1、第十二章動靜法達朗貝爾原理(動靜 §12-1 慣性力·質點的達朗貝爾原理NF F a m +=0=+a m F F N 令a m F I =慣性力a (0F F F I N =+有質點的達朗貝爾原理:作用在質點的主動力、設非自由質點的質量為m ,加速度為a ,作用在質點上的主動力為約束力為根據牛頓第二定律,有,F ,F N需要指出的是:實際質點上只受主動力和約束題,所以亦稱動靜法。需要指出的是:實際質點上只受主動力和約束力的作用,慣性力并不作用在質點上,質點也非處于平衡狀態。達朗貝爾原理將動力學問題轉化為靜力學問題,所以亦稱動靜法。b (0F F F 0F F F 0F F

2、 F Iz Nz z Iy Ny y Ix Nx x =+=+=+式(a 的投影式為例12-1用達朗貝爾原理求解例10-3已知:o 60 ,m 3.0,kg 1.0=l m 求:.,T F v 0=+I T F F g m 0mg cos F ,0F T b =0sin ,0n I T n F F F 解得N 96.1cos =mg F T s m 1.2sin 2=ml F v T sin l v m r v m ma F 22n n I =解:§12-2 質點系的達朗貝爾原理記(e iF 為作用于第i 個質點上外力的合力。(i i F 為作用于第i 個質點上內力的合力。則有(=+

3、=+0F M F M F M 0F F F Ii 0ii 0e i 0Ii i i e i n21i 0F F F Ii Ni i ,L =+質點系的達朗貝爾原理:質點系中每個質點上作用的主動力,約束和它的慣性力在形式上組成平衡力系。因(=,0,00i i i i F M F 有(=+=+0000Ii e i Ii e i F M F M F F 也稱為質點系的達朗貝爾原理:作用在質點系上的外力與虛加在每個質點上的慣性力在形式上組成平衡力系。例12-2如圖所示,定滑輪的半徑為r ,質量為m 均勻分布在輪緣上,繞水平軸O 轉動。垮過滑輪的無重繩的兩端掛有質量為m 1和m 2的重物(m 1>

4、m 2,繩與輪間不打滑,軸承摩擦忽略不計,求重物的加速度。 解:a m F a m F I I 2211,=,a m r m F i i tIi =(=0,02211ar m r a m g m a m g m M i O 由(=mar ar m ar m i i 解得g mm m m m a +=2121r v m F i n Ii 2=例12-3飛輪質量為m,半徑為R,以勻角速度定軸轉動,設輪輻質量不計,質量均布在較薄的輪 緣上,不考慮重力的影響。求:輪緣橫載面的張力。 理論力學傅莉霞解:22R R R m a m F i nii Ii = 0cos ,0=A Ii x F F F =0s

5、in ,0B Ii y F F F令,0i 2mR R 2m F 2220A =d cos 2mR R 2m F 2220B =d sin理論力學傅莉霞§12-3剛體慣性力系的簡化z 慣性力系:與一般力系一樣,所有慣性力組成的力的系統。C i i Ii IR a m a m (F F =(=Ii O IO F M M 慣性力系中所有慣性力的矢量和稱為慣性力系的主矢。慣性力系中所有慣性力向同一點簡化,所得力偶的力偶矩矢量的矢量和稱為慣性力系的主矩。慣性力系的主矢與剛體的運動形式無關。慣性力系的主矩與剛體的運動形式有關。理論力學傅莉霞1. 剛體平動時慣性力系向質心簡化第i 個質點的慣性力

6、為Ci i i Ii a m a m F =向任意一點O 簡化CC C i i i i i Ii i IO a r m a r m (a m (r F r M ×=×=×=×=假如選質心C 為簡化中心,則主矩0r 0a r m M C C C IC=×=Q 平動剛體的慣性力系可簡化為一個通過質心的合力,其大小等于剛體的質量與加速度的乘積,方向與加速度相反。CIR C IR a m F = 理論力學傅莉霞2yz xz Ix J J M =同理2xz yz Iy J J M +=(+=n i I z ti I z Iz F M F M M 因(有,

7、0=nIi z F M (z ii i i i t Ii z Iz J r m r r m FM M =2k M j M i M M iz Iy Ix IO +=所以,剛體定軸轉動時,慣性力系想轉軸上任意一點O 簡化的主矩如果剛體有質量對稱面且該面與轉動軸垂直,簡化中心取此平面與轉軸的交點,則=0,0i i i yz i i i xz z y m J z x m J 有z Iz IO J M M =具有質量對稱面的剛體繞垂直于對稱面的軸轉動時,其慣性力系向軸心簡化的結果,得到一個力和一個力偶。力的大小等于剛體的質量與質心加速度的乘積,方向與質心加速度方向相反,作用在簡化點O。力偶的力偶矩的大小

8、等于剛體的轉動慣量與剛體角加速度的乘積,轉向與轉動加速度轉向CIR a m F =幾種特殊情況;可進一步簡化:轉軸通過質心,角加速度0(a ,由于a c =0,慣性力系簡化為一力偶,剛體作勻角速度轉動,即角加速度=0 (b ,但轉軸不通過質心,慣性力系簡化為一合力,轉軸通過質心,且角加速度=0(c ,則慣性力系的主矢和主矩均為零,即慣性力系為平衡力系。C IC J M =。其大小為2C I nc I mr F ,a m F = 3.剛體作平面運動CIR C Ic a m F J M =具有質量對稱平面,且運動平面平行于質量對稱面。例12-4如圖所示均質桿的質量為m,長為l,繞定軸O轉動的角速度

9、為,角加速度為。求:慣性力系向點O簡化的結果(方向在圖上畫出。 解:t IO 2l m F t IO =2n IO22l m F n IO =2IO 231ml M IO =例12-5如圖所示均質圓盤質量m ,半徑R,在O處鉸接,B處支承。已知:OB=L。求:用動靜法求撤去B 處的約束瞬時,質心C 的加速度和O處約束反力。 解:運動與受力分析圓盤在撤去B 處的約束瞬時,以角加速度繞O 軸作定軸轉動,質心加速度a c =R ,這一瞬時圓盤的角速度= 0 。受力如圖(b 。確定慣性力C C 22O IO CI mRa 23R a mR mR 21(J M ma F =+= 建立平衡方程,確定質心加

10、速度及O 處約束力應用動靜法,建立下列平衡方程mg cos F F ,0F 0sin F F ,0F 02L mg M ,0F (M I Oy x I Ox x IO O =+=R 2L cos R 2L R 4sin 2 2=,其中(解得2222Ox C L L R 4R 6mgL F R 3gL a =例12-6如圖所示均質圓輪在無自重的斜置懸臂梁上自上而下作純滾動。已知:半徑R=10cm、質量m=18 kg;AB長l =80 cm;=60°。求:圓輪到達B 端的瞬時,A端的約束力。 解:方法一:運動與受力分析 以圓輪為研究對象,并設圓輪到達B 端瞬時的角加速度為。圓輪作純滾動,

11、其質心加速度的大小a c =R 。按照平面運動剛體慣性力系統、簡化的結果施加慣性力F I 、M IC ,受力如圖(b 。確定慣性力(21(2b mR J M a mR ma F C IC C I =建立平衡方程,求角加速度和慣性力以圓輪為研究對象,根據(有C 0R cos mg M R F ,0F (MIC I B =+=將式(a 和式(b 式代入(c ,得圓輪的角加速度 R3cos g 2=將其代入式(a 和式(b,得慣性力Rmg 3cos M mg 3cos 2F IC I =求A 端約束力以圓輪和桿組成的整體為研究對象,受力如圖(c 。建立平衡方程 mg cos F F ,0F 0sin

12、 F F,0F 0M sin mgl cos mgR R F M ,0F (M I Ay x I Ax xA I IC A =+=+=5cos 2N (9.50mg 3sin cos 2F m N (2.122sin mgl R 3cos 2R 3cos sin l cos R (mg M :2Ax A =+=解得方法二:先用動能定理求運動以圓輪為研究對象,3cos 2cos 243cos 43(2dT smg W mv R v mR mv J mv T C c C C C C C C =+=+=cos g 2= 例14-7如圖所示,電動絞車安裝在梁上,梁的兩端擱在支座上,絞車與梁共重為P。絞

13、盤半徑為R,與電機轉子固結在一起,轉動慣量為J,質心位于O處。絞車以加速度a提升質量為m的重物,其它尺寸如圖。已知:.JPR,m,a求:支座A,B受到的附加約束力。 解:ma F I =+=R J ml a Pl mgl l l 1F 23221A解得:Ra J J M 0I =(=+=021322l l F M Pl l F mgl MA IOB 00=+=I B A y F P mg F F F (+=R J ml a l l l P mgl l l F B 13211211上式中前兩項為靜約束力,附加約束力為+=R J ml l l a FA 221+=R J ml l l a F B

14、121 例12-8已知,均質圓盤,R m 1均質桿,m R 2l =純滾動。求:F 多大,能使桿B 端剛好離開地面?純滾動的條件? 解得g m m F 32321+=Ra R m M a m F A A 21121,=I I 30cos 30sin 02I I I =o o gR m R F M R F FR M C A A D 整體為研究對象。圓盤平面運動。ga 3=Q理論力學傅莉霞得g m F s 123=解得(13m F f s s =(gm m f F f F s N s s 21+=由(00021=+=a m m F F F F F F Fs IA IC s x 純滾動的條件為 理論

15、力學傅莉霞=+=0F F F F 0Fx I x R x B x A x §12-4 繞定軸轉動剛體的軸承動約束力=+=0F F F F 0F y I y R y B y A y =+=0F F 0F z R Bz z =+=00x I x y A y B x M M OA F OB F M 00=+=y I y Bx Axy M M OB F OA FM解得(OBMMOBFMABFIxIxRxyAx+=1(OBFMOBFMABFIyIxRyxAy+=1(OAFMOAFMAB1FIxIxRxyBx+=(OAFMOAFMABFIyIxRyxBy+=1RzBzFF=理論力學傅莉霞 靜平衡:若剛體的轉軸通過質心,且剛體除重力外,沒有其他主動力作用,則剛體可在任意位置靜止不動。動平衡:若剛體的轉軸通過中慣性主軸時,剛體轉動時,不出現動反力。動平衡的剛體一定是靜平衡;靜平衡的剛體不一定是動平衡。理論力學傅莉霞 例12-8 如圖所示,輪盤(連同軸的質量,20K