1、第二章過關檢測(時間:90分鐘滿分:100分)知識點分布表知識點等差數列的有關計算及性質等差數列前n項和等比數列的有關計算及性質等比數列前n項和綜合應用相應題號3,5,7,121,8,9,152,4116,10,13,14,16,17,18一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分)1.在等差數列an中,S10=120,則a1+a10的值是()A.12B.24C.36D.48答案:B解析:S10=10(a1+a10)2=120解得,a1+a10=24.2.等比數列an中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的兩根,則a4=()A.8B.-8C.±8D.以上都不對答案:A解析

2、:由已知得a2+a6=34,a2·a6=64,所以a2>0,a6>0,則a4>0.又a42=a2·a6=64,a4=8.3.如果f(n+1)=2f(n)+12(n=1,2,3,)且f(1)=2,則f(101)等于()A.49B.50C.51D.52答案:D解析:f(n+1)=2f(n)+12=f(n)+12,f(n+1)-f(n)=12,即數列f(n)是首項為2,公差為12的等差數列.通項公式為f(n)=2+(n-1)×12=12n+32.f(101)=12×101+32=52.4.已知各項均為正數的等比數列an中,a1a2a3=5,a

3、7a8a9=10,則a4a5a6=()A.52B.7C.6D.42答案:A解析:(a1a2a3)·(a7a8a9)=(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)=a56=50,a53=52.又a4a5a6=(a4a6)·a5=a53,故選A.5.若數列an滿足a1=15,且3an+1=3an-2,則使ak·ak+1<0的k值為()A.22B.21C.24D.23答案:D解析:因為3an+1=3an-2,所以an+1-an=-23,所以數列an是首項為15,公差為-23的等差數列,所以an=15-23(n-1)=-23n+473,由an=-23

4、n+473>0,得n<23.5,所以使ak·ak+1<0的k值為23.6.若數列an滿足an+1=1-1an,且a1=2,則a2 012等于()A.-1B.2C.2D.12答案:D解析:an+1=1-1an,a1=2,a2=1-12=12,a3=1-2=-1,a4=1-1-1=2.由此可見,數列an的項是以3為周期重復出現的,a2 012=a670×3+2=a2=12.7.數列an的首項為3,bn為等差數列且bn=an+1-an(nN*).若b3=-2,b10=12,則a8=()A.0B.3C.8D.11答案:B解析:bn為等差數列,公差d=b10-b31

5、0-3=2,bn=b3+2(n-3)=2n-8.an+1-an=2n-8.a8=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a8-a7)=3+(-6)+(-4)+6=3+7×(-6+6)2=3.8.設等差數列an的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=()A.3B.4C.5D.6答案:C解析:Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.d=am+1-am=3-2=1.Sm=ma1+m(m-1)2×1=0,a1=-m-12.又am+1=a1+m×1=3,-m-12+m=3

6、.m=5.故選C.9.等差數列an中,已知3a5=7a10,且a1<0,則數列an前n項和Sn(nN*)中最小的是()A.S7或S8B.S12C.S13D.S14答案:C解析:由3a5=7a10得3(a1+4d)=7(a1+9d),解得d=-451a1>0.所以an=a1+(n-1)d=a1-(n-1)×451a1,由an=a1-(n-1)×451a10,即1-4(n-1)510,解得n554=1334,即當n13時,an<0.當n>13時,an>0,所以前13項和最小,所以選C.10.(2015河南南陽高二期中,12)數列an的前n項和Sn=

7、n2+n+1;bn=(-1)nan(nN*);則數列bn的前50項和為()A.49B.50C.99D.100答案:A解析:數列an的前n項和Sn=n2+n+1,a1=S1=3,當n2時,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)2+(n-1)+1=2n,故an=3,n=1,2n,n2.bn=(-1)nan=-3,n=1,(-1)n·2n,n2,數列bn的前50項和為(-3+4)+(-6+8)+(-10+12)+(-98+100)=1+24×2=49,故選A.二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分)11.已知數列an中,an=2×3n-1,則由它的偶數

8、項所組成的新數列的前n項和Sn=. 答案:3(9n-1)4解析:數列an是等比數列,它的偶數項也構成等比數列,且首項為6,公比為9.其前n項和Sn=6(1-9n)1-9=3(9n-1)4.12.正項數列an滿足:a1=1,a2=2,2an2=an+12+an-12(nN*,n2),則a7=. 答案:19解析:因為2an2=an+12+an-12(nN*,n2),所以數列an2是以a12=1為首項,以d=a22-a12=4-1=3為公差的等差數列.所以an2=1+3(n-1)=3n-2.所以an=3n-2,n1.所以a7=3×7-2=19.13.(2015江西吉安聯

9、考,13)已知數列an滿足anan+1an+2an+3=24,且a1=1,a2=2,a3=3,則a1+a2+a3+a2 013+a2 014=. 答案:5 033解析:數列an滿足anan+1an+2an+3=24,a1a2a3a4=24,a4=24a1a2a3=241×2×3=4,anan+1an+2an+3=24,an+1an+2an+3an+4=24,an+4=an,數列an是以4為周期的周期數列,2 014=503×4+2,a1+a2+a3+a2 013+a2 014=503×(1+2+3+4)+1+2=5 033.14.(2015山東

10、省濰坊四縣聯考,14)已知數列an滿足a1+3·a2+32·a3+3n-1·an=n2,則an=. 答案:12×3n-1解析:a1+3·a2+32·a3+3n-1·an=n2,當n2時,a1+3·a2+32·a3+3n-2·an-1=n-12,兩式相減得3n-1·an=n2-n-12=12,即an=12×3n-1,n2,當n=1時,a1=12,滿足an=12×3n-1,故an=12×3n-1.三、解答題(本大題共4小題,15、16小題每小題10分

11、,17、18小題每小題12分,共44分)15.(2015河南鄭州高二期末,17)設等差數列an滿足a3=5,a10=-9.(1)求an的通項公式;(2)求an的前n項和Sn的最大值.解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得,a1+2d=5,a1+9d=-9,解得a1=9,d=-2.數列an的通項公式為an=11-2n.(2)由(1)知Sn=na1+n(n-1)2d=10n-n2.因為Sn=-(n-5)2+25.所以n=5時,Sn取得最大值25.16.在公差為d的等差數列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數列.(1)求d,an;(2)若d<0,求

12、|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解:(1)由題意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)設數列an的前n項和為Sn,因為d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11.則當1n11時,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-12n2+212n.當n12時,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11=12n2-212n+110.綜上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-12n2+212n,1n11,12n2-212n+110,n12.17.(201

13、5福建省寧德市五校聯考,21)已知數列an中,a1=3,an+1=4an+3.(1)試寫出數列an的前三項;(2)求證:數列an+1是等比數列,并求數列an的通項公式an;(3)設bn=log2(an+1),記數列1bnbn+1的前n項和為Tn,求Tn的取值范圍.解:(1)a1=3,an+1=4an+3,a1=3,a2=15,a3=63.(2)an+1+1an+1=4an+3+1an+1=4,數列an+1是公比為4的等比數列.an+1=(a1+1)·4n-1=4n,an=4n-1.(3)bn=log2(an+1)=log24n=2n,1bnbn+1=12n·2(n+1)=1

14、41n-1n+1,Tn=141-12+12-13+13-14+1n-1n+1=141-1n+1,Tn=141-1n+1是關于n(nN*)的單調遞增函數,n=1時,(Tn)min=18,n+時,Tn14.Tn的取值范圍是18,14.18.(2015山東高考,理18)設數列an的前n項和為Sn .已知2Sn=3n+3.(1)求an的通項公式;(2)若數列bn滿足anbn=log3an,求bn的前n項和Tn.解:(1)因為2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,當n>1時,2Sn-1=3n-1+3,此時2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,所以an=3,n=1,3n-1,n>1.(2)因為anbn=log3an,所以b1=13,當n>1時,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=13;當n>1時,Tn=b1+b2+b3+bn=13+(1×3-1+2