1、、用羅爾定理的有關方法"例1設八力在血3上連續，在3 3)內可導，且/十/(1)+3 =箝/=1iSffi：必存在4口0二力j使F©三證；/在皿3上連續，:在血用上連續，目有最大值M和最小值也于是用 4/(0) AM;第故m < |/(0)+/(L) + /(2)由連續醵住信定理可知；至少存在一點。e 0,2使得/8)=；LA0)+/a)+= 因此八且八琦在口刃上連續？ 3 3>例2設F8在KU l±i叁賣> (0, 1)內可導，且3卜/(，班二/(0” 3求證；存筏亡QR使，(。=0,證：由積分中值定理可知，存在丘寫"使得小(；= /

2、(cXl - 5)射5s得到3 = 3，。)奴=，(。)標J對FQ)在明可上用羅爾定理,(三個條件者"商足)故存在仁(0)，使 m = 0，設/W在R1上連續，（。，1）內可導,對任意配1,有7（1）二£上./3必求證存在e亡31）使fXC） =C1-Ub/HA11證：由積分中值定理可知存在c e o,曰使得n xf（x）dx=匚j/ax： - a” k k金尸（力=4T人力 可知F（T） = /（I） 4i這樣萬二了=耳7皿1/3而=c/7©=FS"對員）在匚1上用羅爾定理（三個條件都滿足存在j曰a 1）匚（oj）f使尸=o *而尸=痙1，（處一317

3、/（空）+W1，巧打六 r（e）=y-V（e）-a- 1）/（e）=又全于o,則/h）=q-；）/例斗設/在。/】上連續I在 0內可導J 0> =汽1） = 0, “3 = 1試證（I）存在bE4，Df使= k3（2）對任意實數3存在曰使得廣©F（GY=1>證明：C 1 ）令（x） = /（x）-x ,顯然它在附1上連續，又W） = T<。,以g= g>。"艮據介值定理J存在"匕（；）使牛（7）0即人%=7（2）令尸=*火力=一工人月一工卜它在電加上滿足羅爾定理的條件j故存在火電利使尸（4） = 0,即產/團-力-止1=Q -從而/'

4、;© 一司/月一用二1，（注：W.4 <2>的證明中，相當于模型I中（1）的情形，其中,取為，取為（江）=/（無）一工）*模型口:設/，氟用在【口圖上皆連續（鼻匕內音可導,且八口） = 0, g（b） =0 ,剛存在欠g，使八Gg+/X分M分=農ffi：令凡分二人工也）,則F=FQ） = 0,顯然尸在I。,匕上滿足羅爾定理的條件,則存在營正口冷），-F密）=0,即證十聊5設/（2在電1上連續，（0J）內可導，例6=。，上為正整教.，求證：存在穴D使得）（9十獷©k/'O證：令冢力=（h-D"。二。占=1,則/（0）=0,晨D = 0,用模型n,

5、存在穴（0：1）怖導一/VXJ-D、貼一1嚴/©=o -故"奴”1）+憶后=0一 則“'（，+獷=穴3例6設/（外,蟲在3埒內可導J且，（*）或X）工/（r）g#（x）,求證（，）在g： b）內在意兩個零點、之間至少有一個營住）的零點中證；反證法;設門V工M4占，（巧）=0 r /（4）=0而在（/產;內耳（K）# 口 ,則令f（x）=£3在斗上用羅宏定理“ 自【：/（）= /X巧）=。，戶（國）=再'=°，F（W）="二 0戶 姓均）晨再）（不妨假設烈修）工0,烈叼）H0否則造論已經成立），貝府在4c凡 工）使/©=

6、0,得出八9z©-«辦或冷=0與假設條件矛盾，所以在3巧）內飄冷至少有一個零點例7設/（劉,氟冷在d b 二的可導,且不鈍'又f（G="乃=/3） = SW = o尸求證；（1）在外方）內火力工心（2）存在占£-協|使%=笑川S （）證“ i）用反證法,如果存在"a仍使gs）=o,貝底r虱，）分別在0/闡匕可 上用羅爾定理,存在均-3便%）=0,存在.E（cb）使或&）=g 再對/在4均上用羅爾定理存在三（七.百）使短飆）:0與假設條 件1（Who矛盾。所以在（且處內且工03 由結論可知即尸U）g&）f（9送值）=0,因

7、此令網#=虱力FG）-，a）fa）,可以電證網力在回切上連續，在（珥4） 內可導,Fg） = F=口滿足羅爾定理的三個條件故鼾會尸©二。3于是尸四）-/才化）=0蜘利用羅爾定理證明時輔助函數構造的練習1設f （2在（%。）上連續，在1%即可導，且當工1（*力）時, /（玄）二0若"。）=/（初:。，證明對任意實數左存在點（，§方）使二匕 /（9設在/仆）0#上連續,在（0,1）可導,且0） = 1/（1）=",求證：在（0.1）內至少存在一點,使尸（9=一0、3設F = 口 - " （*卜其中/住底1習具有一階連續導數 ，在（"） 內

8、二階可導，且/Q）=f屋）=0,試證明存在（1,2）使產”（？）= 0.設實數/，。反滿足fl1 -十",十 （- 1）" 1= 證明；/ cos x 十 az cos 38十a” co$（ 2n 一 l）,v =。在（0.工）內至少有一個實根.設，（%）可導,求證：/O）的兩個零點間一定有/1可+ /十支射勺零點.6設/在（yd,2）上可微，且外冷工17試證明方程/二、最多有一個其根設函數/（工）在0上觸，在（0訥可導，且0J=f, 4試證明，方程（1+，1）/（"）=1在（0）內至少有一個實根 .g設/G庵04止連續，在（04訥可導，且/（0）二心對任意工EO

9、M）有口豐5證明存在二三（0J腰-7- = 22二”9設N）在0,1上連續任出1兩可導,且0） = Q,對任箴工£ （04有 八工）不0,證明存在右已傳1疲咤畢二銬二4g為自然數）./（O10設住）在UM上連實在（IM內可導，且Al）=0/0 = L 證明方程,A/'（x） = l在（1間內至少有一實根.11設省物（支）在。怖上連續，在O；訥可導屈/”/（；） =1,試證明方程cos- W8 = 1在（0,一）內至少有一實根.12設在上連續，在（/于內可導，且Q） =Q"（W）= 1，試證明方程/1，）=8右或在10,三溝至少有一實根.設/（x）在og上連緘，在（0

10、1）內可導，且/弓）二0. 證明存在一點火嗚）應+，%）.人）=0.答案1.（答案：2.(答案：F(x) = /(x)yT（先求出產則尸q）=o,因為/a”r工o,由羅爾定理得1存（答案：F4.3.在X4L2）.使得F=0.對尸在區間L川上再使用羅小定理）任siu x sin 3 *dn( 2 n - 1) .v3Zn 1（設八號S<G是八用的兩個零點，即/=o, f并設5 . Si?.在區間M川上對函數F應用羅爾定理）（設FG） =則¥在（g,+oo）上可微和連續，且F（2= /（x）-U 0如云/=a'不二一 ,二丐.，春.：、；:：使得尸u）=k FM = 0f6

11、 .由羅爾定理：必存在=（-%+，使得FQ2 ,（答案:把（1+一）八，）=1化為八玄）-：；丁=。，可設1 + x7.8.(答案：把一?化為/*(#)/(1-”-/口)'。-工)=0,或化 /()/(I 一 士)為 Qu/(x)y =-(Inni-x)/ , 故(in/j 二向C), 所 以制4】-x) = C 可設 F(x) = f(x)fd- x)9.得x)-x) = 0， 或 化 為(kIh/X*) = -(1d/(1- x)J , 故 (la/善國-lit/Q- =(luC)， 所 以r(x)/(l-x) - C，可設事(或./-(x)/(l- x)10把 = 1 化為 了&

12、#39;（工）一：二 0 ,可設F3 = AMT口 K；11答案，把co/W(2 = l化為廣二'=° ,可設l u m 人F(x) - /(jc) - tati-r )12(答案：把/住)=cost化為/(r)-cosx=0 可F(x) = /(x)- sin .y ),答石把（”>/1）=。.化為福+詈?= °,則13In f(x) - In siu x -】n C 可設F(x) /(x) sin x '拉格朗日中值定理運用拉格朗日中值定理證明問題的 些特點，H告介值的一階或階導數1如茸）JT/）的等式或不等式的證明間題.常第通過對 原式進行恒等靈

13、形，三I進合適的輔助函數儀由，然后再利用巾值定理法行證明，2）如果等式或不等式中含雙介值（如專同）的導數，則T需要運用兩次拉格朗日中值定 理I3）如果等式或不等式中含介值的二階導數（如/*g）,則可育要運用兩投甚至三次拉格 朗日巾值定4）在運用校珞朗日中值定理進行證叫的問題中,有時需要站臺運用連續函題的介值定理或 積分中值定理，典型例犀例1設函數/（冷在閉區何1上述縹 在開區間電1）內可導，且/（0）=6«1）=；,證明： 存在4e （0> e g ,1使匍氣與:廣=鏟+（注：2010年教學二（21） & 本題滿分1CI分）分析：本題含雙介值曷人 需要運用兩次,中值定理

14、。苜先或原等式fW）十/Q） = 3十/ 中的名？分離，可化為廣稽）一爐=-（7電A1，左右曲邊的形式相同.將/&）-鏟中 的T工得/（1）一 一二“算）一：白，令產W =八分*計尸（K）分別在區間03和川上運用兩次拉格朗日申遒定理可得所證.證:設函數/由題意知f（o）=of" 在同與和上分別應用拉格朗日中值定理，有尸©-尸（0）二尸- 0）:1r-三"w ® 1）,F（l）-F（i）二式相加，=尸出）（1一；） = ；7）一/舊£（31）- JarAri!占，口C得：尸 一 f（o）=： /紜）r +4/一/=。，UD即，©十/5）=平十丁例2已知的裁/（幻在3 H上連續，在（>1）內可導.fi/（0） = 0,/（!） = 1*證明，（I）存在丁江。），使得/g） = l 4 tu）存在兩個不同的離不已（0.1）.使得“切八G=1,分析,第一部分不含導數.只涉及函數介值，應讀用閉區間上連纜函數的介值罡理I第二部 分為關于號數的雙介值間題，可考慮用拉格朗日中值定理.但應注意利用第一部分已再結論一證仃