1、精品文檔 精品文檔 教材優化全析 1向量的加法 （1）引入 某人從A到B,再從B按原方向到C,則兩次的位移和：AB + BC = AC . A B C 若上題改為從 A到B，再從 B按反方向到 C,則兩次的位移和： AB + BC = AC . C A B 某車從A到B，再從B改變方向到C,則兩次的位移和：AC + BC = AC . 上述三個小題，說明向量共線、不共線時都可依據向量的運算法則 求“和” （2）向量的加法的定義 已知向量a、b,在平面內任取一點 A，作AB = a， BC = b，則向量AC叫 做向量a、b的和.記作a + b，即a+ b= AB + BC = AC . 求兩個

2、向量和的運算，叫做向量的加法 對于零向量與任意向量 a，有a+0=0+ a= a. （3）兩個向量的和向量的作法 三角形法則：上面的（1）3）（2）、（ 3）中各有兩個向量，把其中一個向 量的起點平移，使之與第二個向量的終點重合，則第一個向量的起點指向第二 個向量終點的向量，就是兩個向量的和向量.常說兩個向量“首尾相接” 1三角形法則對于兩個向量共線時也適用 2。 可將向量加法的三角形法則推廣到多個向量相加的多邊形法則 . 3。 任何一個向量均可以寫成兩個任意向量之和，只要注意到這個向量的全析提示 向量運算是運用向量方法解決 問題的基本工具，而向量的加法運算 是最基本的向量運算之一，向量加法

3、的平行四邊形法則與三角形法則和 物理中力的合成、速度的合成完全一 致. 思維拓展 兩個向量的和仍是一個向量， 這 如圖（1）、（ 2）、（ 3）中，AB =a， BC = b，則 AB + BC = AC . 全析提示 向量有幾何表示法和字母表示 法兩種情況用幾何法表示時，箭頭所 指的方向是正方向；用字母表示時， 起點字母在前，終點字母在后，方向 由起點指向終點 思維拓展 向量是既有大小又有方向的量， 向量的模與方向可通過解三角形的 知識求得；對于首尾相連的幾個向量 的和，等于以第一個向量的起點為起 點，第n個向量的終點為終點的向量 （1） （2） 精品文檔 精品文檔 課本99頁例1.求a+b

4、,在平面內任取一點 0,平移a、b使之首尾相接，求 和向量實際上我們常在其中 a或b上取一點，只平移一個向量即可 如可把a 的起點移至b的終點可求和向量. 平行四邊形法則 由同一點A為起點的兩個已知向量 a、b為鄰邊作平行四邊形 ABCD，則 以A為起點的對角線 AC就是a與b的和.這種作兩個向量和的方法叫做平行 四邊形法則. 當兩個向量共線時，能用平行四邊形法則求和嗎？ 不能.因為不可能以兩平行向量為鄰邊作平行四邊形 .所以，平行四邊形法 則對于兩個向量共線時不適用 . （3）兩向量的和向量與原向量之間的關系（方向與模） 當向量a、b不共線時，a+ b的方向與a、b不同向，且|a+b|v l

5、a|+|b| 當向量a、b同向時，a+ b的方向與a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|. 當向量a、b反向時，若|a|b|貝U a+ b的方向與a同向，且|a+b|=|a|b|.若|a| v|b|則a+ b的方向與a反向，且|a+ b|=|b| |a|. （4）向量的運算律 交換律：a+b=b+ a. 證明：當向量a、b不共線時如下圖，作平行四邊形ABCD ,使 起點、 終AB = A0 + OB ,如下所示， 0點具有任意性 全析提示 不管平面內的點 0選在何處，對 于首尾相連的兩個和向量，它的方向 總是由第一向量的起點指向第二向 量的終點. 要點提煉 在幾何中向量的加法是用幾何 作圖來

6、定義的.它有兩種法則，其中三 角形法則比平行四邊形法則更具有 一般性.像兩個向量共線時就只能用 三角形法則了 . 全析提示 當向量a、b不共線時，|a|、|b| 及|a+b|構成一個三角形的三條邊，由 三角形的性質可知：丨 |a| |b| |v |a+b|v |a|+|b|;當向量a、b共線時， |a卜|b|及|a + b|可理解成同一直線上的 線段相加減. 要點提煉 向量的加法同實數的加法一樣, 滿足交換律與結合律. B 精品文檔 精品文檔 AB = a, AD = b, 則 BC =b, DC =a.精品文檔 精品文檔 因為 AC = AB + BC =a+b, AC = AD + DC

7、=b+a, 所以 a+ b=b+ a. 當向量a、b共線時，若a與b同向，由向量加法的定義知： a+b與 a 同向，且 |a + b|=|a|+|b|, b+a 與 a 同向，且 |b+ a|=|b|+|a|, 所以 a+ b=b+ a; 若a與b反向，不妨設|a| |b|,同樣由向量加法的定義知： a+b與 a 同向，且 |a + b|=|a|-|b|, b+a 與 a 同向，且 |b+ a|=|a|- |b|, 所以 a+ b=b+ a. 綜上所述，a+b=b+ a. 結合律，自己驗證一下由于向量的加法滿足交換律和結合律，對于多 個向量的加法運算就可以按照任意的次序與任意的組合來進行了 例

8、如化簡：(AB + CD ) + BC = ( AB + BC ) + CD = AC + CD = AD . 又如化簡：CM + ( BC + MB ) = ( CM + MB ) + BC = CB + BC = 0,也 可寫成 CM + ( MB + BC ) = CM + MC = 0. 2向量的減法 (1) 相反向量：與a長度相等、方向相反的向量叫做相反向量， 記作：a. 規定：零向量的相反向量仍是零向量 a與一a互為相反向量，即一( a) =a. 任意向量與它的相反向量的和是零向量，即 a+ ( a) = ( a) +a=0. 又如：AB與BA互為相反向量， AB + BA = 0

9、. 如果a、b互為相反向量，那么 a = b,b= a,a+ b= 0. (2) 向量減法的定義 向量a加上b的相反向量，叫做 a與b的差， 即 a b= a+ ( b). 求兩個向量的差的運算叫做向量的減法，向量的減法是向量加法的逆運 算.若 b+x=a, 則x叫做a與b的差，記作a b. (3) a b的作法 由(a b) + b= a+ ( b) + b= a+0=a. 所以ab就是這樣一個向量，它與 b的和等于a. 已知a、b,怎樣求作a b? 解法一：已知向量a、b,在平面內任取一點 O,作OA=a, OB =b，則BA = a b,即a b可以表示為從向量 b的終點指向向量 a的終

10、點的向量.思維拓展 當向量a與b共線時，求a與b 的和，不管是b以a的終點為起點， 還是a以b的終點為起點，它們的和 都是從第一個向量的起點指向第二 個向量的終點，從圖象上看都是相等 的. 要點提煉 由于向量可用表示它的有向線 段的起點和終點的字母來表示，根據 向量加法的三角形法則，可把首尾相 連的向量先結合在一起相加. 全析提示 向量的減法與加法互為逆運算， 有關向量的減法可同加法相類比，也 可同實數的減法相類比. 全析提示 兩個向量的差同兩個向量的和 一樣，其運算結果仍是一個向量，它 的模與方向可通過解三角形知識求 得. 全析提示 由于向量BA是以0B的終點為 起點的向量，所以根據向量加法

11、的三 角形法則有 OA = OB + BA,即卩a + (a 精品文檔 精品文檔 四邊形法則可得 0C =a+ ( b) = a b. 思維拓展 向量a b=a+ ( b),即向量的 減法可用向量加法的三角形法則或 平行四邊形法則來表示，是化生為 熟，化未知為已知的化歸思想的具體 應用. 如下圖，若a與b共線時，怎樣作a b? 兩向量的起點重合，則由減數向量的終點指向被減數向量的終點的向量， 即為 所求的差向量 平行四邊形ABCD中，若設 AB= a, AD = b, 則兩條對角線都可以用 a與b表示，借助這一模型可進一步研究有關 A B b) =b.顯然減法是加法的逆運算 解法二：在平面內任

12、取一點 0,作 AO =a, BO = b,則 AB = a b, 即ab也可以表示為從向量 a的起點指向向量 b的起點的向量 -ABCD的一些性質.如課本103頁例4. AC = a+ b,DB = a b. A氓氓 a、b滿足什么條件時，a + b與 變式訓練一：當 a b垂直? 全析提示 從同一點出發的兩個不共線向 量的和、差同兩個向量一起恰好構成 一個平行四邊形的邊與對角線 . 解法三：在平面內任取一點 0,作0A= a, OB = b,則由向量加法的平行 (1) 在平面內任取一點 0,作0A = a, OB =b.則BA為所求的向量a b. 要點提煉 若向量a、b是共線向量，則 a b與a、b仍是共線向量. 般地, 不論兩向量共線還是不共線, 常選取一個適當的點, 通過平移把 精品文檔 精品文檔 變式訓練二：當 a、b滿足什么條件時，|a+ b|=|a b|? 變式訓練三：a+b與a b可能是相等向量嗎? 變式訓練四： 當 a與b滿足什么條件