1、本文格式為word版，下載可任意編輯【一堂習題課的類比式探究橢圓與雙曲線的五種統一】 數學家波利亞說:“類比是一個宏大的引路人”。的確,數學史上有很多在數學家通過類比發覺了很多的重要的數學結論。在數學的教學與討論中,類比是進行合情推理的一種特別重要的思維方法。把課本內容有效整合,進行類比教學,可以提高效率。開發同學的創新性思維。下面結合課堂進行類比教學: 師:拿出數學教學模型,邊演示邊提問,我們在圓錐面上用不同的平面來截,可以得到哪些曲線呢?生:通過觀看,我們可以看到,得到了:園、橢圓、雙曲線、拋物線。師:你觀看得很認真。對,我們得到你所說的曲線,其實,早在古希臘,圓錐曲線就被發覺,人們從純幾

2、何角度就得到了是,所以我們把他們叫做圓錐曲線。大家能給出得到這些曲線的準確條件嗎?生:用平行于圓錐軸的平面去截圓錐面得到的曲線是雙曲線,用與圓錐軸不平行也不垂直同時不與母線平行的平面去截圓錐面就可以得到橢圓。當然還可以得到圓和拋物線。師:這是我們將橢圓與雙曲線第一次在圓錐面上得到了統一。接下來我們來看下面問題:(板書)在平面上,設點a、b的坐標分別為(5,0),(-5,0),直線am、bm相交于點m,它們的斜率積是-,求動點m的軌跡方程。生:(思索,運算):。師:我們能把它推廣為一般形式嗎?能求出它的方程嗎?生:平面上,設點a、b的坐標分別為(a,0),(- a,0),直線am、bm相交于點m

3、,它們的斜率積是k,當k0時,動點m的軌跡是雙曲線。方程是師:我們觀看一下兩個一般方程會發覺什么?生:我們發覺他們方程是全都的。師:我們在上面的解題中使用了類比的方法來發覺、解決問題,可以用特別來類比一般,將特別問題推廣,得到了一般的結論。也可以將兩種不同的事物(橢圓與雙曲線)進行類比,得到了相像的性質。其特點是動點與長軸的兩個頂點(除兩個頂點外)的連線斜率之積是定植。在這種意義下實現其次次統一。其方程也統一。下面我們連續來思索問題: 圓o的半徑為定長r,a是圓內肯定點,p是圓任意上一點。線段ap的垂直平分線l和半徑op相交于點q,當點p在圓上運動時,點q的軌跡生:據線段的垂直平分線定理可知,

4、點q的軌跡是橢圓。師:我們通過類比,能發覺什么結論呢?你能證明嗎?生:a是圓外肯定點時,點是什么曲線?q的軌跡是雙曲線。也是常數。我們發覺橢圓與雙曲線在園的背景下也得到了統一。是第三次統一了。師:好,大家的思維活躍起來了。那我們來看看橢圓與雙曲線的定義和標準方程。生:平面上,與兩定點的距離之和等于常數(大于兩定點距離)的動點m的軌跡是橢圓。與兩定點的距離之差的肯定值等于常數(小于兩定點距離)的動點m的軌跡是雙曲線。師:我們把這三點看成是構成三角形的三點,那構成橢圓與雙曲線應當滿意什么條件?我們把標準方程改寫成形式,大家是否熟識這種形式?通過類比我們還能得到什么?生:兩邊之和大于第三邊,是橢圓構

5、成的條件。兩邊之差小于第三邊,是構成雙曲線的條件。這種形式是我們熟識的平方和與差。師:(啟發)與三角公式類比,我們有什么啟示生:正好是我們學習過的三角公式:,在橢圓方程中令則師:在雙曲線方程中我們引入函數:,呢?生:我們得到了,師:我們發覺橢圓與雙曲線在三角形中與三角形式下也相統一了,我們把,稱為橢圓與雙曲線的參數方程。是方程中的三角代換,在解題中非常有用。例如:設是實數x,y滿意方程,求的最值。生:將方程化為標準方程,令則,最大值是13,最小值是-13.師:下面我們探討問題:已知點f(c,0)是平面上肯定點,l是平面上不過點f的肯定直線,其方程是,點m到點f的距離和它到直線l的距離之比是一個

6、常數(0a,上述方程中有,令,就有是雙曲線方程。師:我們把叫做離心率,能得到什么樣的一般結論呢?生:已知點f是平面上肯定點,l是平面上不過點f的肯定直線,點m到點f的距離和它到直線l的距離之比是一個常數e,當01時,其軌跡是雙曲線。師:我們把上面的結論成為橢圓與雙曲線的統肯定義(其次定義)。還發覺缺了一個e=1的值,它代表了拋物線,后面要學習的。我們第五次又將橢圓與雙曲線統一起來了。其特點是動點到定點的距離與到定直線的距離比是定植。其次定義在解題中也是非常有用的。請看問題:在橢圓上找一點p,使得|pf|+|pa|最小,其中f(4,0),a(2,2)。(圖形畫在黑板上)生:如圖所示,設l為橢圓的

7、右準線,pp1l于p1,則依據橢圓定義|pf|=|pp1|,求|pa|+|pf|最小值,即求|ap|+|pp1|最小值。 當a、p、p1共線時,滿意條件,(如圖中虛線所示)即p點縱坐標為2,p點坐標為(1,2)。師:留意:|pa|前面的系數是離心率的倒數。通過類比,對雙曲線我們能自己設計相同的問題嗎?生:能,在雙曲線上找一點p,使得|pf|+|pa|最小,其中f(5,0),a(6,3)。課后反思:類比不僅是一種從特別到特別的推理方法,也是一種探究解題思路、猜想問題答案或結論的一種有效的方法。這對數學教學中培育同學的創新力量和制造性思維力量有著極其重要的作用。類比在數學學習中有著廣泛的應用,是同

8、學提出新問題、獲得新發覺的源泉。通過這節習題課的教學,原來不怎么活躍的課堂氣氛一下子提了上來,原來擅長傾聽的同學有了發言、發覺的沖動。類比思維的探究是學習一種動力。類比思維是學習方法的遷移。喬治波利亞在數學的發覺一書指出:"類比是某種類型的相像性是一種更確定的和更概念性的相像。"這里所說的"相像性"是指對象在某些方面具有全都性,而類比可以使我們清晰地看出這種全都性。類比力量實際上是一種極其重要的學習遷移力量。通過對橢圓和雙曲線對比的分析,我們發覺它們有許多相像的地方,可以用相同的方法來處理問題。例如求橢圓和雙曲線的焦半徑,用三角代換來求相關的最值。這些都充分體現了客觀世界的完善與和諧,反映了數學的統一之美。正由于如此,它成為各級各類考試命題者心儀的學問點。進一步加強對相像特點的討論,并在平常解題實踐中加以應用,對于理解數學學問,進展思維,提高解題力量是特別有必要的。加強對該類問題的訓練,定會開闊我們的思路,增加我們思維敏捷性。舉一反三,觸類旁通,提高自己解決問題的力量。在我們的數學教學的過程中,要堅持“用教材教”,而不是教教材,就是不拘