1、 曲面的面積曲面的面積 重心重心 轉動慣量轉動慣量 引力引力iiAS ),(iii iSi iAxyzO求由方程求由方程Dyxyxfz ),(),(所確定的曲面所確定的曲面 S 的面積的面積對區域對區域 D 作分割作分割 T , niiTAS10|lim一、曲面和面積一、曲面和面積曲面面積的計算公式曲面面積的計算公式先計算先計算 Ai 的面積的面積.iiiA cos zini i iAi ),(),(11|cos|22iiyiixiff iiiyiixiffA ),(),(122 niiiiyiixTniiTffAS1220|10|),(),(1limlim Dyxyxyxfyxfdd),()

2、,(122所以假設曲面方程為所以假設曲面方程為Dyxyxfz ),(),(那么該曲面的面積那么該曲面的面積 S 為為 DyxyxyxfyxfSdd),(),(122闡明闡明: zyDzyzyxx ),(),(zxDzxzxyy ),(),(那么曲面面積那么曲面面積 S ：假設曲面方程為假設曲面方程為 yzDzyzyzyxzyxSdd),(),(122假設曲面方程為假設曲面方程為那么有公式：那么有公式： xzDzxzxzxyzxySdd),(),(122例例1求圓錐求圓錐22yxz 在圓柱體在圓柱體xyx 22內那一部分的面積內那一部分的面積.解解 DyxyxzzSdd122所求面積的曲面的方程

3、為所求面積的曲面的方程為22yxz xyxD 22:,22yxxzx ,22yxyzy 21122222222 yxyyxxzzyx所以所以 Dyxdd2 42 例例. 計算雙曲拋物面計算雙曲拋物面 yxz 被柱面222Ryx所截 解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影為面上投影為,:222RyxD那么yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面積 A .設空間有設空間有n個質點個質點, ),(iiizyx, ),2,1(nimi 由力學知由力學知, ,11 nkknkkkmmxx,11 nkknkkkmmyy nkknkkkmmzz11

4、分別位于分別位于其質量分別為其質量分別為該質點組的重心坐標為該質點組的重心坐標為二、重心二、重心設空間物體設空間物體 V , 有延續密度函數有延續密度函數),(zyx 采用采用 “分割分割, 近似替代近似替代, 求和求和, 取極限取極限 可導出其可導出其重心坐標公式重心坐標公式.求求 V 的重心坐標的重心坐標. 將將 V 分成分成 n 小塊小塊, ),(kkk 將第將第 k 塊看作質量集中于點塊看作質量集中于點),(kkk 的重心坐標的重心坐標. 例如例如,此質點組的重心坐標就近似該物體此質點組的重心坐標就近似該物體的質點的質點, 其質量為其質量為在第在第 i 塊上任取一點塊上任取一點nkkk

5、kknkkkkkkvvx11),(),(kkkkkvm ),( 令各小區域的最大直徑令各小區域的最大直徑,0|T VVzyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),( 即得即得其中其中 m 為物體為物體 V 的質量，的質量， VVzyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),( VVzyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),( mzyxzyxxV ddd),( mzyxzyxyV ddd),( mzyxzyxzV ddd),( 同理可得同理可得 ,),(常數時當zyx那么那么,dddVzyxxxV ,dddVzyxyyV .dddVzyxzzV 其中其中 V 表示區域表示區域

6、V 的體積的體積假設物體為占有假設物體為占有xoy 面上區域面上區域 D 的平面薄片的平面薄片, ),(yx DDyxyxyxyxxxdd),(dd),( ,常數時,ddDDSyxxx (SD 為為 D 的面的面積積)那么那么那么它的重心坐標為那么它的重心坐標為其面密度為其面密度為 DDyxyxyxyxyydd),(dd),( ,ddDDSyxyy 4例例. 求位于兩圓求位于兩圓 sin2 r sin4 r和和之間均勻薄片的重心之間均勻薄片的重心. D解解: 利用對稱性可知利用對稱性可知0 x而而 DDyxySydd1 Drrr ddsin31rr dsin4sin22 dsin95604 2

7、956 dsin2956204 37 0dsin31 43 212 2oyx質點質點 A 對于軸對于軸 l 的轉動慣量的轉動慣量 J 慣量可用積分計算慣量可用積分計算. 質點組的轉動慣量等于各質點質點組的轉動慣量等于各質點和和 A 與轉動軸與轉動軸 l 的間隔的間隔 r 的平方的乘積的平方的乘積, 即即 2mrJ 三、轉動慣量三、轉動慣量的轉動慣量之和的轉動慣量之和, 故延續體的轉動故延續體的轉動r等于等于 A 的質量的質量 m 設設),(zyx 在該物體位于在該物體位于( x , y , z ) 處取一微元，處取一微元，vzyxyxd),()(22 因此該物體因此該物體 對對 z 軸軸 的轉

8、動慣量的轉動慣量: VzzyxzyxyxJddd),()(22 zJdxVyoz對對 z 軸的轉動慣量為軸的轉動慣量為 22yx 其體積記為其體積記為 dV ，質量為，質量為 Vzyxd),( 到到 z 軸的間隔為軸的間隔為22yx 從而從而為空間物體為空間物體 V 的密度函數，求的密度函數，求 V 對對 z 軸的轉動慣量軸的轉動慣量. ),(zyx類似可得類似可得: VxzyxzyxJddd),( VyzyxzyxJddd),( VOzyxzyxJddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx 對對 x 軸的轉動慣量軸的轉動慣量對對 y 軸的轉動慣量軸的轉動慣量對原點的轉動慣量對

9、原點的轉動慣量普通說來，假設普通說來，假設 V 中的點中的點 ( x , y , z ) 到轉動軸到轉動軸 l 的間隔為的間隔為那么轉動慣量為那么轉動慣量為, ),(zyxr VlVzyxJd),( ),(2zyxr對坐標平面的轉動慣量分別為對坐標平面的轉動慣量分別為 VxyzyxzyxJddd),( VyzzyxzyxJddd),( 2z2x對對 xy 平面的轉動慣量平面的轉動慣量對對 yz 平面的轉動慣量平面的轉動慣量 VxzzyxzyxJddd),( 2y對對 xz 平面的轉動慣量平面的轉動慣量 DyyxyxJdd),( 假設物體假設物體 D 是平面薄片是平面薄片, 面密度為面密度為 D

10、yxyx ),(),( DxyxyxJdd),( 那么轉動慣量的表達式是二重積那么轉動慣量的表達式是二重積分分.xDyo2y2x普通說來，假設普通說來，假設 D 中的點中的點 ( x , y ) 到轉動軸到轉動軸 l 的間隔為的間隔為那么轉動慣量為那么轉動慣量為),(yxr DlyxyxJdd),( ),(2yxr ),(yx例例4 求密度均勻的圓環求密度均勻的圓環 D 對于垂直于圓環面對于垂直于圓環面中心軸的轉動慣量中心軸的轉動慣量zyx解解設圓環設圓環 D 為為222221RyxR 密度為密度為，那么，那么 D 中任一點中任一點 ( x , y ) 與轉軸的間隔為與轉軸的間隔為22yx 于

11、是轉動慣量于是轉動慣量 DyxJ d)(22)(24142RR 21dd220RRrrr )(221222122RRRR )(22122RRm rraddsin0302 例例. 求半徑為求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑的均勻半圓薄片對其直徑解解: 建立坐標系如圖建立坐標系如圖,yxyIDxdd2 Drrr ddsin22 441a 241aM 半圓薄片的質量半圓薄片的質量 221aM 2212 oxyDaa的轉動慣量的轉動慣量. 481a 設薄片的密度為設薄片的密度為，那么，那么例例6. 設某球體的密度與球心的間隔成正比，設某球體的密度與球心的間隔成正比，求它對于切平面的轉動慣量求它對于切

12、平面的轉動慣量解解建立坐標系如圖建立坐標系如圖,設球體為設球體為2222Rzyx 密度為密度為222zyxk k 為比例常數為比例常數.切平面方程為切平面方程為 z = R , VVzRzyxkJd)(2222 RrrrRrk022020dsin)cos(dd RrrrRrRk03222020dsin)coscos2(dd 6911Rk 那么球體對于該切平面的轉動慣量為那么球體對于該切平面的轉動慣量為V),(zyx 求密度為求密度為F的物體的物體 V 對物體外質量為對物體外質量為 1 的的的單位質點的單位質點 A 的引力的引力在該物體位于在該物體位于( x , y , z )處取一處取一微元，

13、其體積記為微元，其體積記為 dV ，質量為，質量為 Vzyxmd),(d 對質點對質點 A 的引力為的引力為設設 A 點的坐標為點的坐標為, ),( 四、引力四、引力),( ),(zyx該引力在坐標軸上的投影為該引力在坐標軸上的投影為VrxkFxdd3 ),(1d1d2 zyxrrmkF),(d),(3 zyxrVzyxk其中其中 k 為引力常數，為引力常數，222)()()( zyxrVrykFydd3 VrzkFzdd3 于是所求力在坐標軸上的投影分別為于是所求力在坐標軸上的投影分別為V),( ),(zyxr VxVrxkFd3 VyVrykFd3 VzVrzkFd3 所以所以),(zyxFFFF AaRxyzo例例7. 求密度求密度 的均勻球體的均勻球體 V ：2222Rzyx )(), 0 , 0(RaaA 的單位質量質點的引力的單位質量質點的引力. 解解: 利用對稱性知引力分量利用對稱性知引力分量0 yxF