1、北郵-概率論與隨機過程-年期 末試題A答案作者:日期:北京郵電大學2009 2010學年第二學期概率論與隨機過程期末考試試題(A)考試注意事項：學生必須將答題內容做在答題紙上，做在試題紙上一律無效填空(每小題4分，共40分)1 .若Ai,A2,A3相互獨立，且P(A) Pi , i 1,2,3,則Ai,A2, A3這3個事件至少有一個發生的概率為 1 (1 Pi)(1 P2)(1 P3) 2 .設連續型隨機變量X的分布函數為F(x)a0,x2be 2 , x其他0；則a,b分別為1、-13.設(X,Y)的概率密度為(',2)f(x, y)xe x(1 y), x0, 其0,y 0;他則

2、PX Y 1 (用標準正態分布的分布函數表示)4 .設(X,Y)的概率密度為1-,0 x y 1, f (x,y)1 x0, 其它，則對任意給定的x(0 x 1), fX(x) 1 5.設隨機變量X與Y互相獨立，且D(X) D(Y) 1 ,則D(X 3Y 1)10.6.設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從0, 1上的均勻分布，則0,z 0Z X Y的分布函數 FZ(z)2z z2, 0 z 1 .1, z 17 .設W(t),t 0是參數為2的維納過程，X(t) W(t) t2(t 0),則X(t) 的相關函數 RX(s,t) 2 min( s,t) s2t2.8 .設平穩過程X(t)的均值為8

3、,且Y(t) X (t),則Y的均值為0.9 .設隨機過程X(t) Y Zt , t T=(- oo,+ oo),其中y, z是相互獨立的服 從N(0,1)的隨機變量，則t,X(t)服從_N(0,1 t2)分布(寫明 參數).10 .設馬氏鏈Xn,n 0,1,2, 的狀態空間為E 1,2,轉移概率矩陣為2 13 3,則 limp：? _V2_. 12 n3 3二.(10分)某保險公司多年的統計表明：在索賠戶中被盜索賠戶占20%, 以X表示在隨機抽查的100個索賠戶中，因被盜向保險公司索賠的戶數。(1)寫出X的概率分布；(2)利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶，且不多于30戶的概率的近似

4、值.附表設(x)是標準正態分布的分布函數x0.51.01.52.02.5(x)0.6920.8410.9330.9770.994解(1)X b(100,0.2),即_ kk 100 kPX kCi00(0.2) (0.8) k 0, 1,100(3分)(3分)14 20P14 X 30 P、16(2.5)(1.5)(2.5)X 20.1630 2016(1.5) 1 0.927(4分) E(X) 20, D(X) 16,11三.(10分)設X(t) , Y(t)均為平穩隨機過程，t ,且相互獨立，均值都是0,相關函數分別為RX( ) e1|, Ry( ) 1cos ,證明2Z(t) X(t)

5、Y(t)是平穩過程，并求其自相關函數和譜密度。(2分)證明： EZ(t)EX(t) EY(t) 0.EZZ(t ) Rx( ) Ry( )(2 分)于是Z為平穩過程.(1分)(2)由(1)知Z(t)的自相關函數為Rz( ) Rx( ) Ry( ) e | 1cos(2 分)2(3)譜密度為i2Sz( )Rz( )ei d-2 (1)(1).1(3分)四.(10分)設線性系統的脈沖響應函數為h(t) 3e3tu(t),其輸入平穩過程X(t)的自相關函數Rx( ) 2e411,求輸出的平穩過程自相關函數 Ry()及其譜密度Sy().解:h(t) 3e 3tu(t)Sx(H( ) 316(2分)16

6、(2分)_2Sy( ) |H( )1Sx()144Z 2 T(16)(92)(3分)1iRy( ) Sy( )ei24e| 7區4117(3分)五.（12分）設馬氏鏈Xn，n 0,1,2,的狀態空間為E1,2,3,4,初始分a*/ 111、布為（，）4 4 4 4步轉移概率矩陣1214計算(1) PX22；PX2 PX21,X32 | X。3.解：二步轉移概率矩陣為p（2）14121 '412241，X5 4；1330488219_316161616311188441101244p2(3分)38 iPX2 21,116.（3分）4 4 4 4164814 PX22,X31,X54 =

7、P2（2）P21p14（2）=0（3 分）（2） 3（3） PX2 1,X3 2 | Xo 3 = p31p12= .（3 分）六.（13分）設馬氏鏈Xn,n 0,1,2, 的狀態空間為E 0,1,2,3,4, 一步轉移概率矩陣P0 2-3100 1-2 0 01-20 0 1-30 0 1 o o o o O 1-2 0 01-20試畫出此馬氏鏈的狀態轉移圖, 態的周期和平穩分布.解：圖略Ci 0,3,均為遍歷狀態；討論其狀態空間的分解、狀態分類、各狀（2分）（2分）C22,4,均為正常返狀態，周期為2;（2分）D 1,為非常返狀態，無周期.E DCiC2.（2分）解方程組得平穩分布起管,七.（5分）r。q10記a°aj0證明q1 11223212 313 112 31,0設馬氏鏈Xn的狀態空間為EP0q21, ajPip,q1.0,1,2 P12P2，其中 Pi, qM 0, i(3(2分)步轉移概率矩陣為0,1,2,，它是不可約的.P0 P1qq2Pj 1qj(j試證此鏈存在平穩分布的充要條件是p,得r0 0q1Pj 1j 1qirj j1qj 1 j