1、現代控制理論 Modern Control Theory第三章第三章 控制系統的李亞普諾夫控制系統的李亞普諾夫穩定性穩定性3.23.2 李亞普諾夫意義下的穩定性李亞普諾夫意義下的穩定性3.33.3 李亞普諾夫穩定性定理李亞普諾夫穩定性定理3.4 3.4 線性系統的李亞普諾夫穩定性分析線性系統的李亞普諾夫穩定性分析3.1 3.1 李亞普諾夫第二法的概述李亞普諾夫第二法的概述一、物理基礎一、物理基礎 一個自動控制系統要能正常工作，必須首先是一個穩定的系統，即當系統受到外界干擾后，顯然它的平衡狀態被破壞，但在外擾去掉以后，它仍有能力自動地在平衡狀態下繼續工作，系統的這種性能，通常叫做穩定性穩定性，它

2、是系統的一個動態屬性。舉例說明： 1.1.電壓自動調節系統電壓自動調節系統-保持電機電壓恒定 2.2.電機自動調速系統電機自動調速系統-保持電機轉速一定 3.3.火箭飛行系統火箭飛行系統-保持航向為一定 具有穩定性的系統稱為穩定系統穩定系統。 不具有穩定性的系統稱為不穩定系統不穩定系統。穩定性概念穩定性概念 系統的穩定性系統的穩定性-系統在受到外界干擾后，系系統在受到外界干擾后，系統偏差量（被調量偏離平衡位置的數值）過統偏差量（被調量偏離平衡位置的數值）過渡過程的收斂性，渡過程的收斂性， 用數學方法表示用數學方法表示就是：就是： limtx t現代控制理論的優點現代控制理論的優點線性定常系統線

3、性定常系統穩定性判斷穩定性判斷 1. 1.勞斯勞斯- -赫爾維茨判劇赫爾維茨判劇 2.2.奈奎斯特穩定判劇奈奎斯特穩定判劇現代控制系統現代控制系統結構復雜，非線性或時變, 上述穩定判劇難以勝任上述穩定判劇難以勝任; ; 通用的方法是李亞普諾夫第二法通用的方法是李亞普諾夫第二法. .李亞普諾夫穩定性判據李亞普諾夫穩定性判據 1982年，李亞普諾夫歸納出兩種方法 李亞普諾夫第一法李亞普諾夫第一法: : 解系統的微分方程，然后根據解的性質來判斷系統的穩定性。如果特征方程的根全部具有負實部，則系統在工作點附近是穩定的. 李亞普諾夫第二法（也稱直接法）李亞普諾夫第二法（也稱直接法）: : 不必求解系統的

4、微分方程式，就可以對系統的穩定性進行分析判斷，而且給出的穩定信息不是近似的。它提供了判別所有系統穩定性的方法。 李亞普諾夫第二法建立的物理事實： 如果一個系統的某個平衡狀態是漸近穩定的，即如果一個系統的某個平衡狀態是漸近穩定的，即: : 那么隨著系統的運動，其貯存的能量將隨著時間那么隨著系統的運動，其貯存的能量將隨著時間的增長而衰減，直至趨于平衡狀態而能量趨于極的增長而衰減，直至趨于平衡狀態而能量趨于極小值。小值。Xtlimex 對系統而言，并沒有這樣的直觀性，因此，李亞普諾夫引入了“廣義能量函數廣義能量函數”，稱之，稱之為李亞普諾夫函數，為李亞普諾夫函數，表示為 ,它是狀態 和時間t的函數。

5、 如果動態系統是穩定的，則僅當存在依賴于如果動態系統是穩定的，則僅當存在依賴于狀態變量的李亞普諾夫函數狀態變量的李亞普諾夫函數 對任意對任意 （平衡點）時，（平衡點）時， 成立，且對成立，且對 時，才有時，才有 。()V X,tX,t12,n 12( )(,)n VVX Xe eX XX X ( ) 0( ) 0、VVX XX Xe eX XX X ( )( )0VVX XX X 李亞普諾夫第二法可歸結為李亞普諾夫第二法可歸結為: : 1.在不直接求解的前提下，2.3.就可給出系統平衡狀態穩定性的信息。就可給出系統平衡狀態穩定性的信息。應用李亞普諾夫穩定理論的關鍵: 能否找到一個合適的李亞普諾

6、夫函數! -尚未有一個簡便的、一般性的方法！)( t tX X, ,V)(t tX X, ,V* 由于系統的結構日益復雜系統的結構日益復雜，對李亞普諾夫穩定理論的研究和應用受到人們的重視；* 特別是在從典型的數學函數典型的數學函數及非線性特性非線性特性出發 尋求李亞普諾夫函數方面頒有進展。* 李亞普諾夫函數 是對前述的不具有直觀性的物理事實的表現，這個“廣義能量廣義能量”概念與能量概念又不完全相同。 李亞普諾夫函數的選取不是唯一的！李亞普諾夫函數的選取不是唯一的！ 很多情況下李亞普諾夫函數可取為二次型很多情況下李亞普諾夫函數可取為二次型 二次型及其定號性，是該理論的數學基礎。()VX X, ,

7、 t t二、數學基礎二、數學基礎 (二次型及其定號性二次型及其定號性) 1 1二次型二次型 n個變量個變量 的二次齊次多項式的二次齊次多項式: : 稱為二次型。稱為二次型。 式中， 是二次型的系數。 設 ，既對稱且均為實數。 n,21222112222222121112112211121),(nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaV), 2 , 1,(nkiaikkiikaa用矩陣表示二次型較為方便，即 必須指出，二次型是一個標量二次型是一個標量，最基本的特性就是它的定號性，定號性，也就是V(X X)在坐標原點附近的特性。1112112122221212( ),nnnnnnnnaaaaaa

8、Vaaa X XX PXX PXT定號性定號性 (1)(1)正定性正定性 當且僅當 X X=0 時，才有V(X X)=0； 對任意非零X X，恒有V(X X)0，則V(X X)為正定。 (2)(2)負定性負定性 當且僅當X X0時才有V(X X)0； 對任意非零X X，恒有V(X X)0，則V(X X)為負定。 (3)(3)正半定性與負半定性正半定性與負半定性 如果對任意X X0，恒有V(X X)0，則V(X X)為正半定。 如果對任意X X0，恒有V(X X)0，則V(X X)為負半定。 (4)(4)不定性不定性 如果無論取多么小的零點的某個鄰域,V(X X)可為正值也可 為負值則V(X X

9、)為不定。賽爾維斯特準則賽爾維斯特準則二次型 或對稱矩陣P P為正定的充要條件正定的充要條件是P P的主子行列式均為正的主子行列式均為正，即 如果 則P P為正定，即V(X X)正定。二次型 或對稱陣P P為負定的充要條件負定的充要條件是： P P的主子行列式滿足的主子行列式滿足 ( ( 為奇數為奇數) )； ( ( 為為偶數偶數) =1,2,) =1,2, 。 返回P PX XX XX XT)( Vnnnnnnaaaaaaaaa212222111211P P, 0, 0, 0222112112111P PnaaaaaP PX XX XX XT)( V0i ii0i i3.23.2李亞普諾夫意

10、義下的穩定性李亞普諾夫意義下的穩定性 研究系統的穩定性問題，實質上是研究系統平衡狀態的情況。一般說來，系統可描述為 式中 X X為 n 維狀態向量。當在任意時間都能滿足 (3.1) 時，稱 為系統的平衡狀態平衡狀態。凡滿足式(3.1)的一切X X值均是系統的平衡點，對于線性定常系統 ，A A為非奇異時,X X=0是其唯一的平衡狀態，如果A A是奇異的則式(3.1)有無窮多解，系統有無窮多個平衡狀態。對于非線性系統，有一個或多個平衡狀態。),(tfX XX X0),(tfe eX XeX XX XX XAtf),(X X 由式(3.1)可知，在系統的平衡點，狀態變量的變化率為0，由古典控制理論知

11、道，該點即為奇點，因此，系統微分方程式的奇點代表的就是系統在運動過程中的平衡點。 任何彼此孤立的平衡點，均可以通過坐標的變換，將其移到坐標原點移到坐標原點，這就是經常以坐標原點作為平衡狀態來研究的原因，因此常用的連續系統的平衡狀態表達式為 對同一問題用不同理論去研究會得到不同含義的結果與解釋。如非線性系統中的自由振蕩，古典的穩定性理論認為是不穩定的，而李亞普諾夫穩定性理論則認為是穩定的。0),(tf 0 因此，明確李亞普諾夫意義下的穩定定義是重要的。 系統的狀態方程為 設 且系統的平衡狀態為 。有擾 動使系統在 時的狀態為 ，產生初始偏差 ，則 后系統的運動狀態從 開始隨時間發生變化。 由數學

12、中數的概念知道， 表示初始偏差都在以 為半徑，以平衡狀態 為中心的閉球域S( )里，其中 稱為范數稱為范數， 分別為 與 的分量。)(),(ttfu uX XX X 0)( tu u0)(,tfeeX XX X0tt eX XeX X- -X X00tt 0X XeX XX X0eX X2120222021100)()()(neneeeX XX XX XX XX XX XX XX X), 2 , 1(0niiei、0X XeX X同樣 表示平衡狀態偏差都在以 為半徑，以平衡狀態 為中心的閉球域: S( )里。式中范數 為X的分量。)(0tteX XX XeX X212222211)()()(n

13、eneeeX XX X)., 2 , 1(nii 下面用二維空間圖3.1來說明李亞普諾夫定義下的穩定性。 1穩定與一致穩定 設 為動力學系統 的一個孤立平衡狀態。如果對球域S( ) 或任意正實數 0，都可找到另一個正實數 或球域 S( )，當初始狀態 滿足 時，對由此出發的X X 的運動軌跡有 ，則此系統為李亞普諾夫意義下的穩定李亞普諾夫意義下的穩定。如果如果 與初始時刻與初始時刻 無關，無關，則稱平衡狀態則稱平衡狀態 為一致穩定。為一致穩定。 eX X),(tf X XX X),(0t0X X),(00teX XX XetX XX Xlim0teX X2漸近穩定和一致漸近穩定 設 為動力學系

14、統 的一個孤立平衡狀態，如果如果 是穩定的，且從充分靠近是穩定的，且從充分靠近 的任一初始的任一初始狀態狀態 出發的運動軌跡出發的運動軌跡 有 或 即收斂于平衡狀態收斂于平衡狀態 ，則稱稱平衡狀態平衡狀態 為漸近穩定為漸近穩定。如果 與初始時刻 無關，則稱平衡狀態 為一致漸近穩定一致漸近穩定。漸近穩定性等價于工程意義上的穩定性。),(tf X XX X0limetX XX X), 2 , 1( 0)(limniieit0teX XeX XeX XeX XeX X0X XeX X如果對狀態空間中的任意點，不管初始偏差有多大，都有漸近穩定特性。即 對所有點都成立，稱平衡狀態 為大范圍漸近穩定。可見

15、，這樣的系統只能有一個平衡狀態。由于線性定常系統有唯一解，所以如果線性定常系統是漸近穩定的，則它一定也是大范圍內漸近穩定的。), 2 , 1(0)(limniieiteX X 在控制工程中確定大范圍內漸近穩定的范圍是很重要的，因為漸近穩定性是個局部概念，知道漸近穩定的范圍，才能明確這一系統的抗干擾程度、從而可設法抑制干擾，使它滿足系統穩定性的要求。古典控制理論的穩定性概念，只牽涉到小的擾動，沒有涉及大范圍擾動的問題，因此它是有局限性的。3不穩定 如果平衡狀態如果平衡狀態 既不是漸近穩定的，既不是漸近穩定的，也不是穩定的，當也不是穩定的，當 并無限增大時，并無限增大時，從從 出發的運動軌跡最終超

16、越出發的運動軌跡最終超越 域，則稱平衡狀態域，則稱平衡狀態 為不穩定的。為不穩定的。 返回eX X0tt SeX X0X X3.3 李亞普諾夫穩定性定理李亞普諾夫穩定性定理定理定理3.13.1 設系統的狀態方程為式中，式中， 如果有連續一階偏導數的標量函數 存在，并且滿足以下條件： 是正定的是正定的； 是負定的是負定的。則在原點處的平衡狀態是漸近穩定的漸近穩定的。如果隨著 有 ， 則在原點處的平衡狀態是在大范圍內漸近穩定的。),(tf X XX X)(0), 0(0tttf)(t tX X, ,V()V X X, ,t t()V X X, ,t t,X X)( t tX X, ,V例例3.13

17、.1 設系統方程為 試確定其平衡狀態的穩定性穩定性。)()(22212122221121xxxxxxxxxx解解: : 很明顯，原點 是給定系統的唯一平衡狀態，選取一個正定的標量函數 為則將系統方程代人上式得 （V(X X)為正定）又由于 時， ，因此系統在平衡點(0，0)是大范圍漸近穩定的。) 0, 0(21)(X XV2212( )V X X221122)(X XV22221)(2)(X XVX X)(X XV定理定理3.23.2 設系統的狀態方程為式中， 。如果存在一標量函數 ，它有連續的一階偏導數，且滿足以下條件： 是正定正定的； 是負半定負半定的； 對任意 和任意 在 時不恒等于零。

18、則在原點處的平衡狀態是漸近穩定的。如果還有 時， ，則為大范圍漸近穩定。式中 表示 時從 出發的解軌跡。),( tf X XX X)( 0), 0 (0tttf)( t tX X, ,V()V X X, ,t t()V X X, ,t t),(00tttX X V0t0, 0tt X X)(t tX X, ,V),(00ttX X 0tt 0 由于 不是負定的，而只是負半定的，則典型點的軌跡可能與某個特定的曲面 相切。 然而,由于 對于任意 和任意 在 時不恒等于零，所以典型點就不可能保持在切點處(在切點上 ），而必須運動到原點.)( t tX X, ,V)( t tX X, ,V00 ( ,

19、 ), tttV X X0t00X X0tt0)(t tX X, ,V例例3.23.2 設系統方程為確定系統平衡狀態的穩定性。 解解: : 顯然，原點(0，0)為給定系統的唯一平衡狀態。選取標準型二次函數為李氏函數，即 （V(X X)為正定）當 時，因此 是負半定的。212212222112221222),(),(ttX XX XVV0021、0)(t tX X, ,V0),(0021tX XV時，、)(t tX X, ,V 下面我們進一步分析 的定號性，即當 時， 是否恒等于零。由于 恒等于零，必需要求 在 時恒等于零，而 恒等于零又必需要求 恒等于零。但從狀態方程 來看，在 時，要使 和

20、，必需滿足 等于零的條件。這表明 只可能在原點 處恒等于零，因此系統在原點處的平衡狀態是漸近穩定的。又由于 時,有 ，所以系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。)(t tX X, ,V0021、)(t tX X, ,V222)(t tX X, ,V0t t212)(X XVX X)(t tX X, ,V) 0, 0(2102202122x2x22x0tt 若在例中選取如下正定函數為李氏函數，即 則 是負定的。 而且當 時，有 所以系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩定的。由以上分析看出，選取不同的李氏函數選取不同的李氏函數， 可能使問題分析得出不同的結果。上面第二種情況下的選擇，消除了進一

21、步對 判別的必要性。)()(2221t tX X, ,VX X,)(t tX X, ,V)(t tX X, ,V定理定理3.33.3 設系統方程為式中， 。如果存在一標量函數 ，它具有連續的一階偏導數，且滿足以下條件： 是正定正定的； 是負半定負半定的，但在某一X X值恒為零。 則系統在原點處的平衡狀態在李亞普諾夫定義下是穩定的。但非漸近穩定。這時系統可以保持在一個穩定的等幅振蕩狀態上。),(tf X XX X)( 0), 0(0tttf)(t tX X, ,V)(t tX X, ,V)( t tX X, ,V例例3.33.3 系統方程為 試確定系統平衡狀態的穩定性。 解解 顯然，原點為平衡狀

22、態。選取正定函數為李氏函數，即 則 由上式可見， 在任意 X X值上均可保持為零，則系統在李亞普諾夫定義下是穩定的但不是漸近穩定的。1211K) 0()()(2221KKt tX X, ,V02222)(21212211KKKt tX X, ,V)(t tX X, ,V定理定理3.43.4 設系統的狀態方程為式中， 。如果存在一標量函數 ，它具有連續的一階偏導數，且滿足以下條件： 在原點的某一領域內是正定正定的； 在同樣的領域內是正定正定的；則在原點處的平衡狀態是不穩定不穩定的。),(tf X XX X0(0, )0 ()fttt)( t tX X, ,V)( t tX X, ,V)(t tX

23、 X, ,V例例3.43.4 設時變系統的狀態方程為 顯然坐標原點 為其平衡狀態。試判斷系統在坐標原點處平衡狀態的穩定穩定性。性。teettt22122211cossin) 0, 0(21解解 可以找一個函數 為顯然， 為一標量函數，在 平面上的第一、三象限內，有 是正定的。在此區域內取 的全導數得所以當 時， 因此根據定理4可知，系統在坐標原點處的平衡狀態是不穩定的。 返回)(X XV12( )2te V X X)(X XV210)(X XV)( 22)( 22)(2)(2221212221211211ttteeeX XV0)(X XV0)(X XV3.4 3.4 線性系統的李亞普諾夫穩線性

24、系統的李亞普諾夫穩定性分析定性分析 由李亞普諾夫穩定理論可知，在尋求 函數時，要使 和 具有定號性，兩者的符號相反，表示穩定兩者的符號相反，表示穩定；兩者的符號相同，表示不穩定兩者的符號相同，表示不穩定；或者希望 或 中至少有一個是定號的，才能對穩定性進行判斷。 因此在構造 函數時，或者先試構造出 是正定的，然后考察 的符號；或者先給出 是負定的，然后確定 是否為正定；或者使 為正定，從系統穩定性要求出發，推導出對于系統的限制。由上一節例題可見，對于某些簡單系統，特別是線性系統或近似線性系統，通常可取 為X X 的二次型。VVVVVVVVVVVV一、一、線性定常系統的穩定性分析線性定常系統的穩

25、定性分析 設線性定常系統為 (3.2)式中， 為 維狀態向量， 是 X 常系數矩陣，假設 是非奇異矩陣。因為判定系統的穩定性，主要取決自由響應，所以令控制作用 =0 ，由系統狀態方程知，系統唯一的平衡狀態是原點 。 對于式(3.2)確定的系統，選取如下形式的正定無限大 函數，即式中，P P是一個正定的赫米特矩陣(即復空間內的二次型，如果X X是一個實向量則可取正定的實對稱矩陣)。 沿軌跡的導數為A AX XX XX XnA AnnA Au0X XVP PX XX XX XT)(V)(X XVP PA A) )X XP P( (A AX XP PA AX XX XP PX XA AX XP PA

26、 AX XX XP PX XA AX X) )X XP PX XP PX XX XX XTTTTTTTTT()(V對于系統在大范圍內漸近穩定性來說，要求 是負定的，因此必須有為負定。式中 (3.3) 由上式可知，在已知P P是正定的條件下，找到滿足式(3.3)的一個赫米特矩陣(或實對稱短陣)Q是正定的，則由式(3.2)描述的系統在原點處的平衡狀態，必是大范圍內漸近穩定的。這樣得到如下定理。)(X XVQXQXX XT)(X XV)(P PA AP PA AQ QT定理定理3.53.5 設系統狀態方程為式中， 是 維狀態向量， 是 常系數矩陣，且是非奇異的。若給定一個正定的赫米特矩陣(包括實對稱

27、矩陣) Q Q ，存在一個正定的赫米特矩陣(或實對稱矩陣)P，使得滿足如下矩陣方程 則系統在X X0處的平衡狀態是大范圍內漸近穩定的，而標量函數 就是系統的李亞普諾夫函數。對該定理需要說明如下幾點。A AX XX XX XnA AnnQ QP PA AP PA ATP PX XX XT 如果 沿任意一條軌跡不恒等于零，則Q Q可取做半正定矩陣。 該定理闡述的條件，是充分且必要充分且必要的。 因為正定對稱矩陣Q Q的形式可任意給定，且最終的判斷結果將和Q Q的不同形式選擇無關，所以通常取通常取Q QI(I(單位陣單位陣) )較為方便。這樣線性系統線性系統 平衡狀平衡狀態態X X0 0為漸近穩定的

28、充要條件為：存在一個正定對為漸近穩定的充要條件為：存在一個正定對稱矩陣稱矩陣P P，滿足矩陣方程，滿足矩陣方程 將上述定理同從 的特征值分布來分析系統穩定性聯系起來看，它實際上就是 中矩陣 的特征值均具有負實部的充要條件。Q QX XX XX XT)(VA AX XX XT A A P PP PA AI IA AA AA AX XX X可以證明，要求特征值均具有小于某一數值的負實部，即 的充要條件(即考慮衰減程度)是：對任意給定的正定對稱矩陣Q Q ，存在正定對稱陣P P，它為矩陣方程 的解。)(ieRQ QP P- -P PA AP PA A2T證明證明 用上述定理考察系統 ，若特征值均具有

29、負實部(充要條件是對任意正定對稱矩陣Q Q，存在正定對稱矩陣P P，滿足 )，對系統作平移變換,將 代替上式中的A A，則有即:A AX XX XQ QP PA AP PA ATI IA AQ QA AA A)()(I IP PP PI ITQ QP P- -P PA AP PA A2T例例3.53.5 設系統的狀態方程為 顯然，坐標原點是系統的一個平衡狀態,試確定系統在該平衡狀態下的漸近穩定性條件，并求出系統的李亞普諾夫函數。212221121121aaaa解解 設系統的李亞普諾夫函數為式中P P由下式決定取Q Q=I I，得展開得解上式得P PX XX XX XT)( VQ QP PA AP PA AT100122211211222112112221121122122111aaaappppppppaaaa1)( 20)(1)( 2222212122122121122111222121111apapapapaapapapA AA AA AA AA AA AA AA AA AA ArrrrTaaTaaaaTaaaaTaapppp2222212211112122121121221222222122211211P P式中， 叫