1、2.2.1 綜合法和分析法 (1)教材分析本節(jié)內(nèi)容是數(shù)學(xué)選修2-2 第二章推理與證明的第二節(jié)，是在學(xué)習(xí)了合情推理與演繹推理的知識后，對證明的學(xué)習(xí)，證明的兩種基本方法是直接證法和間接證法, 直接證法最主要是綜合法與分析法. 本節(jié)主要學(xué)習(xí)綜合法和分析法，本課題的重點是結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解綜合法與分析法的思考過程、特點. 難點是結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解綜合法與分析法的思考過程、特點. 通過實例，使學(xué)生在學(xué)習(xí)、生活中能自覺地、有意識地運用綜合法與分析法進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣.課時分配本節(jié)內(nèi)容用2 課時的時間完成，主要講解直接證明中最基本的兩種證明方法用這兩種方法解決簡單

2、的數(shù)學(xué)問題.-綜合法與分析法，及運教學(xué)目標(biāo)重點 : 綜合法與分析法.難點：用綜合法和分析法證明題目知識點：綜合法與分析法.能力點：根據(jù)問題的特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.教育點：通過實例，使學(xué)生在學(xué)習(xí)、生活中能自覺地、有意識地運用綜合法與分析法進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣.自主探究點：綜合使用綜合法和分析法.考試點：用綜合法和分析法解決簡單的數(shù)學(xué)問題.易錯易混點：利用綜合法證明問題時，要把產(chǎn)生的某種結(jié)果的具體原因?qū)懲暾豢蛇z漏格式要規(guī)范，其中的關(guān)聯(lián)詞不能省略.拓展點：證明與等式有關(guān)的數(shù)學(xué)問題. 分析法書寫教具準(zhǔn)備 多媒體課件課堂模式 學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、引入新課【師生活動 】師：在以前的證

3、明題證明中，采用了哪些證明方法？生：討論回答.教師總結(jié)：證明的方法有兩大類即直接證法與間接證法，直接證法最基本的兩種方法是綜合法與分析法 . 【設(shè)計意圖】 通過復(fù)習(xí)，引出本課題二、探究新知（一）綜合法引例 ：已知： a0， b0,求證: a b2c2b c2a24abc1證明：b2c22bc, a0a b2c22abc同理： b a2c22abca b2c2b c2a24abc以上采用的證明方法就是綜合法，師：什么是綜合法？生：討論回答.教師總結(jié)：(1) 綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中最常用的方法，一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這

4、種證明方法叫做綜合法,又叫順推法或由因?qū)Ч?.(2) 用表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：設(shè)計意圖 給學(xué)生充分的感性材料,培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括、提出數(shù)學(xué)問題的能力P Q1QQQQQ Q1223n（二）分析法引例 2：求證3725 .分析：從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點，因此我們直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件.證明：要證明3725 ，只需證 (37) 2(25)2 ，即證 10221 20，即證 22110 ，即證215 ，即證 2125 ，因為 2125 顯然成立，所以原不等式成立 .總結(jié)：在本例中，由于我們很難想到從“21 25

5、 ”入手，所以用綜合法證明比較困難 .以上采用的證明方法就是分析法，師：什么是分析法？生：討論回答 .教師總結(jié)：（ 1）分析法：是綜合法的逆過程。一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等） ，這種證明的方法叫做分析法，又叫逆推證法或執(zhí)因索果法.（ 2）用表示要證明的結(jié)論，則分析法可以用框圖表示為：QPP1P2P2P3得到一個明顯成立的條件1.設(shè)計意圖 通過分析找到解題思路，利用分析法進(jìn)行嚴(yán)格證明，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度三、理解新知分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.綜合法表現(xiàn)為由因?qū)Ч?,分析

6、法則表現(xiàn)為執(zhí)果索因 .綜合法分析法基本思路綜合法的基本思路是“由因?qū)Ч保梢阎呦蚯蠓治龇ǖ幕舅悸肥恰皥?zhí)果索因”，可以看證，即從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯做是綜合法的逆過程，即從“未知”看“需推理最后達(dá)到待證得結(jié)論或需求的問題.知”，執(zhí)果索因，逐步靠攏“已知”，逐步推理，實際上是尋找它的充分條件.解題步驟P（已知）0P1P2P3Pn（結(jié)論） QP1P2PnP (已知）(結(jié)論 )設(shè)計意圖 為準(zhǔn)確地運用新知，作必要的鋪墊.四、運用新知例 1: 在 ABC 的三個內(nèi)角、成等差數(shù)列 . 求證 : (ab) 1(b c) 13(abc) 1證明 : 法一 : （分析法）要證(ab) 1(b

7、c) 13(a bc) 1 ，即證113,abbcabc即證 abcabc3，abb c也即ca1abbc只需證 c(bc)a(a b)(ab)(bc) ，需證 c2a2acb2 ABC 的三個內(nèi)角、成等差數(shù)列， B 60由余弦定理 , 有 b2c2a22ac cos60 ，即 b2c2a2ac ， c2a2ac b2 ，此式即分析中欲證之等式,即原式得證法二 : （綜合法）ABC 的三個內(nèi)角、成等差數(shù)列 , B 60由余弦定理 , 有 b2c2a22ac cos60 ，得 c2a2acb2，兩邊加 abbc 得： c(bc)a(ab)( a b)(b c) ，兩邊除以 (ab)(bc) 得：

8、ca1，a bbcac (1)(1)3 ，abbc即113，abbcabc(ab) 1(bc) 13(abc) 1 設(shè)計意圖 （ 1）本題運用綜合法時，思路不易尋找，因此最好用分析法尋找思路，用綜合法寫步驟，解決本題的關(guān)鍵是靈活運用余弦定理（ 2）通過分析和證明過程培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣變式訓(xùn)練1:已知 ABC 的三邊、的倒數(shù)成等差數(shù)列，試分別用分析法和綜合法證明B 為銳角設(shè)計意圖 通過變式訓(xùn)練 ,便于學(xué)生全面的認(rèn)識綜合法和分析法, 提高理解、運用知識的能力例2 已知已知 ,k(kZ) ，且2sincos2sinsincossin2求證： 1tan21tan2.1tan22(1tan2)【師生

9、活動 】：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)角，因此第一步工作可以從已知條件中消去。觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點，發(fā)現(xiàn)其中蘊含數(shù)量關(guān)系(sincos )22sin cos1，于是，由 2一2× 得22222sin14sin2sin14sin把與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論: 統(tǒng)一函數(shù)名稱, 即把正切函數(shù)化為正（余）弦函數(shù).把結(jié)論轉(zhuǎn)化為co s2sin 21 (co s2sin 2)再與4sin 22sin 21 比較 ,發(fā)現(xiàn)只要把2221c2s2正弦，就能達(dá)到目的c sos ino(中的角s的i余n弦轉(zhuǎn)化為)2)2證明：因為 (sincos2sincos1，

10、所以將 代入，可得4sin 22sin 21.另一方面，要證1tan21tan2，1tan22(1tan2)sin2sin211即證cos2cos2，1sin22(1sin2)cos2cos2即證co s2sin 21 (co s2sin 2) ，2即證12sin 21 (12sin 2) ，4sin 22sin 22即證1.由于上式與相同，于是問題得證.設(shè)計意圖 （ 1）讓學(xué)生體會綜合法和分析法的綜合應(yīng)用（ 2）綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手，易于尋找解題思路，在實際證明命題時，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其結(jié)構(gòu)特點是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)

11、論 Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件 , 得到中間結(jié)論 P；若由 P 可推出 Q，即可得證變式訓(xùn)練2：求證：sin(2)2cos()sin.sin 2sin設(shè)計意圖由一個問題引申為一類問題，提高學(xué)生的綜合解題能力五、課堂小結(jié)教師提問：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？學(xué)生作答：1綜合法與分析法的概念2綜合法與分析法的區(qū)別、特點及應(yīng)用教師總結(jié) :在利用綜合法與分析法證明時用到了之前學(xué)過的知識，同時提醒學(xué)生在學(xué)習(xí)新知時，也要經(jīng)常復(fù)習(xí)前面學(xué)過的內(nèi)容，達(dá)到“溫故而知新”的目的在應(yīng)用中增強對新知識的理解，也是對舊知識的鞏固.設(shè)計意圖加強對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，提升學(xué)生理解概括的能力六、布置作業(yè)1閱讀教材2.書面作業(yè)P85 89；必做題：P91練習(xí)1、 2、 3.P44習(xí)題2.2A組 2、3.選做題：1、已知 sin是 sin、cos的等差中項，sin是 sin、cos的等比中項. 求證： cos 44cos 43 .2、（ 2012 江蘇）在ABC 中，已知 ABAC3BA BC求證： tan B3tan A.3、（ 2012 江西）在 ABC 中，角、的對邊分別為、 、 .已知A,b sin(C )c sin(B)a444求證：BC.2設(shè)計意圖 設(shè)計作業(yè)1,2，是讓學(xué)生充分理解教科書，培養(yǎng)學(xué)生用好教科書的良好習(xí)慣.選做題是高考題，讓學(xué)生感受在高考中本節(jié)思想方法的重要性七