1、昆明市第十四中學數學組 李如方 E-mail: ecnulotus二次方程根的分布與二次函數在閉區間上的最值歸納1、一元二次方程根的分布情況設方程的不等兩根為且，相應的二次函數為，方程的根即為二次函數圖象與軸的交點，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負情況）分布情況兩個負根即兩根都小于0兩個正根即兩根都大于0一正根一負根即一個根小于0，一個大于0大致圖象（）得出的結論大致圖象（）得出的結論綜合結論（不討論）表二：（兩根與的大小比較）分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個根小于，一個大于即大致圖象（）得出的結論大致圖象（）得出的結論綜合結論（不

2、討論）表三：（根在區間上的分布）分布情況兩根都在內兩根有且僅有一根在內（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內，另一根在內，大致圖象（）得出的結論或大致圖象（）得出的結論或綜合結論（不討論）根在區間上的分布還有一種情況：兩根分別在區間外，即在區間兩側，（圖形分別如下）需滿足的條件是 （1）時，； （2）時，對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：（1）兩根有且僅有一根在內有以下特殊情況： 若或，則此時不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為或，可以求出另外一根，然后可以根據另一根在區間內，從而可以求出參數的值。如方程在區間上有一根，因為，所以，另一根為，由得即為所求； 方程有且只有一根，且這個

3、根在區間內，即，此時由可以求出參數的值，然后再將參數的值帶入方程，求出相應的根，檢驗根是否在給定的區間內，如若不在，舍去相應的參數。如方程有且一根在區間內，求的取值范圍。分析：由即得出；由即得出或，當時，根，即滿足題意；當時，根，故不滿足題意；綜上分析，得出或根的分布練習題例1、已知二次方程有一正根和一負根，求實數的取值范圍。解：由 即 ，從而得即為所求的范圍。例2、已知方程有兩個不等正實根，求實數的取值范圍。解：由 或即為所求的范圍。例3、已知二次函數與軸有兩個交點，一個大于1，一個小于1，求實數的取值范圍。解：由 即 即為所求的范圍。例4、已知二次方程只有一個正根且這個根小于1，求實數的取

4、值范圍。解：由題意有方程在區間上只有一個正根，則 即為所求范圍。（注：本題對于可能出現的特殊情況方程有且只有一根且這個根在內，由計算檢驗，均不復合題意，計算量稍大）2、二次函數在閉區間上的最大、最小值問題探討設，則二次函數在閉區間上的最大、最小值有如下的分布情況：即圖象最大、最小值對于開口向下的情況，討論類似。其實無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結論：（1）若，則，；（2）若，則，另外，當二次函數開口向上時，自變量的取值離開軸越遠，則對應的函數值越大；反過來，當二次函數開口向下時，自變量的取值離開軸越遠，則對應的函數值越小。二次函數在閉區間上的最值練習二次函數在閉區間上求最值，討論的情況無

5、非就是從三個方面入手：開口方向、對稱軸以及閉區間，以下三個例題各代表一種情況。例1、函數在上有最大值5和最小值2，求的值。解：對稱軸，故函數在區間上單調。（1）當時，函數在區間上是增函數，故 ；（2）當時，函數在區間上是減函數，故 例2、求函數的最小值。解：對稱軸（1）當時，；（2）當時，；（3）當時，改：1本題若修改為求函數的最大值，過程又如何？解：（1）當時，； （2）當時，。 2本題若修改為求函數的最值，討論又該怎樣進行？ 解：（1）當時，；（2）當時， ，；（3）當時，；（4）當時， ，。 例3、求函數在區間上的最小值。解：對稱軸（1）當即時，；（2）當即時，；（3）當即時，例4、討論函數的最小值。解：，這個函數是一個分段函數，由于上下兩段上的對稱軸分別為直線，當