦點，證明：| F1P| | FzP| = |OP2.證明：如圖，設雙曲線上的動點為P（x, y）,F2（

6、、/2, 0）,雙曲線的參數方程為x= secy= tan則：(| FiP | F2P|)e,e.e V2)2+tan2e =(sec 0 + /2) 2+ tan 2 0 - (sec=(sec2 0 + 2J2sec 0 +2+ tan 2 0 )(sec 2 0 2>2sec 0 + 2 + tan 2 0 ) = (/2sec 8+1)2(，2sec 81)2=(2sec 2 0 1)2.又|OP2 = sec2 0 + tan 2 0 = 2sec2 81, 由此得 | F1P| - I F2P| = | OP2.對應學生用書P26、選擇題A.C.x= t2 1, 曲線y=2t

7、 +1(1,0)(-1,0)（t為參數）的焦點坐標是（）B. (0,1)解析：將參數方程化為普通方程（y1）2=4（x+1）,該曲線為拋物線 y2=4x向左、向上 各平移一個單位得到，所以焦點為（0,1） .答案：B2.已知某條曲線的參數方程為1 a- a（其中a是參數），則該曲線是）A.線段B.圓C.雙曲線D.圓的一部分解析：將所給參數方程的兩式平方后相減，得 x2-y2= 1.并且由 |x|=：|a+|>1,得 x> 1 或 xW1, 2 a從而易知結果.答案：Cx= et + e t,3.方程 t t （t為參數）的圖形是（）A.雙曲線左支B.雙曲線右支C.雙曲線上支D.雙曲

8、線下支解析：''' x? y2= e2 + 2+ e 2 （e2 2+e 2）=4.且 x= e + e >2le , e_* = 2.表示雙曲線的右支.答案：Bx=4sec 0 .4. P為雙曲線（0為參數）上任意一點，F1, F2為其兩個焦點，則4y = 3tan 0F1 PE重心的軌跡方程是（）A. 9x216y2= 16（yw0）B. 9x2+16y2= 16（yw 0）C. 9x216y2= 1（yw0）_ 2_ 2D. 9x +16y = 1（yw0）解析：由題意知 a= 4, b=3,可得c=5,故 F1（ 5,0） , F2（5,0）,設 P(4s

9、ec 0 , 3tan 0 ),重心 M x, y),則5+5+4sec 040+0+3tan 0x=7=0sec 8 ， y=o=tan3332 一 2從而有 9x 16y = 16（yw0）.答案：A二、填空題e +彳）=o（ e為參數）.則圓心的軌5 .已知動圓方程 x2+y2xsin 2 0 +2/ ysin(跡方程是x = -sin 2 9 ,2解析：圓心軌跡的參數方程為y =小sinx= sin 9 cos 9 ,即消去參數得:y= sin 0 + cos 0.2 ,，1-J、y = 1 + 2x( - 2<x< 2) .-211答案：y =1 + 2x(-2<x

10、<2)x = x/3tan（e為參數）的兩條漸近線的傾斜角為6 .雙曲線y = sec 02解析：將參數方程化為 y2x=1,3此時 a= 1, b=03,設漸近線傾斜角為a =30° 或 150°答案：30°或150°2x = 2pt ,7.已知拋物線的參數方程為y=2pt（t為參數），其中p>0,焦點為F,準線為l,過拋物線上一點 M作l的垂線，垂足為 E若|EF=|MF,點M的橫坐標是3,則p =x=2pt2,9p解析：？ y=2px,焦點 F 77, 0 ,y=2pt2過點M作x軸的垂線，垂足為 N,由題意可知， ME喔正三角形，所以

11、/ MFN= 60° ,在 RHMFNK1 , p| FN| = | Mffcos 60= 2 3+ 2 , p 1 p所以 32=2 3+2 ? p=2.答案：2三、解答題x= 2pt2,8.已知拋物線(t為參數，p>0)上的點M N對應的參數值為ti, t2,且y= 2ptt 1 + t 2= 0 , t it 2= p2,求M N兩點間的距離. 22,解：由題知 M N兩點的坐標分別為(2 pt 1, 2pti) , (2 pt2, 2Pt 2),| MN=2pt2_2Pt2 2+ 2Pt 1 2pt2 2=:2Pt 12pt2 2= 2p| 11- t2|=2p*sJ

12、11+ 12 2- 4t 12 = 4P2.故M N兩點間的距離為 4p2.9 .已知圓O: x2+(y2)2=1上一點P與雙曲線x2-y2 = 1上一點Q,求P, Q兩點距 離的最小值.解：設 Q(sec 0 , tan 0 ),在OQ種,|QP|=1, |OP| +|PQ>I OQ.又| QQ2 = sec2 0 +(tan 0 2)2=(tan 2 0 + 1)+ (tan 2 0 4tan 0+4)=2tan 2 0 4tan 0+5= 2(tan 01)2+3.當tan e=1,即0=1時，|OQ2取最小值3,此時有 | OQ min =J3.| PQmin=m 1.10 .過

13、點A(1,0)的直線l與拋物線y2=8x交于M N兩點，求線段 MN的中點的軌跡方 程.解：法一：設拋物線的參數方程為2x=8t ,y=8t22(t 為參數),可設 M8ti, 8ti) ， N(8t2,8t 2),則 kMN=8t28ti i8t28t2又設mN勺中點為P(x,_ _ 2_ _ 28t i+8t2x=2則8t i+8t2y=1-kAP=411+ 124 t2+t21，由 kMN= kAP知 t 1 ,t 2= 一,22x=4ti +t2y= 411 +12, x i則 y2= i6(t2+t2+ 2t it2)=i6(4-4) = 4(x-i).，所求軌跡方程為y2兩式相減得 yi y2= 8( xi X2),即(yi y2)( yi+y2)= 8(xi