1、第二章晶體的結合1. 試述離子鍵、共價鍵、金屬鍵、范德瓦爾斯和氫鍵的基本特征。解：（1）離子鍵：無方向性，鍵能相當強；（2）共價鍵：飽和性和方向性，其鍵能也非常強；（3）金屬鍵：有一定的方向性和飽和性，其價電子不定域于2個原子實之間，而是在整個晶體中巡游，處于非定域狀態，為所有原子所“共有”；（4）范德瓦爾斯鍵：依靠瞬時偶極距或固有偶極距而形成，其結合力一般與r7成反比函數關系，該鍵結合能較弱；（5）氫鍵：依靠氫原子與2個電負性較大而原子半徑較小的原子（如O, F, N等）相結合形成的。該鍵也既有方向性，也有飽和性，并且是一種較弱的鍵，其結合能約為50kJ/mol。2. 有人說“晶體的內能就是

2、晶體的結合能”，對嗎？解：這句話不對，晶體的結合能是指當晶體處于穩定狀態時的總能量（動能和勢能）與 組成這晶體的N個原子在自由時的總能量之差，即Eb En Eo。（其中Eb為結合能，En為組成這晶體的N個原子在自由時的總能量，E0為晶體的總能量）。而晶體的內能是指晶體處于某一狀態時（不一定是穩定平衡狀態）的，其所有組成粒子的動能和勢能的總和。3當2個原子由相距很遠而逐漸接近時，二原子間的力與勢能是如何逐漸變化的？解：當2個原子由相距很遠而逐漸接近時，2個原子間引力和斥力都開始增大，但首先引力大于斥力，總的作用為引力，f（r） 0，而相互作用勢能 u（r）逐漸減小；當2個原子慢慢接近到平衡距離r

3、°時，此時，引力等于斥力，總的作用為零，f（r） 0，而相互作用勢能u（r）達到最小值；當 2個原子間距離繼續減小時，由于斥力急劇增大，此時，斥力開始大于引力，總的作用為斥力，f（r） 0,而相互作用勢能u（r）也開始急劇增大。4. 為什么金屬比離子晶體、共價晶體易于進行機械加工并且導電、導熱性良好？解：由于金屬晶體中的價電子不像離子晶體、共價晶體那樣定域于 2個原子實之間，而是在整個晶體中巡游，處于非定域狀態，為所有原子所“共有”，因而金屬晶體的延展性、導電性和導熱性都較好。5. 有一晶體，在平衡時的體積為 V0，原子之間總的相互作用能為U。，如果原子間相互作用能由下式給出：U(r

4、)mrr試證明彈性模量可由U0 mn/(9V0)給出。解：根據彈性模量的定義可知K%嘰上式中利用了 PdU的關系式。dV設系統包含N個原子，則系統的內能可以寫成號 u(r)又因為可把N個原子組成的晶體的體積表示成最近鄰原子間距V Nv Nr3r的函數，即(3)上式中為與晶體結構有關的因子(如面心立方結構,.2/2 )。又因為(dV)1Nr2(dU)R°3N(4)(洋)%drdVddr13N r2y(2 ro考慮平衡條件d2U1(dVy)Vo(dV)將(6)式代入(ro2mmro2mmro2nnro3mmro3nnro(5)2nnro1)式得:Vo6.上題表示的相互作用能公式中,3 1

5、o 1o m離解能為4eV,試計算解：在平衡位置時有mm romn9Vo2u(r)nn ro19Vo2，那么mn気Uo(5)式可化為mmronnrromr。眾(Uo)(6)Uomn /(9Vo)2, n 10 ,且兩原子構成穩定分子時間距為之值。2 ro1oroEk(1)du(r)dr23r°10TT0r°(2)將離解能Ek4eV和r01010m03A代入（1）和（2）式可得:4.51019eV - m,5.9 109610eV - m。7.設某晶體每對原子的勢能具A B-9的形式，平衡時r rr02.8 10 10m，結合能為U 8 10 19J，試計算A和B以及晶體的有

6、效彈性模量。解：由題意有以下方程成立:A-9 r°r09A10 roBro把ro，U的具體數值代入上述方程組,即得:A(2.8 10 10)99A10、1o2.8 10 10B1019(2.810 ) (2.810、210 )由此可得： A 1.0578 10105 Jm9 , B2.52 1028J該晶體的有效彈性模量為:0（北dV2)V。又（上式中N表示晶體中所含的原子個數,表示與晶體結構有關的因子）19 Nr。(為)r01(90A119 Nr° r°2B) = _1_r03= 9 N113.2797 1011Nv N8.KCI晶體的體彈性模量為 1.74 X

7、 1010Pa,若要使晶體中相鄰離子間距縮小0.5%，問需要施加多大的力。解：設KCI晶體內包含N個原胞，綜合考慮到庫侖吸引能和重疊排斥能，則系統的內 能可以寫成此外，由于KCl每個原胞體積為2r3，則晶體的總體積為2Nr(2)其中（1 ）和（2）式中的r都指KCl晶體中相鄰 Q和C之間的距離。 根據體彈性模量的定義有：V空dV Vo(3)Vo設平衡時晶體內相鄰離子間的距離為ro，則平衡體積V。 2Nr03，那么平衡時的體彈性模量為KVd2UdV2。又根據KCl晶體內能表達式Vo1）式及平衡條件（影）V。0，可得電ronBn 1ro1 n 1 ro 。n將（1）和（2）式代入（3 ）式，并利用

8、平衡條件可得3 ro2ddr3ddr3r roro g丄 g 旦_j_d2r ro18 dr r2 ro drr rn r ro 18ro dr2上式中的前一項由于平衡條件而等于o，后一項求微商后利用平衡條件化簡得由此知A18Kro4n 1118ro2An(n 1)B(n 1)A18r。4當使晶體中相鄰離子間距縮小o.5%時，即使相鄰離子間距變為r1ro（1 o.5%） o.95r。，此時需施加的外力為duA nBdrrr12n 11A1)r3，故(2)在面心立方點陣中，每個原子平均所占據的體積+（'2r）4、23Tr，(3)在體心立方點陣，每個原子平均所占據的體積2 r）3(4)在金

9、剛石點陣中，每個原子平均所占據的體積1/438（.3r）18Kr；(11)0.952(n 1)(0.95n110查書中表2.2及表2.5可知，n 9.0, r03.14 10 m代入上式可得F 2.17 10 9N9. 由N個原子(離子)所組成的晶體的體積可寫成 V Nv N r3。式中v為每個原子(離 子)平均所占據的體積；r為粒子間的最短距離；為與結構有關的常數。試求下列各種結構的值：（1）簡單立方點陣;（2）面心立方點陣;（3）體心立方點陣;（4）金剛石點陣；（5）NaCl點陣；解：(1)在簡單立方點陣中，每個原子平均所占據的體積(5)在NaCI點陣中，每個原子平均所占據的體積133-)

10、3 r3 ； 故82個原子勢為：8.39；10. 對于由N個惰性氣體原子組成的一維單原子鏈，設平均每u（x）u0 G12 p。求：（1）原子間的平均距離 X。；（2）每個原子的平均晶格能；（3 ）壓縮系數k。解：（1）在平衡時，有下式成立du(x)"12122 6 6dxU0137xx0X。X。(1)由上式可得x0（2）設該N個惰性氣體原子組成的一維單原子鏈的總的相互作用勢能為U （x），那么有U(x)Uo()12X1j2( )6X1j(2)設X為2個原子間的最短距離,則有xiiajX，那么（2 ）式可化為U(X)Nuo212 6A(X)B(7)(3)其中（3）式中A112aj(11

11、2121312)2.00048，16aj(12636)4.07809。那么每個原子的平均晶格能為U（x。）U02122.00048()4.07809()U0（3）根據壓縮系數的定義可知,1 dVkV dP1dV1dV21ZdNx2()N dX dX(4)將（3）式代入（4）式得:N22x14x8011.若NaCI晶體的馬德隆常數 M =1.75 ,晶格常數a=5.64 A ,幕指數穩定極限時，求：（1）離子間距增加多少？（2）負壓強的理論值是多大？解：（1）設該NaCI晶體的含有N個離子，則其相互作用勢能為n=9。晶體拉伸而達到N Mq2U(r)240r(1)上式中的r指NaCI晶體中相鄰兩離

12、子間的距離。又設NaCI晶體處于平衡狀態時，相鄰兩離子間的距離為由平衡條件可知dU(r)drr r0N Mq22 40r2nBFT3-r(2)r ro由（2）式可得B嚴討。當晶體拉伸而達到穩定極限時，此時相鄰離子間的引力達到最大值，即有2d U(r)dr2ri2Mq230rn(n 1)B(3)ri將B 衛r0n1代入（3）式可得4因而離子間距增加了(2)由（1）11ro5.64203.45 Arr1 r03.4502.820.63 A問可求出晶體拉伸穩定時負壓強的理論值為dUdr rri21 Mq n 1n 104 014.07809 6 7 67OuoNX Nu0 2.00048 12 13

13、 1212 4 3.14 8.8541.75 (1.9 10 )210 12 (3.45 10 10)2192109 11.75 (1.9 10 19)2 (2.82 10 )4 3.14 8.854 10 12 (3.45 1010)9 191.91 10 Pa12.已知有N個離子組成的NaCI晶體，其結合能為:U(r)號占2 4 °rpn)。且當晶體處于平衡時,這兩者對相互作用勢能的貢獻相同。r若排斥項由ce 來代替，r求出n和的關系。解：由平衡條件可知dU(r)drr02e4 oro2也）0 r。由（1）式可求得(2)1 °n百 -2 e又由題意有ce將（2）式代入（

14、3）式可得:r°In In C n In r014°n 肓2en |4 onIn In CIn 廠n 1e2的均勻流體滲滿而不13.假定在某個離子晶體中，某離子間的空間能夠被一種介電常數為至于影響離子間的排斥作用，但庫侖相互作用減少為原來的1/ 。計算這種情況下 NaCI的點陣常數和結合能。解：由題意可知，當NaCI晶體被介電常數為的均勻流體滲滿時， 其相互作用勢能為：N Mq2U(r)2 40 r(1)由平衡條件可知有dU(r)drr02N / Mq( 24 0 r。吧）0r。(2)由（2 ）式可求得NaCI晶體處于平衡狀態時,4 0 nBMq2相鄰兩個離子間的距離為1n

15、 1那么NaCI的點陣常數為a2ro2 4 o nB0Mq2結合能為EbU（r。）嚴2(41(nB)廿(Mq2 (4 02(nB)市14.考察一條直線，其上載有q交錯的2N個離子，最近鄰之間的排斥能為AoRn（1）試證明在平衡時,U(Ro)2Nq21n2“1、(1 -)4 0R0n（2）令晶體被壓縮，使 Ro）。試證明在晶體被壓縮過程中，外力做功的主項對- 1 2每離子平均為2C 。其中,(n 1)q2l n240 f解：（1）線型離子晶體的結合能為2U(R) N 七An aj其中（1）式中的M（寸），Rn)(1)即為線型離子晶體的馬德隆常數，等于2ln2 ；Anaj當晶體處于平衡時，有平衡條件:dU(R)dRR）N(打(2)量為由（2）式可得A曲4 onRon1(3)將（3）式代入（1）,并將M(2)使 RoRo(1)，當URo(1) U(Ro)上式中根據平衡條件有d 2U(R)dR2R RoddR離子晶體被壓縮2ln2也代入（1）可得:U（R。）很小時,dU(R)dRdU(R)dRR Rol 2NR02Nq2"2(1Ro0，另有nRn 10 Ro丄)nRo附近把U （R）展開為泰勒