1、中心極限定理證明一、例子高爾頓釘板試驗.圖中每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子.每排釘子等距排列，下一 排的每個釘子恰在上一排兩相鄰釘子之間.假設有排釘子，從入口中處放 入小圓珠.由于釘板斜放，珠子在下落過程中碰到釘子后以的概率滾向左 邊,也以的概率滾向右邊.如果較大，可以看到許多珠子從處滾到釘板底端 的格子的情形如圖所示，堆成的曲線近似于正態分布.如果定義：當第次碰到釘子后滾向右邊，令;當第次碰到釘子后滾向左 邊，令.則是獨立的，且那么由圖形知小珠最后的位置的分布接近正態 .可以想象，當越來越 大時接近程度越好.由于時，.因此，顯然應考慮的是的極限分布.歷史上德 莫佛第一個證明了二項分布的極限

2、是正態分布.研究極限分布為正態分布的極限定理稱為中心極限定理.二、中心極限定理設是獨立隨機變量序列，假設存在，若對于任意的，成立稱服從中心極限定理.設服從中心極限定理，則服從中心極限定理，其中為數列.解:服從中心極限定理，則表明其中.由于，因此故服從中心極限定理三、德莫佛-拉普拉斯中心極限定理在重貝努里試驗中，事件在每次試驗中出現的概率為為次試驗中事件出現的次數，則用頻率估計概率時的誤差估計.由德莫佛一拉普拉斯極限定理，由此即得第一類問題是已知，求，這只需查表即可.第二類問題是已知，要使不小于某定值，應至少做多少次試驗這時利 用求出最小的.第三類問題是已知，求.解法如下:先找，使得.那么，即.

3、若未知，則利用，可得如下估計:.拋擲一枚均勻的骰子，為了至少有的把握使出現六點的概率與之差不超過，問需要拋擲多少次解:由例4中的第二類問題的結論，.即.查表得.將代入，便得.由此可見, 利用比利用契比曉夫不等式要準確得多.已知在重貝努里試驗中，事件在每次試驗中出現的概率為為次試驗中事件出現的次數，則服從二項分布：的隨機變量.求.解：因為很大，于是所以利用標準正態分布表，就可以求出的值.某單位內部有260架電話分機，每個分機有的時間要用外線通話，可 以認為各個電話分機用不用外線是是相互獨立的，問總機要備有多少條外線才能以的把握保證各個分機在使用外線時不必等候.解:以表示第個分機用不用外線，若使用

4、，則令;否則令.則.如果260架電話分機同時要求使用外線的分機數為，顯然有.由題意 得，查表得，故取.于是取最接近的整數，所以總機至少有16條外線，才能有以上的把握保 證各個分機在使用外線時不必等候.根據孟德爾遺傳理論，紅黃兩種番茄雜交第二代結紅果植株和結黃 果植株的比率為3:1，現在種植雜交種400株,試求結黃果植株介于83和 117之間的概率.解:將觀察一株雜交種的果實顏色看作是一次試驗，并假定各次試驗 是獨立的.在400株雜交種中結黃果的株數記為，則.由德莫佛一拉普拉斯極限定理，有其中，即有四、林德貝格-勒維中心極限定理若是獨立同分布的隨機變量序列，假設，則有證明:設的特征函數為，則的特

5、征函數為又因為，所以于是特征函數的展開式從而對任意固定的，有而是分布的特征函數.因此，成立.在數值計算時，數用一定位的小數來近似，誤差.設是用四舍五入法得 到的小數點后五位的數，這時相應的誤差可以看作是上的均勻分布.設有個數，它們的近似數分別是，令用代替的誤差總和.由林德貝格一一勒維定理，以，上式右端為，即以的概率有設為獨立同分布的隨機變量序列，且互相獨立 淇中，證明：的分布函 數弱收斂于.證明:為獨立同分布的隨機變量序列，且互相獨立，所以仍是獨立同分 布的隨機變量序列，易知有由林德貝格一一勒維中心極限定理，知的分布函數弱收斂于，結論得 證.作業:p222ex32,33,34,35五、林德貝爾

6、格條件設為獨立隨機變量序列，又令，對于標準化了的獨立隨機變量和的分布當時，是否會收斂于分布除以外，其余的均恒等于零，于是.這時就是的分布函數.如果不是正 態分布，那么取極限后，分布的極限也就不會是正態分布了.因而，為了使得成立，還應該對隨機變量序列加上一些條件.從例題中看出，除以外，其 余的均恒等于零，在和式中，只有一項是起突出作用.由此認為，在一般情 形下，要使得收斂于分布，在的所有加項中不應該有這種起突出作用的加 項.因為考慮加項個數的情況，也就意味著它們都要均勻地斜.設是獨立隨機變量序列，又,，這時(1)若是連續型隨機變量，密度函數為，如果對任意的，有(2)若是離散型隨機變量，的分布列為

7、如果對于任意的，有則稱滿足林德貝爾格條件.以連續型情形為例，驗證:林德貝爾格條件保證每個加項是均勻地斜.證明:令，則于是從而對任意的，若林德貝爾格條件成立，就有這個關系式表明，的每一個加項中最大的項大于的概率要小于零 ，這 就意味著所有加項是均勻地斜.六、費勒條件設是獨立隨機變量序列，又，稱條件為費勒條件.林德貝爾格證明了林德貝爾格條件是中心極限定理成立的充分條件，但不是必要條件.費勒指出若費勒條件得到滿足，則林德貝爾格條件也 是中心極限定理成立的必要條件.七、林德貝爾格-費勒中心極限定理引理1對及任意的，證明:記，設，由于因此，淇次，對，用歸納法即得.由于，因此，對也成立.引理2對于任意滿足

8、及的復數，有證明:顯然因此，由歸納法可證結論成立.引理3若是特征函數，則也是特征函數，特別地證明定義隨機變量其中相互獨立，均有特征函數，服從參數的普哇松分布，且與諸獨立 不難驗證的特征函數為，由特征函數的性質即知成立.林德貝爾格-費勒定理定理設為獨立隨機變量序列，又.令，則(1)與費勒條件成立的充要條件是林德貝爾格條件成立.證明:(1)準備部分記(2)顯然(3)(4)以及分別表示的特征函數與分布函數，表示的分布函數，那么(5)這時因此林德貝爾格條件化為：對任意，(6)現在開始證明定理.設是任意固定的實數.為證(1)式必須證明(7)先證明，在費勒條件成立的假定下，(7)與下式是等價的：事實上，由

9、(3)知,又因為故對一切，把在原點附近展開彳導到因若費勒條件成立，則對任意的，只要充分大，均有(9)這時(10)對任意的，只要充分小，就可以有(11)因止匕由引理3,引理2及(10),(11)只要充分大，就有(12)因為可以任意小，故左邊趨于0,因止匕證得(7)與(8)的等價性.(2)充分性先證由林德貝爾格條件可以推出費勒條件.事實上，(13)右邊與無關，而且可選得任意小；對選定的，由林德貝爾格條件(6)知 道第二式當足夠大時，也可以任意地小，這樣,費勒條件成立.其次證明林德貝爾格條件能保證(1)式成立.注意到(3)及(4)，可知，當時，當時，因此(14)對任給的，由于的任意性，可選得使，對選

10、定的，用林德貝爾格條件知 只要充分大，也可使.因此，已證得了(8)，但由于已證過費勒條件成立，這時 (8)與(7)是等彳的，因而(7)也成立.(3)必要性由于(1)成立,因此相應的特征函數應滿足(7).但在費勒條件成立時 這又推出了,因此，(15)上述被積函數的實部非負，故而且(16)因為對任意的，可找到，使,這時由(15),(16)可得故林德貝爾格條件成立.八、李雅普諾夫定理設為獨立隨機變量序列，又.令,若存在，使有則對于任意的，有一，大數定律的證明二，中心極限定理的證明中心極限定理我們曾特別強調了正態分布在概率論與數理統計中的地位與作用為什么客觀實際中許多隨機變量服從正態分布是經驗猜測還是

11、確有科 學的理論依據，下面我們就來解釋這一問題.我們已經知道，炮彈的彈著點射擊誤差服從正態分布，我們來分 析其原因.要知道誤差是什么樣的隨機變量，有必要研究一下造成誤差 的原因是什么每次射擊后，炮彈會因為震動而造成很微小的偏差x1,炮彈外形細小的差別而引起空氣阻力不同而出現的誤差x2,炮彈前進時遇到的空氣流的微小擾動而造成的誤差x3, 等等，有許多原因，每種原因引起一個微小的誤差都是隨機的，而彈著點的總誤差x是許多隨機誤差的總和，即x=xk而且xk之間可以看成是相互獨立的，因此 要討論x的分布就要討論這些相互獨k立的隨機變量之和的分布.在概率論中，我們把研究在一定條件下，大量獨立隨機變量和的

12、極限分布是正態分布的那些定理通常叫做中心極限定理.本節只介紹兩個條件簡單，也較常用的中心極限定理.定理4 (同分布中心極限定理)設隨機變量 x1, x2,xn 相互獨 立，服從同一分布，且具有有限的數學期望和方差， e(xk)=,d(xk)=(k=1,2,則隨機變量2xk-nk=1n的分布函數對任意的x,滿足nnxk-nk=1nx12e-xt22dt中心極限定理及其應用【摘要】中心極限定理的產生具有一定的客觀背景，最常見的是 德莫佛-拉普拉斯中心極限定理和林德貝格-勒維中心極限定理。它們表 明了當n充分大時，方差存在的n個獨立同分布的隨機變量和近似服 從正態分布，在實際中的應用相當廣泛。本文討

13、論了中心極限定理的 內容、應用與意義。【關鍵詞】：中心極限定理正態分布隨機變量一、概述概率論與數理統計是研究隨機現象、統計規律性的學科。隨機現 象的規律性只有在相同條件下進行大量重復的實驗才會呈現出來，而 研究大量的隨機現象常常采用極限的形式，由此導致了對極限定理的 研究。極限定理的內容很廣泛，中心極限定理就是其中非常重要的一 部分內容。中心極限定理主要描述了在一定條件下，相互獨立的隨機 變量序列x1、x2 , xn ,的部分和的分布律：當 n00時的極限符合 正態分布。因此中心極限定理這個結論使正態分布在數理統計中具有 很重要的地位，也使得中心極限定理有了廣泛的應用。二、定理及應用1、定理一

14、(林德貝格一勒維定理)若k1, =a,2, 是一列獨立同分布的隨機變量，且 edk=kx2(20),k=1,2,貝U有limp(k1nnnax)nn12et22dt。當n充分大時，k1knan-n (0,1) , k1nkn (na,n) 22、定理二(棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理)在n重伯努利試驗中，事件a在每次試驗中出現的概率為錯誤！未 找到引用源。，錯誤！未找到引用源。為n次試驗中事件a出現的次數，則limp(nnnpnpqx)21xet22dt其中q1p。這個定理可以簡單地說成二項分布漸近正態分布，因此當n充分大時，可以利用該定理來計算二項分布的概率。同分布下中心極限定理的簡單應用獨立

15、同分布的中心極限定理可應用于求隨機變量之和sn落在某區間的概率和已知隨機變量之和 sn取值的概率，求隨機變量的個數。例1:設各零件的重量都是隨機變量，它們相互獨立且服從相同的 分布，其數學期望為，均方差為，問 5000只零件的總重量超過2510kg 的概率是多少解：設xi(i=1, 2,，5000)表示第i個零件的重量 x1, x2,， x5000 獨立同分布且 e(xi)=, d(xi)=。由獨立同分布的中心極限定理可知3=i-()()=例2: 一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的且同分 布，設每箱平均重50kg,標準差為5kg,若用最大載重為50噸的汽車 承運，每輛車最多可以裝多

16、少箱才能保證不超載的概率大于解：設xi(i=1, 2,，n)是裝運第i箱的重量，n為所求箱數。由 條件可把x1, x2,，xn看作獨立同分布的隨機變量，而 n箱的總重 量為tn=x1+x2+-+xn是獨立同分布的隨機變量之和。由 e(xi)=50、d(xi)=52 得：e(tn)=50n, d(tn)=52n根據獨立同分布的中心極限定理：3即最多可以裝98箱例3:報名聽心理學課程的學生人數 k是服從均值為100的泊松分布的隨機變量，負責這門課的教授決定，如果報名人數不少于120,就分成兩班，否則就一班講授。問該教授講授兩個班的概率是多少分析：該教授講授兩個班的情況出現當且僅當報名人數x不少于1

17、20,精確解為p (x120 =e-100100i/i!很難求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值為100的泊松分布隨機變量等于100個均值為1的獨立泊松分布隨機變量之和，即 x=xi,其中每個xi具有參數1的泊松分布，則我們可利用中心極限定理求近似解。2解：可知 e(x)=100, d(x)=100教授講授兩個班的概率是。例4:火炮向目標不斷地射擊，若每次射中目標的概率是0、1。(1)求在400次射擊中擊中目標的次數在區間30, 50內的概率。(2)問最少要射擊多少次才能使擊中目標的次數超過10次的概率不小于分析：顯然火炮射擊可看作是伯努利實驗。1即我們知道，正態分布可近似于二項分布，而且

18、泊松分布可近似于二項分布，當二項分布 b(n, p), n較大、p較小時可用泊松分布估計近似值。如果p接近1,有q=l-p很小，這時也可用泊松分布計算；但是當n較大，p不接近0或1時，再用泊松分布估計二項分布的概率就 不夠精確了，這時應采用拉普拉斯定理來計算。解：(1)設在射擊中擊中目標的次數為yn,所求概率(30yn0 使得：也就是說，無論各個隨機變量 xi服從什么分布，只要滿足李雅普諾夫條件，當 n很大時，它們的和 近似服從正態分布。由于在大學本科階段接觸的不同分布的樣本較 少，本文對它的應用將不舉例說明。中心極限定理以嚴格的數學形式闡明了在大樣本條件下，不論總 體的分布如何，樣本均值總是

19、近似地服從正態分布。正是這個結論使 得正態分布在生活中有著廣泛的應用。四、中心極限定理的意義首先，中心極限定理的核心內容是只要n足夠大，便可以把獨立同分布的隨機變量和的標準化當作正態變量，所以可以利用它解決很 多實際問題，同時這還有助于解釋為什么很多自然群體的經驗頻率呈 現出鐘形曲線這一值得注意的事實，從而正態分布成為概率論中最重 要的分布，這就奠定了中心極限定理的首要功績。其次，中心極限定 理對于其他學科都有著重要作用。例如數理統計中的參數（區間）估 計、假設檢驗、抽樣調查等；進一步，中心極限定理為數理統計在統 計學中的應用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關鍵在于掌握樣本特征值的抽樣分布，而中心

20、極限定理表明只要樣本容量足夠地大，得 知未知總體的樣本特征值就近似服從正態分布。從而，只要采用大量 觀察法獲得足夠多的隨機樣本數據，幾乎就可以把數理統計的全部處 理問（更多內容請訪問好范文網）題的方法應用于統計學，這從另一個方 面也間接地開辟了統計學的方法領域，其在現代推斷統計學方法論中 居于主導地位。參考文獻1鄧永錄著應用概率及其理論基礎.清華大學出版社。2魏振軍著概率論與數理統計三十三講.中國統計出版社。3程依明等著概率論與數理統計習題與解答.高等數學出版社。中心極限定理中心極限定理（centrallimittheorems ）什么是中心極限定理大數定律揭示了大量隨機變量的平均結果，但沒有

21、涉及到隨機變 量的分布的問題。而中心極限定理說明的是在一定條件下，大量獨立 隨機變量的平均數是以正態分布為極限的。中心極限定理是概率論中最著名的結果之一。它提出，大量的獨 立隨機變量之和具有近似于正態的分布。因此，它不僅提供了計算獨 立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么有很 多自然群體的經驗頻率呈現出鐘形（即正態）曲線這一事實，因此中心極 限定理這個結論使正態分布在數理統計中具有很重要的地位，也使正 態分布有了廣泛的應用。中心極限定理的表現形式中心極限定理也有若干個表現形式，這里僅介紹其中四個常用定理：（一）辛欽中心極限定理設隨機變量相互獨立，服從同一分布且有有限的數學期望

22、a和方差（2,貝! J隨機變量，在n無限增大時，服從參數為a和的正態分布即n-s時，將該定理應用到抽樣調查，就有這樣一個結論：如果抽樣總體的 數學期望a和方差0 2是有限的，無論總體服從什么分布，從中抽取容量為n的樣本時，只要n足夠大，其樣本平均數的分布就趨于數學期 望為a,方差為（r2/n的正態分布。（二）德莫佛一一拉普拉斯中心極限定理設wn是n次獨立試驗中事件a發生的次數，事件a在每次試驗中 發生的概率為p,則當n無限大時，頻率設wn/n趨于服從參數為的正態分布。即：該定理是辛欽中心極限定理的特例。在抽樣調查中，不論總體服 從什么分布，只要n充分大，那么頻率就近似服從正態分布。（三）李亞普洛夫中心極限定理設差：是一個相互獨立的隨機變量序列，它們具有有限的數學期望 和方O記，如果能選擇這一個正數 8 0使當ns時，,則對任意的x有：該定理的含義是：如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素影響 所造成的，而每一個別因素在總影響中所起的作用不很大，則這個量 服從或近似服從正態分布。（四）林德貝爾格定理設是一個相對獨立的隨機變量序列，它們具有有限的數學期望和方差滿足林德貝爾格條件，則當ns時，對任意的x,有O中心極限定理案例分析案例一：中