1、第03講 平面向量的數量積及應用講考綱1 .理解平面向量數量積的概念及其意義，了解平面向量的數量積與向量投影的關系2 .掌握平面向量數量積的坐標運算，掌握數量積與兩個向量的夾角之間的關系3 .會用坐標表示平面向量的平行與垂直4 .高考預測：(1)以考查向量的數量積、夾角、模、垂直的條件等問題為主，基本穩定為選擇題或填空題，難度中等以 下；(2)同三角函數、解析幾何等知識相結合，以工具的形式出現.5 .備考重點：(1)理解數量積的概念是基礎，掌握數量積的兩種運算的方法是關鍵；(2)解答與平面幾何、三角函數、解析幾何等交匯問題時，注意運用數形結合的數學思想，通過建立平面 直角坐標系，利用坐標運算解

2、題 .講基礎知識點1 .平面向量的數量積一、兩個向量的夾角1 .定義已知兩個非零向量 a和b,作Ouu=a, 潴=也則/八0&0叫做向量a與b的夾角.2 .范圍向量夾角0的范圍是0° < 0 <180° a與b同向時，夾角 0=0°； a與b反向時，夾角 0 =180° .3 .向量垂直如果向量a與b的夾角是90° ,則a與b垂直，記作a±b.二、平面向量的數量積1 .已知兩個非零向量 a與b,則數量| a| b| c os 0叫做a與b的數量積，記作a - b,即a b= | a|切cos e ,其中e是a與b的

3、夾角.規定0 a= 0.當 ab 時，0 =90° ,這時 a - b=0.2 . a - b的幾何意義：數量積a - b等于a的長度| a|與b在a的方向上的投影| b| cos 0的乘積.三、數量積的運算律1 .交換律：a b= b a.2 .分配律：（a+b） c=a c+b c.3 .對入 e R,入（a b）=（入 a） b = a （入 b）.【典例1】（2018 天津高考真題（文）在如圖的平面圖形中，已知如寸三 3 二2/時日加二【司'，=爾八曾=2M5,則"。 UM的值為BA. -15 B .C. -6 D . 0【答案】C【解析】如圖所示，連結 M

4、N由"觴=2M舟仆=2M4可知點M.N分別為線段/R/C上靠近點M的三等分點,則， ,， 由題意可知:。財 2 二 1* 二 1= 1 x 2 X 七。門2。* 三-1結合數量積的運算法則可得：,已 0M = 3（0N-OM） .。副=3M （Sf-3OM2=-3-3 =-j本題選擇C選項.【總結提升】計算向量數量積的三種常用方法（1）定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數量積的定義求解，即a b= | a| b|cos 0（0是a與b的夾角）.（2）基向量法（利用數量積的幾何意義）：計算由基底表示的向量的數量積時，應用相應運算律，最終轉化 為基向量的數量積，進而求解.（3）坐標

5、法：若向量選擇坐標形式，則向量的數量積可應用坐標的運算形式進行求解.【變式1】（2019 山西省靜樂縣第一中學高三月考）在 ABC中.2+=,毋=uuu_ urn則BC在CA萬向上的投影為（).A. 4B. 3C. -4D. 511【答案】C 【解析】對等式 向+示 = |工-衣|兩邊平方得,uuu unriuuu umrAC AB.4A-AC =-.AC -1AA-AA，整理信，AB AC 0，則 AB AC，BCCA = AC- CA=AC CA- CA = -AC =-16 ,設向量uuu, uurBC與CA的夾角為所以,uuu uuuBC在CA方向上的投影為BC CA -16PI故選:

6、C.知識點2.平面向量的數量積的性質及運算、向量數量積的性質如果e是單位向量，則 a - e= e - a.2.a±b a - b= 0.3.a - a= | a|2, |a|=Ja a .4.cos 0 = a b .( 8為a與b的夾角) |a|b|5.| a b| w | a| b|.二、數量積的坐標運算a= (ai, a2), b= (bi, b2),則:a b= abi + a2b2.2.aX ba1b+a2b2=0.3.| a| =a2+si.4.n a bcos 0 =|a|b|珥瓦+烯:白:（.（0為a與b的夾角）【典例2】（2018 浙江高考真題）已知 a, b,e

7、是平面向量，e是單位向量.若非零向量 a與e的夾角為3向量b滿足b-4e - b+3=0 , |OI-b|的最小值是()A. 7有-1 B . %百 + 1 C . 2 D . 2-【答案】A【解析】設口 =工加=（1力 （nun）,佃> = 聯亨=.卜1可匚婚;工=彳我+/二,=土扁 則由 3得g 2"-,減去半徑1,為15- U選A.由必_依$+ 3=0得/中4m4 ? =I.因此1«-加的最小值為圓心（2,0）到直線y =± ® 的距離【思路點撥】先確定向量口力所表示的點的軌跡，一個為直線，一個為圓，再根據直線與圓的位置關系求最小值【變式2】

8、（2019 浙江高三期末）若向量a, b, c滿足a的最小值是【解析】uu r uuu r uur 設 OA a，OB b，OCC，由(55)-(3；| = 0 可知 caCB ,所以點C在以AB為直徑的圓上;2y,2x4- 2 v一 r .,而C表示點。到以AB為直徑的圓上任一點的距離,所以最大值即是點 O到圓心E的距離加半徑，即 C x y,所以行一，一|打一8?即最小值為2.故答案為2.講考點考點1平面向量數量積的運算【典例3】（2018 全國高考真題（理）已知向量L滿足| = 1 , & b =-1 ,則卜（2小-L）=（）A. 4 B.3 C.2 D.0【答案】B【解析】因為

9、口 Y癡-切三&三2同？-（-1）=2 + 1 =3.所以選B.【總結提升】 已知向量a, b的模及夾角0 ,利用公式a - b = |a| b| cos 0求解;對于向量數量積與線性運算的綜合運算問題，可先利用數量積的運算律化簡，再進行運算.【變式3】已知向量 -361,7）,則：在2J3b方向上的投影為（）A、底B、選C、辰 D 、運55【解析】因為口二（工力= （T7）,所以同=而忖=屈力=13標r r:，貝Ua在b方向上的投影既是a在2,、3b方向上的投影為 一655考點2 平面向量數量積的坐標運算【典例4】（2019 成都模擬）已知菱形ABCM長為2,兀一一/ B=z，點P滿

10、足A%入AB入C R,若BD-C鼻 33,則入的值為（）A. - B【答案】A, 一 、.一一_兀【解析】法：由題意可得 BA-BC= 2X2cos =2, 3BD- CP= (BA+ BC (BP- BQ=（B- BC （ AP AB） BC= （B- BC （入1） AB- BC =（1 入）BA2BA- BO （1 入）BA- BC- BC=（1 入），42 + 2（1 入）4=6 X = 3,1 一，入=）故選A.法二：建立如圖所示的平面直角坐標系，A V則 R2,0） , C（1 ,木）,D（-1,、.令 P（ x, 0）,由 BD- CP= （3,5） （x-1, 73） = 3x

11、+33=3x=3 得 x= 1.1 ，一- ' AP=入 AB -1入=2.故選 A.【方法總結】1 .已知向量a, b的坐標，利用數量積的坐標形式求解. 設 a=(a1, a2) , b=(b1, b2),貝U a b= a1b1+a2b2.2 .通過建立平面直角坐標系，利用數量積的坐標形式計算）如圖梯形ABCD, AB/ CD且AB 5, 二三1DC三4 , E在【變式4】(2019 天津高考模擬(理)DE的最小值為(C. 15D.15131313【答案】B【解析】以 A為坐標原點， AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設口（出制）=。（析+上冷=（a> 0=內>0

12、）,優1+M=18m3 + m* = 16m = 2因此：.,士乂 1，（m+ 2=n）-（w-5= w） =0-LO = 0 沖=2也7 A因此以5）一 i二 一2/（上一§）,設 E（工一2/（，-5）>；4MxK與 4-5所以:_./- 一 一 _、=<x-2小（jc-5）- 2y/3） = 13x: -110.Y+240二 丫 丁 一一 uur uuur 95 .當£ =彳=已4.5時，ae DE取小值為 彳.選B.考點3平面向量的夾角問題rr【典例5】（2019 全國局考真題（理）已知a,b為單位向量，且a b=0,若孑=2占括匕,則C05 _ >

13、;=.3【解析】因為c = 2a-y/Sb , v v 0 ,所以石工=2東一在4s 2,三4何-7?不'+ 5出=9 ,所以|C| 3,【總結提升】向量夾角問題的解答方法：（1）當a, b是非坐標形式時，求 a與b的夾角0,需求出a b及| a|, | b|或得出它們之間的關系;(2)若已知 a=(xi, yi)與 b=(X2, y2),則 cosa,b>X1X2 + y1y2''x1+ y1 - 4 x2 + y2提醒：a, b> e 0 ,.【變式5】（2018 四川高考模擬 （理）已知向量 則m的值為（）1A. 2 B .4 C . 1 D . 2【

14、答案】A【解析】/+1 =幽同 。尸加癡？|,又匯口£。4&11|公司位+用=同司二必 + 215 + 向，=/同，|5p = （n?-l）|c|z（o +/）（；_£）=|& +川忖-3| x匚州；打口“ 一£。= |« + l?| cr - Jj| X fowjjr?mM"何啕=b（也胴上-=2 - ra3即2,得m-= 4,m = /或m =-2 （舍去），故m的值為2,故選A.考點4平面向量的模的問題【典例6】（2019 浙江高考模擬）已知平面向量r r是，則最大時，a b （）A. 1B. 22C【答案】Cr【解析】設

15、|b|=x ,則及21+可=+6 =2苫1位+司 j + x2所以85目-£ _-.易得COS方 2口+ b jcVS+x2口，"滿足注力 ，。立，若"&與J戶的夾角為3 ,r r1rr rrr ra,b不共線，且|a 1, a b 1,記b與2a b的夾角冊D. 2+ -丁，|1日一聞=4口"+4虎43-次4X1 ,0,1丁(十8)當x2 4時，cos2取得最小值，取得最大值，此時|口一各二，卜一工:十成=J1-1 + 4 =忑.故選C.【規律方法】平面向量模問題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法若向量a是以坐標形式出現的，求向量a的模可

16、直接利用公式| a|= x/X2+y2.(a± b)2 =若向量a, b是以非坐標形式出現的，求向量 a的模可應用公式| a| 2= a2= a - a,或|a±b| a2±2a - b+b2,先求向量模的平方，再通過向量數量積的運算求解.(2)求向量模的最值(范圍)的方法代數法：把所求的模表示成某個變量的函數，再用求最值的方法求解.幾何法(數形結合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結合動點表示的圖形求解.(3)利用向量夾角公式、模公式，可將有關角度問題、線段長問題轉化為向量的數量積來解決.【變式6】(2018 浙江高考模擬)已知向量,吊滿足回=4，向同NiO,則

17、位-羽的最小值A. 1 B . 2 C . 3 D . 4【答案】A【解析】因為向前二4網m同ltl 105a b > > -1 1 cos& 2由絕對值向量三角不等式得：|2|麗-網=14 一酮產T*泊=1故選A.考點5平面向量垂直的條件【典例7】(2018年文北京卷)設向量 a= (1,0), b=(-1,m)，若則m=【答案】【解析】分析：根據沈軍標表示出7啟良再根據£ Mm立一必 得坐標關系,解方程即可詳解：t- a =(1。)£ = (l.m)? ma -b (m. 01- (-Lm)=(m + Lja 1 (ma ；占 “(m曰一b) = J

18、，：占(m五一！?)= m f 1 = 0 ,即刖=1.【總結提升】 平面向量垂直問題的類型及求解方法(1)判斷兩向量垂直第一，計算出這兩個向量的坐標;0即可.第二，根據數量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數量積為(2)已知兩向量垂直求參數根據兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數.【變式7】(浙江省杭州市學軍中學 2018年5月高三模擬)已知平面向量,滿足悶,3,同同=5力<<1|若【答案】|口一 f> + *占一匚)| 4-+ 1 2)(占_廣)|的最小值為【解析】設 A(x,y) , B(5, 0),C(0,5),|日一 6 4 M 5一匚)| + <7 + (