1、3.2導數在實際問題中的應用3.2.2最大值、最小值問題【課前自主預習】【學習目標】1掌握最大值與最小值的概念；2理解掌握最值與極值的區別與聯系； 3能夠利用導數去求函數的最值.1有關函數的最值問題。(重點)2.最值常與函數的極值以及函數的值域等結合考 察。(難點)。3最值與函數的極值。(易混點)【學習脈絡】請沿著以下脈絡預習:1、最大值、最小值的概念： .M -m =.解析：32; f '(x) =3x2 -12 =0解得：x = 2 f(_2)為極大值，f (2)為極小值。計算 f(_3)=17、f(_2)=24、f(2)二8、f(3)=1二 M =24 , m - -85.求f(

2、x) =x2 -4x3在區間-1,4上的最大值與最小值.解: f (x) =2x 4 .令，解得 x = 2 .列表：(-1,2)(2,4)(X)一+f(x)遞減遞增從上表可知，函數 f (x)的最大值是，最小值是.【課堂合作探究】知能點一：函數在區間上的最值問題。【指點迷津】 函數f (x)在給定區間上連續可導，必有最大值和最小值，因此，在求閉區間a,b 1上函數的最值時，只需求出函數f (x)在開區間(a,b)內的極值，然后與端點處函數值進行比較即可.【典型例題】例1求下列函數的最值：(1) f(x) =3x x3,( 3 乞 X E3)；(2) f (x)二 sin 2x - x,( x

3、 )2 2【思路分析】利用求最值的一般步驟，要注意應用適當的計算方法，保證運算的正確性.【解析】 f (x) =3 -3x2，令 f (x) =0，得 x = _1 , - f(1) =2, f (-1) = -2 .又 f (-. 3) =0, f (3) = -18.I f(X)max =2,f(X)min - -18 f (x) =2cos2x -1，令 f (x) = 0，得 x 二6f 0=旦送16 丿 2 6,5 、ji了 兀、兀又 f i= f 1 =.12 丿2,I 2 丿23171 f ( x) max = 2 , f ( x) min = _ £ .【規律小結】(

4、1)準確求導；(2)研究函數的單調性，正確的求出極值及端點值(3)比較大小，有時需要討論In x【知一反三】1函數y =的最大值為()X10 A.B.C.D.3 解析：A；2、求函數f(X)= X 1 - X2的最值.解析屈數定義域為-1_X_1，當X三(-1,1)時,f(X)-iXx2-令 f (x) =0,解得 X - , f2 ,2 I2丿又 f(-1) =-1, f (1)=1 , f(X)haX 2,f(X)min = -1.知能點二：通過最值求參數的取值范圍【指點迷津】由于參數的取值范圍不同會導致函數在所給區間上的單調性的變化，從而導致最值得變化；可以從導函數值為零時自變量的大小或

5、通過比較函數值的大小等方面進行參數 分解的確定。【典型例題】 設R，函數f(x)二ax3 -3x2.若函數g(x f (x) f (x),0,2，在x = 0處取得最大值，求的取值范圍.【思路分析】 利用求最值的方法確定 a的值，注意對a的討論【解析】解：由題設，g(x)二 ax3 -3x2 3ax2 -6x = ax2(x 3) -3x(x 2).當g(x)在區間0,2上的最大值為 g(0)時，g(0) > g(2)，即 0 > 20a -24 故得 a < .5反之，當a W 時，對任意x 0,2，56 2g(x) < x (x 3) -3x(x 2)53x(2x2

6、 x -10)53X(2x 5)(x -2) W 0 , 而g(0) =0，故g(x)在區間0,2上的最大值為g(0).5綜上，的取值范圍為-：,65【規律小結】若函數的最大值中含有參變量，需對參數進行討論。【知一反三】1、已知t為常數，函數y = x22xt在區間0, 3上的最大值為2,貝 U t=。解析：1;x 132已知是實數,函數f (x) = x2(x - a)。求f (x)在區間0,2上的最大值。解析：令f (x) = 0,解得f (x)在0,2上單調遞增，從而max 二 f (2)=8-4a.f (x)在0,2上單調遞減，從而max 二 f (0)=0 .當O號2，即。"

7、;3時，f(x)在吟上單調遞減，在號,上單調遞增，從而爲二曠4a'0<a :0,2 a 3.8 4a,綜上所述，0,a < 2,a 2.【課時訓練】1.函數十41x31x2，在1, 1上的最小值為()解析：A;B . - 2 C.13122.函數 y'XX2的最大值為(1C. 一2解析：A;3.函數y =x4 -4x 3在區間I -2,3 I上的最小值為(A. B . C . D解析：D； y =4x3 一4,令y = 0,4x34 = 0,x = 1,當x ：1 時,y : 0;當x 1 時，y0得y極小值二ylx4 = 0,而端點的函數值y|x = 27, y|

8、x72，得ym = 0324.設f(x)=ax 6ax+b在區間1, 2上的最大值為3，最小值為29,且a>b,則()A. a=2,b=29B. a=2,b=3C.a=3,b=2D. a= 2,b= 3解析：B ；5.設 f(X)= x3-1 x2 -2x 5 ,2當x -1,2時，f (x) ： m恒成立，則實數的取值范圍為。解析：二) x -1,2時，f(x)=7max6函數f(x) =sin2 x在-一,0上的最大值是 最小值是41解析：丄,0;217. f(x) x sin x在區間0, 2二上的最大值與最小值.”-1*2兀4 兀解析：f (x) cosx .令f (x) =0，

9、解得為,X2.列表:2332兀(0,亍)2兀32兀 4兀(n)334兀34兀(訂)f (x)+一+f (x)遞增巴衛32遞減空2/一3 一 2遞增從上表可知，函數 f (x)的最大值是，最小值是.2 332V68.設一：a；：1，函數f(x)=x -ax ，b (-仁x1)的最大值為，最小值為，求3 22常數，解析：f (x) =3x2-3ax =0，解得為=0, xa .列表:(T,0)(0,a)(a,1)f (x)+一+f (x)T _爲 +b2遞增遞減3-a +b3遞增31 _ a 十 b23 由表格可知，f(0) f(a), f (1) f (-1)，所以 f(0)-f(1) a-1

10、0,2所以f (x)的最大值為f (0) = b，所以b =1 .又 f （一1）一 f （a）1 2=評 1） （a2）：0,所以f (x)的最小值為33J6f（-1） = -1a ba，所以 a =223【百尺竿頭】已知x、y為正實數,且滿足關系式x2-2x 4y2 = 0,求x y的最大值.解析:解法一：4y2=2xx2y a 0, y =- x2 ,2x y =, 2x -x2 .2x>0 由2 解得0 v x蘭2 .、2xx >0設 f（x）二 xy 二丄 x 、2x x2 （0 ： x 二 2）.2當 0 ： x : 2 時,+ x（1-X）塔2x - x222 x（3

11、 二 2x）_2、2x- x2令 f（x）=0 ,得 x =或 x=0 （舍）.2f少3，又f(2)=0函數12丿8f (x)的最大值為即x y的最大值為38解法二：由 x2 2x 4y2 =0 得（x1）2 4y2 =1（x 0,y 0）,1設 x 1 二 cos： , y sin : （0 ：:二）2 ，11 x y sin ： （1 cos：），設 f （： ）sin ： （1 cos ）,22貝y f（： ） = 1 Lsin2 "：亠（1 cos： ） cos：】22（2cos « +cos。T） = （cos。+1） cos«1令 f GO - 0 ,

12、得 cos： - -1 或 cos、：兀 ,3蔦，此時-,y =0 ： :二,.:.£壓、3J-：壓3 品f 一 1 =，二 |f 一 丨| =.I-丿8 13丿ax8即當 x=3,y=時，l-x-yma31.248【規律小結】進行一題多解訓練，是一種打開思路，激發思維，鞏固基礎，溝通聯系的重要 途徑，但要明確解決問題的策略、指向和思考方法，需要抓住問題的本質，領悟真諦，巧施 轉化，方可快捷地與熟悉的問題接軌，在實現轉化的過程中，關鍵是要注意變量的取值范圍 必須滿足題設條件，以免解題陷于困境，功虧一簣.【備課百寶箱】對數函數中導數的應用【高考目標定位】一、考綱點擊(1 )理解對數的概

13、念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化自然對數或常用對數；了解對數在簡化運算中的作用。(2) 理解對數函數的概念，理解對數函數的單調性，掌握對數函數圖象通過的特殊點。(3) 知道對數函數是一類重要的函數模型。(4) 了解指數函數y=ax與對數函數y =logax互為反函數(a 0,且a = 1)二、熱點提示(1) 對數函數在高考的考查中，重點是圖象、性質及其簡單應用，同時考查數學思想方法，以考查分類討論、數形結合及運算能力為主。(2) 以選擇、填空的形式考查對數函數的圖象、性質；也有可能與其他知識結合，在知識交匯點處命題，以解答形式出現，屬中低檔題。【考綱知識梳理】一、對數的概念(1)

14、 對數的定義如果ax =N(a -0且 a")，那么數叫做以為底，的對數，記作x = logaN，其中叫做對數的底數，叫做真數。(2) 幾種常見對數表格1對數形式特點記法一般對數底數為a > 0, 且 a工11 N loga常用對數底數為10lgN自然對數底數為eln N2、對數的性質與運算法則(1)對數的性質(a 0,且a=1):log NN loga1 =0， logaa =1， a ga -N， logaa - N。(2)對數的重要公式： 換底公式：logb均為大于零且不等于i,n 0)；log a1啦檢'推廣 logabUog4og"logad。(3)

15、 對數的運算法則:如果a - 0,且a =1，M 0, N0那么g (MN )= log aMlogaMloga loga M N-log a Nloga M n=n logaM(n R);logam bn=nloga b m。3、對數函數的圖象與性質a冷0 v a "圖：廠 1 他£(£j >1)h 1象丄f rO(1 )定義域：(0,+)丿性(2)值域：R1 土(3 )當x=1時，y=0即過定點(1, 0)質(4)當 0 vx <1 時，y E (-°°,0);(4)當 xa1 時，ye (-°°,0);當

16、x =1 時，y e (0,畑)當0 c x £1時，y運(0,畑)（5）在（0,+）上為增函數（5）在（0,+）上為減函數注：確定圖中各函數的底數 a, b, c, d與1的大小關系提示：作一直線y=1，該直線與四個函數圖象交點的橫坐標即為它們相應的底數。100/ 0<c<d<1<a<b.4、反函數指數函數y=ax與對數函數y=logax互為反函數，它們的圖象關于直線y=x對稱。【熱點難點精析】一、對數的化簡與求值對數的化簡與求值的基本思路（1）利用換底公式及，盡量地轉化為同底的和、差、積、商運算；（2）利用對數的運算法則，將對數的和、差、倍數運算，轉

17、化為對數真數的積、商、幕再運算；（3）約分、合并同類項，盡量求出具體值。例1計算2（1 （Ig2） lg2 lg50 lg25 ；（ 2）（log 彳2 log? 2） （Iog4 3 log 8 3）；lg 5 lg 8000 （lg 2 3）21 1lg 600 lg 0.036 lg 0.1（3） 2 22 2解:（ 1）原式=（lg 2）（1 lg5）lg 2 lg5 =（lg2 lg5 1）lg 2 2lg5=（1 1）lg2 2lg5 =2（lg2 lg5） =2 .=(Ig2 . Ig2)(Ig3 . lg3(lg2 . lg 2)( lg3. _lg)(2)原式(lg3 lg9

18、)(lg4 lg8)(lg3 2lg3 2lg2 3lg 2)_ 3lg 2 5lg3 = 52lg3 6lg 24 .(3) 分子=lg 5(3 3lg 2) 3(lg 2)2 =3lg5 3lg2(lg5 lg2) =3 ；(lg6 2) - lg分母=3611000 106lg6 2-lg43原式=4。二、比較大小1、相關鏈接(1 )比較同底的兩個對數值的大小，可利用對數函數的單調性來完成。 a>1,f(x)>0.g(x)>0,貝V logaf(x)>log ag(x)f(x)>g(x)>0; 0<a<1,f(x)>0,g(x)>

19、;0,則 logaf(x)>log ag(x)0<f(x)<g(x)(2 )比較兩個同真數對數值的大小，可先確定其底數，然后再比較。若a>b>1，如圖1.當 f(x)>1 時，logbf(x)>log af(x);當 0<f(x)<1 時，logaf(x)> log bf(x).若1>a>b>0,如圖2。圖2當 f(x)>1 時，logbf(x)> log af(x);當 1>f(x)>0 時，logaf(x)> log bf(x). 若 a>1>b>0。當 f(x)&

20、gt;1 時，貝V log af(x)> log bf(x); 當 0<f(x)< 時，則 logaf(x)<log bf(x).(3)比較大小常用的方法1和0為中間值)作差(商)法；利用函數的單調性；特殊值法(特別是2、例題解析例對于0 ： a <1，給出下列四個不等式:1 loga(1 a) ：loga(a 一); a1 loga(1 a) loga(1 )；a1 i1電 a :： a a;4七1屯 a a a a;其中成立的是()(A)與(B)與(C)與(D)與分析：從題設可知，該題主要考查y = loga x與y = ax兩個函數的單調性，故可先考慮函數的

21、單調性，再比較大小。1111品1丄解答：選 D。： 0<a<1,. a< ,1+a<1+ , / log a(1 a) loga(1), a a a;即aaa正確。三、對數函數性質應用1、相關鏈接(1) 對數函數的性質是每年高考必考內容之一，其中單調性和對數函數的定義域是熱點問題。其單調性取決于底數與“1 ”的大小關系。(2) 利用單調性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”。即把不同底的對數式化為同底的對數式，然后根據單調性來解決。(3) 與對數函數有關的復合函數的單調性的求解步驟 確定定義域； 弄清函數是由哪些基本初等函數復合而成的，將復合函

22、數分解成基本初等函數y=f(u),u=g(x) 分別確定這兩個函數的單調區間； 若這兩個函數同增或同減，則y=f(g(x)為增函數，若一增一減，則y=f(g(x)為減函數，即“同增異減”。2、例題解析例設函數f(x)=(1+xj -2n(1+x)(1)求f X的單調區間；x1卄1若當-e時,(其中e =2.718 )不等式f X m恒成立，求實數的取值范圍；試討論關于的方程：f Xx a在區間0,21上的根的個數(1 )函數的定義域為 一1，*：f x)=2(x+1)- 1 卜2如2),-x 1f x 0得 x 0；f x : 0 得 一1 :： x : 0則增區間為°, 二,減區間

23、為一10 .f V-1=丄+2,<e2f e1 二 ef x的最大值為e - 2 ,故m - 2時,不等式f x ： m恒成+ x+a,即 x+121 n(1+x)=a 記 g(x)=x + 1 21 n(1+x)則x -1x+1 .由 g(x)0 得 XA1；由 g'(x)c0 得1 cxc1所以g(x)在0,1上遞減，在1 , 2上遞增.而 g(0)=l,g(1)=2-2In2, g(2)=3-2In3 g(0) > g(2) > g(1)10所以，當a > 1時，方程無解;3-2 In3v aw 1時，方程有一個解,2-2 In2v a< a w 3

24、-2In3時，方程有兩個解;上遞減，在哄一1 L遞增,f (x)=2x(x+2)= o,1|-1,0'令x 1得X =0,由知fx在ea=2-2In2時，方程有一個解;1314分a v 2-2In2 時，方程無解.字上所述，a“'22In2)時，方程無解;a (3 _2 in 3,1或 a=2-2In2 時，方程有唯一解;a (2 _2 In 2,3 -2In 3時，方程有兩個不等的解注：解決對數函數問題，首先要看函數的定義域，在函數的定義域內再研究函數的單調性，判斷時可利用定義，也可利用復合函數單調性的判斷。對于恒成立問題注意等價思想的 應用。四、對數函數的綜合應用1例1(1

25、2分)已知過原點 0的一條直線與函數 y=log8x的圖象交于 A、B兩點，分別過A、B作y，軸的平行線與函數 y = log8 X的圖象交于 C、D兩點。(1) 證明點C、D和原點O在同一直線上；(2) 當BC平行于x軸時，求點A的坐標。分析：(1)證明三點在同一條直線上只需證明kOC二kOD ;(2)解方程組得，代入解析式即可求解。解答：(1)設點A, B的橫坐標分別為、，由題設知>1 , >1則點A、B的縱坐標分別為log8 X1、log8 X2。因為A、B在過點O的直線上，所以log8Xl = log8X2點 C、D 的坐標分別為(，log2 Xi )、(, log2 X2

26、 )log8 X,由于 log2 x,- _ = 3log8 N,log 2x2 = 3log8 x2Iogs2oc的斜率為=聾=迥必，3log - X2X2x_x_log2 x2OD的斜率為k22 2X2由此可知k_ =k2，即o、C、d在同一直線上。注：在解答過程中易出現三點共線不會證或找不到與關系無法進行正確地轉化，并且求解坐標進忽略函數定義域的情況，導致此種錯誤的原因是：沒有正確地理解題意， 沒有熟練地掌握三點共線與斜率相等的關系，或對、的范圍沒有搞清楚。（2）由于BC平行于軸，知log2 x_ = log8 x2，即得 |og2X_ = 3|og2X2 , X由于 x 1，知 log-x_0,故 x_ 二 3x_考慮x,1，解得x_ = 、3，于是點A的坐標為（，log. 3）注：本題是典型的在知識交匯點處的命題，若用傳統方法設直線方程，解方程組求交