1、4二tan三角恒等變換與解三角形【考向解讀】 正弦定理和余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內容，1. 和差角公式、二倍角公式是高考的熱點，常與三角函數式的求值、化簡交匯命題既有選擇題、填空題, 又有解答題，難度適中，主要考查公式的靈活運用及三角恒等變換能力.2. 預測 2017 年高考仍將以和差角公式及二倍角公式為主要考點，復習時應引起足夠的重視.3. 邊和角的計算；4. 三角形形狀的判斷；5. 面積的計算；6. 有關的范圍問題.【命題熱點突破一】三角恒等變換例 1、（1）（2016 高考全國乙卷）已知0是第四象限角，且 sin i0+寸=3 則 tan i0于= 解析：基本法：將0-4 轉

2、化為0+-4專.由題意知 sin0+亍=3，0是第四象限角，所以cos i0+才 0tan04=tan0+ 7 y7答案：-4nn速解法：由題意知0+7為第一象限角，設0+71，所以 cos0+4 =2sincossin4-3- =4一5-3一55823如圖，不妨設在 RtACB中,ZA=a,由 sina =-可得，5BC=3,A*5,AC=4,n4Z B=- a，二 tanB= 3,4- tan B= 3.4答案：3若 tana 0，則()A.sina 0B.cosa 0C. sin 2a 0 D.cos 2a 0解析： 基本法； 由tanaQ得a是第一或第三象限角,若a是第三象限角， 則A

3、, B錯； 由sin 2a=2sin acossin2a0fC正確；a 取曰辦cos2a=2ms:a-i = -i0,艮卩如處口50尸cos a.sin2a=2sin acos a0故選C- 答案：C【感悟提升】 解決三角函數問題的基本思想是“變換”，通過適當的變換達到由此及彼的目的在三角 函數問題中變換的基本方向有兩個：一個是變換函數名稱，一個是變換角的形式.變換函數名稱可以使用 誘導公式、同角三角函數的基本關系等；變換角的形式可以使用兩角和、差的三角函數公式、倍角公式， 對角進行代數形式的變換等.【變式探究】434A. 匚 B . C. - D.555【答案】(1)7(2) A已知 sin

4、F，則 cos5ann等于(1)已知 sin那么 cos 22312(1)依題意得 cosa=-，所以 cos 2a= 2COSa 1 = 2X4化簡得2 ( sanAcosB4-sin cosA) = sinA4-sicB ,即 2 2sin(*+月I = sin J - sinB.因為-4 + 5 + C= 7T,所以5in(+5) = sm(7T-C) = sinC.從而 sin 4 + sin 5 =2 sin C .由正弦定理得a+b = 2c（n）由（i）知c二丈上2所以cosC-c=3(b-)- 1一1,2ab2ab8 a b 42當且僅當a二b時，等號成立.故cos C的最小值

5、為-【感悟提升】 關于解三角形問題，一般要用到三角形的內角和定理，正弦、余弦定理及有關三角形的性 質，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統一”，即“統一角、統一函數、統一結構”， 這是使問題獲得解決的突破口.求三角形中的角，關鍵是利用正弦定理或余弦定理求出某角的正弦值或余(2 )由sina +3+Sinacos453，得,3sin iaa+看=-5-n4 工a+E=-5，丁【命題熱點突破正、余弦定理例 2、【2016 高考山東理數】（本小題滿分 12 分）在厶ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2(tanA tanB)=亞吐cosB cosA(I)證明：a+b=2c;

6、（n）求 cosC的最小值.1【答案】（I）見解析；（n）-2【解（I）由題意知2（沁+竺cosAcosBsin AcosA cos Bcos cos 5【解71 =-8n4 . 3+石=-T 則sin曰疋4弦值，再根據角的范圍求出對應的角的大小解題時要注意利用三角形內角和定理，即【答案】23n【解析】cos B2a b- + + 0, cos Ccc ccos B+ 2acos C + bcos C 0,由正弦定理得 sin Ceos B + 2sin Acos C + sin Bcos C = 0, / sin ( B+ C) + 2sin Acos C = sin A + 2sin Ac

7、os C = 0,1 2/ sin A豐0,. cos C = 2，二 C= 3n.【變式探究】在厶 ABC 中，內角 A, B, C 所對的邊分別是 a, b, c,且 csin B = bcos C = 3.(1)求 b;21若厶 ABC 的面積為，求 c.【解析】解：(1)宙正弦走理得sin Csin B sin EcoSC,又sin B=Oj所以sin Ccos C,所以C=45因為bcos C=3,所以b=3yfi.121(2)因為AABC的面積S=acsin且csin B=3 所以My c*=a*+b：-2abcos C=25f所以c=5.【感悟提升】 求解三角形的邊和面積的關鍵是

8、利用正、余弦定理求出相關角度和邊長正弦定理揭示了 三角形三邊和其對角的正弦的比例關系，余弦定理揭示了三角形的三邊和其中一個內角的余弦之間的關 系.正弦定理可以使各邊的比值和各個內角的正弦的比值相互轉化.只要知道了三角形三邊之間的比例關 系即可利用余弦定理求出三角形的內角.【命題熱點突破三】正、余弦定理的實際應用例 3、已知一塊四邊形園地ABCD 中, A= 45, B= 60,C= 105.若 AB= 2m, BC= 1 m，則該四邊形園地 ABCD 的面積等于【答案】6-乜4【解析】如圖所示，連接 AC.根據余弦定理可得 AC3 m，易知 ABC 為直角三角形，且/ ACB= 90,/ BA

9、C= 30，所以/ DAC= 15,/ DCA= 15，故 ADC 為等腰三角形設 AD= DC= x m,根據余弦定理得A+B+C= n.x2+ x2+ 3X2=3,5所以四邊形園地 ABCD 勺面積為 2x1 3 + A 3X(2- .3)X1=2 3+63，3=寧口彳.【感悟提升】 使用正、余弦定理解三角形的關鍵是把求解目標歸入到可解三角形中(可解三角形指符合正弦定理、余弦定理的應用條件，能夠求出三角形各個元素的三角形)，在一些復雜的問題中，需要把求解目標分解到兩個或者更多個可解三角形之中.【變式探究】如圖所示，一學生在河岸緊靠河邊筆直行走，在學生前進方向成 30角，學生前進 200 m

10、 后，測得該參照 物與前進方向成 75角，則河的寬度為()A. 50( 3+ 1)mB. 100( 3 + 1)mC. 50 2 mD. 100 2 m3(1/【答案】A【解析】 在厶 ABC 中，/ BAC= 30,/ ACB= 75 30= 45, AB= 200,由正弦定理得 BC=【命題熱點突破四】正、余弦定理解具有空間結構的三角形綜合問題 例 4、如圖所示，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到30 的方向上，行駛 600 m 后到達 B 處，測得此山頂在西偏北【答案】100 .6A 處時，經觀察，在河對岸有一參照物C 與200Xsin 30sin 45=1002 (m),所以河的

11、寬度為BCsi n75100 , 2X2t;6=50(.3+ 1) ( m)A 處時測得公路北側一山頂D 在西偏北75。的方向上，仰角為 30。，則此山的高度 CD=_m.6【解析】 依題意，在 ABC 中，AB= 600，/ BAC= 30,/ ACB= 75 30= 45 .由正弦定理得7BCARsinZBACTsinZACB 即 sin 30 =sin 45 所以BC= 300富在BCD中，/CBD= 30，CD=BCtanAB/CBD=100 6.8【感悟提升】解三角形與三角函數的綜合題，要優先考慮角的范圍和角之間的關系；對最值或范圍問題, 可以轉化為三角函數的值域來求.【變式探究】如

12、圖所示，為測量山高MN 選擇 A 和另一座山的山頂 C 為測量觀測點從 A 點測得M 點的仰BC=100【解析】 在KtAAEC中0=100, ZCAE=4bS所以曲=100在吐磁 中ZMCA=環所嘆厶4爲由正弦定理有倍r譙原磚翳沖中，有60exl00話=i50=100七，于罡在RtMMN【易錯分析】 對于求解有空間結構的三角形問題，有兩個易錯點：一是方位角的確定；二是選擇合適的三角形，并在相關三角形中進行邊和角的轉換.【高考真題解1.【2016 咼考新課標(A)25【答案】D-32 理數】若cos(-)，則sin2-(45(C) 一5(D)725【解析】cos 2:V4丿=2cos2-. -

13、1=23 1 = - -4525且cos2-：一4cos 2：二sin2：,故選 D._22.【2016 咼考新課標33 理數】若tan二-42，則cos二 2sin 2：=(A)6425(B)4825(C) 1(D)1625【答案】1509角/ MA260, C 點的仰角/ CAB= 45，以及/ MAC= 75，從 C 點測得/ MCA= 60 .已知山高10(A)癥10【答案】C【解析】BC邊上的高為 BC = 3.4Df所AC = AD1+ DC2=y(5ADf込屈 Q.由余弦定理，化嚴=弋說:薔峠C.2.【2016 高考新課標 2 理數】UABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c

14、，若s, cosC521【答案】2113453【解析】因為cos A,cos C,且AC為三角形的內角，所以si nA ,sin C二5135丄丄丄63廠,absin B二sin n一(A C)二sin( A C)二sin AcosC cosAsin C，又 因為65s i rAs Bn,a sin B 21 b.si nA133.【2016 高考天津理數】在厶ABC中，若 AB=13,BC=3, Z C =120 ,則AC=()【答案】A【解45642525，故選 A2n 2ncos sin=8 8 33434得sin ,cos或sin,cos，所以45555- 16 12 cos ：亠2s

15、in2425由tan：3.【2016 年高考四川理數】【解析】 由二倍角公式得2. 2 乂cossin8 8cos421.【2016 高考新課標 3 理數】在ABC中,n1B=上，BC邊上的高等于 -BC,則cosA=(4一1213，11【答案】A【解析】由余弦定理得13=9 AC2- 3AC= AC=1,選 A.(A) 1(B)2(C) 3(D) 4124.【2016 高考江蘇卷】在銳角三角形ABC中，若si nA = 2si n B si nC，則tan Ata nBta nC的最小值是【答案】8.【解析】s i rA =t a+ t asiB(+C=) 2s3n i nBt a n Ct

16、a n B2 t a：又t anA=,因t a nB t aC-1t anA t aB t CnAMBan Gtan At a n B 2 t CT tan A 2 Bt anCnt a ha lAanaB次S ,即最小值為 8.1.【2016 年高考四川理數】（本小題滿分 12 分）cos A cosB sin C在厶ABC中，角ABC所對的邊分別是a,b,c,且- +- =-a b c（I ）證明：sinAsin B二sinC；（II ）若b2c2a2二-bc，求tan B.5【答案】（i）證明詳見解析；（n）4.【解析】I 根據正弓綻理，可設=- = =k(kok sin J sinBs

17、inC則a=ksin b=ksin Bfc=ksin C *sin Asin 6=in Acos B+cos Asin B=sin(A+B),在ABC中，由A+BC=Jl有sinCA+B)=sinCK-C)=sin C；所以sin Asin B=sin C.(n)由已知，b2+c2-a2=6bc,根據余弦定理，有5.222小b+c-a 3cos A=.2bc 5所以 sin A=1 -COS? A=.5由(I) ,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B4所以一 sin B=5代入cos+cos=siDCcos Jsin C變形可得cos B+53sin B513sin

18、 B /故 tan B=4.cosB2.【2016 高考浙江理數】（本題滿分 14 分） 在厶 ABC中，內角A,B, C 所對的邊分別為 a, b,c.已知 b+c=2acos B.（I ）證明：A=2B；2a（II ）若厶 ABC 的面積S=，求角 A 的大小.4TTTT【答案】（I）證明見解析；（II） 或一.24【解析】【I ）由正弦sinB+sinC = 2sin .dcos-S?故2 win J cos 5 = sin 5 + sin f 4 - 5） = winB + sin Jcos .S +cos Jsin .ff、于是sin 月sin（ A BI .XA.；Bs f0TnJ

19、r 55 =A B= A B 因此A-n(舍去)或A=2B所以“A = 2B .故有sin BsinC sin2B =sinBcosB,2因為sin B = 0，所以sin C = cosB.n又B,C0,n ,所以C B.2nn當B C時，A;22nn當C -B時，A r .24綜上，A=衛或A=-.243.【2016 高考山東理數】（本小題滿分 12 分）tan A tan B在厶 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,已知2（ta nA，tanB）=（n）由abs in C214cosB cosA（I）證明：a+b=2c；(n)求 cosC 的最小值.151【答案

20、】（I）見解析；（n）丄2【解析】sin Jsin- * +-cos J cos 5 cos Jcos 5化簡得21 sin -4cos.5 +sinBcos .4）= sinA+ sinB?艮卩2sifi（/ +月）=sinl + HnB.因為A-B+C-7T,所以sin（J + 5） = sin（7TC） = sin C.從而sinrf4 + sin5=2 sinC,由正弦定理得? + & = 2C.（n）由（I）知當且僅當a =b時，等號成立1故cosC的最小值為丄.21.【2015 高考四川，理 12】sin15sin 75二-6【答案】2sin15 +s in 75 =s i

21、n 15 +cos1# = Csi n（15 +45）=【解析】法一、2sin15；sin75 -sin（45；-30、sin（45；30） =2sin 45；cos306法二、2（I） 由題意知2 （巴匕+cosJ所以2cosC =b2- c22ab2 .2/ a b、2a b-（）2 -2abcos53114，最小值為216sin15 sin753亠衛法三、7-：kZf (x ) = sin2x - sin2 x -一【2015 高考天津，理 15】(本小題滿分 13 分)已知函數【解析】(I)由已知,3 .11 .sin2x cos2x sin 12x -4422.【2015 高考浙江，

22、理 11】函數2f (x) = sinxsinxcosx 1的最小正周期是，單調遞減區間【答案】二，+ kTt ,8 8k二【解f(x).沁仁21sin(2xT242，故最小正周期為 二，單調遞減區間為+1 =2(I)求f(x)最小正周期;(II)求f (x)在區間卜騎上的最大值和最小值.【答案】(I)二；(II)f (x)max、31二一f(x)m-3:3. c 1 _cos 2x_二ff(xcos-112、2cos2x運1sin2x cos2x3114，最小值為217所以f(x)的最小正周期2山廠4，所以f(x)在區間34上的最大值為-(II)因為f(x)在區間自上是減函數，在區間卜鳥上是

23、增函數,-P,P18-：3cos2x【答案】(1)單調遞減.【解f(x)(1)1二一sin 2x-2因此(2)2- ,3最小正周期為P,最大值為2；(2),一,f(x)在6 12上單調遞增；f(x)在12 3上2、3sin x sinx-.3cosx =cosxsinx(1 cos2x)22 l丿313,3p(1 + cos2x) = si n2x-cos 2x -= si n(2x-)-222232-.3f(X)的最小正周期為P，最大值為223時,，從而JI0 _2x -32時,即6JI-x 5:12時,f(x)單調遞增,31JI2x -當23時，即122二3時,f(X)單調遞減, 綜上可知

24、，f(x)在612上單調遞增;- ,- f(X)在123上單調遞減.,1_tan二5. 2015 高考上海，理 14】在銳角三角形 厶二C中，2,D為邊二C上的點，“-D與-CD的面積分別為2和4.過D作-巳于上，DF -C于F，則DDF二19f x =sin x |sin x4. 2015 高考重慶，理 18】已知函數2(1 )求f X的最小正周期和最大值;(2)討論f x在_63上的單調性.20-.32兀A二 - B - C 3，又a-3,由正弦定理得sin A sin B即3f（x） = 4COS2-7.【2015 高考湖北，理 12】函數2【答案】216【答案】15【解析】由題意121

25、Lsin A ,COSA ，一 AB AC si nA =2 亠 4 二 AB AC =12 5厲*5 2，又1 AB DE =2,AC2232DF=4=AB DE AC DF =32= DE DF =12書,因為 DEAF 四點共圓,因此DE DFD；. DF =COS(HA)322_12.516156.【2015 高考廣東,理 11】設-ABC的內角C的對邊分別為a,b1sin B =2,7CC6，則b【答案】1.【解析】 因為1SinB石且B 0,二，所以JiB二一66，所以2二 二sin sin6解得b=1,故應填入 1.x) 2sin x |ln(x 1)|的零點個數為-x) -2sin x-|ln(x 1)|f (x) =4cos2-【解析】因為221= 2(1COSx)sinx-2sinx-|ln(x