1、隨機前沿生產函數隨機前沿生產函數1. 生產函數概述2. 隨機前沿生產函數3. SFA與其他方法的比較4. Frontier4.11. 生產函數概述1.1 發展進程1.2 常用生產函數的具體形式 1.1 發展進程 任何生產行為都是在特定的生產技術條件下進行的，這種特定的生產技術關系決定了一個生產過程投入和產出的數量上的對應關系，描述這種對應關系的工具就是生產函數。 從20世紀20年代末,美國經濟學Cobb和Doyglas提出生產函數這一名詞，并用18991922年生產情況資料導出著名的Cobb-Doyglas生產函數以來，不斷有新的研究成果出現。使生產函數的研究與應用呈現常盛不衰的局面。 生產函

2、數研究的主要成果：1928年 Cobb,Doyglas C-D生產函數1937年 Dylaner C-D生產函數的改進1953年 Shephard 距離函數1957年 Solow C-D生產函數的改進1960年 Solow 體現型技術進步生產函數1961年 Arrow等 兩要素CES生產函數1967年 Sato 二級CES生產函數1968年 Sato,Hoffman VES生產函數1968年 Aigner,Chy 確定性前沿生產函數1971年 Christensen,Jorgenson 超越對數生產函數1971年 Diewert 廣義列昂惕夫生產函數1979年 Brown,Caves,Chri

3、stensen 多產出超越對數函數1980年 Greene 最大可能前沿生產函數1.2 常用生產函數的具體形式 把生產函數F(X)具體化，可以得到多種常用生產函數的具體形式。其中較為常用的有柯布道格拉斯生產函數（C-D生產函數）、線性生產函數、列昂惕夫生產函數、固定替代彈性生產函數（CES生產函數）和超越對數生產函數(Translog生產函數).一般常見的函數形式01Nn nnyx01nNnnyx011112NNNn nnm n mnnmyxx x111011112NNNnnmnnmnnmNNnxx xyxxx01111exp(lnlnln)2NNNnnnmnmnnmyxxx1211()NNn

4、mn mnmyx x101()Nnnyx 2. 隨機前沿生產函數2.1 相關理論知識2.2 發展進程2.3 隨機前沿生產函數2.4 估計參量2.5 假設檢驗2.1相關理論知識1.1.生產率（生產率（ProductivityProductivity）：是指廠商所生產的產出與所需投入的比值。當生產過程只有單投入、單產出的時候，計算是相當簡單的。當投入多于一個時，為了獲得生產率，必須將這些多投入匯成一個單一的指數。當我們提及生產率的時候，生產率就是指全要素生產率 (Total Factor Productivity)，它是一種包括所有生產要素的生產率測量。2.2.技術效率（技術效率（Technica

5、l EfficiencyTechnical Efficiency）：）：首先由Farrell（1957）提出的，具體定義如下:產出規模不變以及市場價格不變的條件下，按照既定的要素投入比例，生產一定量產品所需的最小成本與實際成本的百分比 。當技術效率等于1時我們稱之為技術有效。3.3.生產前沿面（生產前沿面（Production FrontierProduction Frontier）：表示的是對于不同水平的投入可以獲得的最大產出水平。也稱生產邊界，它可以用來定義投入和產出的關系。4.4.規模效率規模效率(Scale Efficiency):(Scale Efficiency):是指資源投入規模

6、對生產效能的影響，即衡量企業是否能夠得當的要素投入比例。5.5.配置效率（配置效率（Allocative EfficiencyAllocative Efficiency）：）：反映了一個公司合理劃分投入成份，并合理安排對應價格和生產技術的能力。2.2 發展進程 20世紀20年代，美國經濟學家道格拉斯（PDouglas）與數學家柯布（CCobb）合作提出了生產函數理論，開始了生產率在經濟增長中作用的定量研究。 1957年，美國經濟學家羅伯特索洛（RSolow）在經濟學與統計學評論上發表了技術變化與總量生產函數一文，第一次將技術進步因素納入經濟增長模型。在定量研究中，索洛將人均產出增長扣除資本集約

7、程度增長后的未被解釋部分歸為技術進步的結果稱其為技術進步率，這些未被解釋的部分后來被稱為“增長余值”（或“索洛值”），也即為全要素生產率（TFP）的增長率。 1977年，Aigner，Lovell，Schmidt和Meeusen，Van den Broeck分別獨立提出了隨機前沿生產函數，之后逐漸發展起來的隨機前沿生產函數法則允許技術無效率的存在，并將全要素生產率的變化分解為生產可能性邊界的移動和技術效率的變化，這種方法比傳統的生產函數法更接近于生產和經濟增長的實際情況。能夠將影響TFP的因素從TFP的變化率中分離出來，從而更加深入地研究經濟增長的根源。 利用隨機前沿生產函數法，Schmidt

8、（1980， 1986）、Kumbhakar（1988，1990）、Bauer（1990）、Kalirajan（1993）、Batese和Coelli（1988，1992，1995）等對技術效率對TFP和產出的影響做了大量的實證研究。2.3 隨機前沿生產函數 傳統的生產函數只反映樣本各投入因素與平均產出之間的關系, 稱之為平均生產函數。測算全要素生產率的傳統方法是索洛余值法(SRA) ,其關鍵是假定所有生產者都能實現最優的生產效率,從而將產出增長中要素投入貢獻以外的部分全部歸結為技術進步( technological progress) 的結果,這部分索洛剩余后來被稱為全要素生產率。 但是19

9、57年,Farrell 在研究生產有效性問題時開創性地提出了前沿生產函數(Frontier Prodution Function)的概念。對既定的投入因素進行最佳組合, 計算所能達到的最優產出, 類似于經濟學中所說的“帕累托最優”, 我們稱之為前沿面。 前沿生產函數(Frontier Prodution Function)反映了在具體的技術條件和給定生產要素的組合下, 企業各投入組合與最大產出量之間的函數關系。通過比較各企業實際產出與理想最優產出之間的差距可以反映出企業的綜合效率。 前沿生產函數的研究方法有: 參數方法和非參方法。兩者都可以用來測量效率水平。 參數方法沿襲了傳統生產函數的估計思

10、想, 主要運用最小二乘法或極大似然估計法進行計算。參數方法首先確定或自行構造一個具體的函數形式, 然后基于該函數形式對函數中各參數進行計算。 而非參數方法首先根據投入和產出, 構造出一個包含所有生產方式的最小生產可能性集合, 其中非參數方法的有效性是指以一定的投入生產出最大產出, 或以最小的投入生產出一定的產出。 但非參數方法存在的最大局限是: 該方法主要運用線性規劃方法進行計算, 而不像參數方法有統計檢驗數作為樣本擬合度和統計性質的參考; 另外, 非參數方法對觀測數有一定的限制, 有時不得不舍棄一些樣本值, 這樣就影響了觀測結果的穩定性。因此, 我們在這里選擇參數方法進行前沿生產函數的計算。

11、 在參數型前沿生產函數的研究中, 圍繞誤差項的確立, 又分為隨機性和確定性兩種方法。 首先, 確定性前沿生產函數不考慮隨機因素的影響, 直接采用線性規劃方法計算前沿面, 確定性前沿生產函數把影響最優產出和平均產出的全部誤差統歸入單側的一個誤差項中, 并將其稱為生產非效率。確定性前沿生產函數模型如下： 其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和之間，反映了生產函數的非效率程度，也就是實際產出與最大產出的距離。在確定了生產函數的具體形式后，可以計算或估計其參數。 Y()exp()f Xu 隨機前沿生產函數(Stochastic Frontier Production Function)在確定性生

12、產函數的基礎上提出了具有復合擾動項的隨機邊界模型。 其主要思想為隨機擾動項應由v 和u 組成, 其中v 是隨機誤差項, 是企業不能控制的影響因素, 具有隨機性, 用以計算系統非效率; u是技術損失誤差項, 是企業可以控制的影響因素, 可用來計算技術非效率。很明顯, 參數型隨機前沿生產函數體現了樣本的統計特性, 也反映了樣本計算的真實性。 Aigner，Lovell和Schmidt(1977)以及Meeusen和Broeck(1977)都分別提出了如下形式的隨機前沿面生產函數： (1) 式中， 代表第i家公司的產出； 是包含投入對 數的K*1向量；是待估參數的列向量； 是與 技術無效率相關的非負

13、隨機變量； 為觀測誤差 及其他隨機因素lniiiiqxv u iqixiuiv 由式（1）確定的模式被稱為隨機前面生產函數，產出值的上界是隨機變量 。,隨機誤差 可以是正值也可以是負值，因此隨機前沿面的產出對于前沿面模型的確定部分, 是有偏差的。隨機前沿面模型的這些重要特點可以通過圖示說明。為了方便說明，首先要限定只有唯一的投入 獲得產出 。在這個前提下的科布道格拉斯隨機前沿生產函數如下exp()iixvivexp()ixixiq01lnlniiiiqxvu01exp(ln)iiiiqxvu 01exp(ln ) exp( ) exp( )iiiiqxvu確定部分確定部分噪聲噪聲無效率無效率

14、圖1表示的就是這樣一個前沿生產函數，其中表示了兩個公司A和B的投入和產出，同時也圖示了隨機前沿生產函數模型的確定成分，由此來反映其規模報酬遞減的特性。橫軸表示投入，縱軸表示產出值。公司A在投入水平 的下得到產出 。而公司B在投入水平 下得到產出 。如果沒有技術無效率效應（例如如果 和 都等于0），則A和B兩個公司的前沿生產函數產出分別為：AxAqBxBqAuBu*01exp(ln)AAAqxv*01exp(ln)BBBqxv噪聲影響無效率影響噪聲影響無效率影響0YX確定性前沿面確定性前沿面01exp(ln)BBBBqxvuXAXB01exp(ln)AAAAqxvu*01exp(ln)BBBqx

15、v*01exp(ln)AAAqxv01exp(ln )iiqx 從圖1中可以很清楚的看到，公司A前沿面產出在生產前沿面的確定值的上方，這是因為噪聲效應為正值，而公司B的前沿面產出在生產前沿面得確定值的下方，因為噪聲效應為負值。同樣可以看到，公司A的觀測產出在前沿面得確定值的下方，這是因為噪聲效應和技術無效率效應的總和為負值。 這個前沿面模型的特點可以推廣到公司具有多個投入的情形。特別是（未觀測的）前沿面產出均勻分布在前沿面確定部分的上方和下方。技術效率可以用計算觀測產出與相應的隨機前沿面產出的比值： 按照這種方法的技術效率取值為01.很明顯可以看出，技術效率預測的第一步是估計隨機前沿生產函數的

16、參數。exp()exp()exp()exp()iiiiiiiiiiqxvuTEuxvxv2.4估計參量 通常假設每個 與 互相獨立分布，并且這兩種誤差與 中的解釋變量是不相關的。此外： （期望為0） （同方差） （不相關） （c為常數，同方差） （不相關）( ) 0iEv iviuix22( )ivEv2( )iEuc() 0ijEuuij() 0i jEvvij 基于這些假設，可以使用最大似然法（ML）或者修正的普通最小二乘法（COLS）估計參數和隨機變量，進而得到技術效率 ,由于最大似然估計量具有很大令人滿意的大樣本特征（例如漸進性），它通常要優于其他估計，如COLS。iTE1.正態半正態

17、模型的ML估計 Aigner、Lovell和Schmidt(1977)基于以下假設得到了最大似然估計： （1） （2） 式1表明 是獨立同分布（independently and identically distributed）的正態隨機變量，服從期望為0,方差為 。式2表明 是獨立同分布的半正態隨機變量，服從參數為 。2(0,)ivviidN2(0,)iuuiidNiv2(0,)ivviidNiu2(0,)iuuiidN其中令 且 。如果 ，則不會有技術無效率效應，并且所有與前沿面的偏差都是由噪聲造成的。利用這種參數定義法，對數似然函數為 式中， 是復合誤差； 是標準正態分布變量在x評價的累

18、積分布函數。 最后對似然函數求最大值，通常要對未知參量求一階倒數，然后把它們設定為0。222vu222/0uv 0221121lnlnlnln ()22IIiiiiILI lniiiiiv uqx () x 但是在上式的條件下，由于這些一階條件是高度非線性的，并且不能得出，和的解析解。因此必須利用逐步迭代最優化的方法來求似然函數的最大值。這一過程包括為未知參量選取起始值和系統地修正它們，直到給出參數 ， ， 的ML估計以及技術效率的估計。詳細過程如下uv2.其他模型利用以下形式來替代式（2）中的半正態假設也很常見： （截斷的正態分布） （期望為的指數分布） （期望為，自由度為m的 伽馬分布）

19、截斷的正態分布前沿面模型是Stevenson(1980)提出的，而伽馬分布是Greene(1990)提出的。這些模型同樣需要逐步最優化來求最大值。 2( ,)iuuiidN( ,0)iuiidG( , )iuiidGm2.5 假設檢驗 在建立模型過程中，要對模型參數以及模型的各種假定條件作檢驗和判斷，常用的檢驗方法主要有：t檢驗、F檢驗、Wald檢驗、似然比（LR）檢驗、拉格朗日乘子（LM）檢驗等。t檢驗: 如果誤差服從正態分布，或者當樣本容量很大時，能夠使用t檢測來對單一的系數進行假設檢驗。令 是向量的第k個分量，c是一個已知常數。k 對于原假設 與備選假設 使用如下檢測統計進行檢驗： 式中

20、， 是 的估計值； 是標準差的估計。因此，如果檢測統計的絕對值大于臨界值 時，在顯著性為100下舍棄 ；如果備選假設是 ，當t統計量的值小于 時則舍棄 ；如果備選假設是 ，當t統計量的值大于 時則舍棄 。 0:kHc1:kHc ()( )kkbctt IKse bkbk( )kseb1/2()tI K0H1:kHc()t I K0H1:kHc()t I K0H3. SFA與其他方法的比較 生產率和效率的度量一般使用DEA和SFA（Stochastic Frontier AnalysisStochastic Frontier Analysis）方法（指數方法一般需要價格數據，其度量結果不僅與生產

21、經營有關，還與外部市場環境有關）。對度量結果，還需分析原始數據誤差、環境因素、管理決策效率、長期最優化、以利企業找出差距，增強其核心競爭力。 以下表格是對指數方法、DEA、SFA三種方法的比較：SFA與DEA的比較 DEA方法數值計算簡單，并且當不知道投入與產出的代數關系時，DEA方法依然能夠應用（也就是說，無論產出與投入的關系時線性關系，二次關系，指數關系或者其他的函數關系，都能夠估計前沿面）。當假設投入和產出具有一定的函數關系時，前沿面估計可以采用隨機前沿分析（SFA），當函數形式確定了，需要進一步使用計量經濟學的方法確定函數的參量，這使得SFA比DEA需要更多的計算。然而，SFA具有兩個

22、明顯的優勢使得額外的計算負擔也是值得的。第一：SFA方法具有統計特性，可以對模型中參數進行檢驗（t檢驗），還可以對模型本身進行檢驗（LR檢驗）；而DEA方法不具有這一統計特性；第二：SFA方法可以建立隨機前沿模型，使得前沿面本身是隨機的，這對于跨時期的面板數據研究而言，其結論更加接近于現實。而DEA方法的前沿面是固定的，忽略了樣本之間的差異性，沒能考慮統計噪聲（例如從生產模型中忽略了相關變量所帶來的結果）使得研究結論不及SFA方法更加接近現實。 但是SFA參數方法往往只處理單輸出的情況，而對于多輸入多輸出的經濟系統處理起來則十分復雜，對于無效單元，參數方法僅僅能說明無效程度即效率大小，而DEA

23、在這點比它具有優越性。4. Frontier 4.1 FRONTIER是一個最簡單常用的隨機前沿分析估計的計算機程序包（Coelli,1996a）FRONTIER計算機程序與DEAP計算機程序的構造非常相似。它提供了大量隨機前沿面和成本函數的最大似然估計。考慮的隨機前沿面模型可以適應面板數據，并假定公司的效應為截斷正態隨機變量分布。程序也可以適用于橫截面數據和面板數據，時變無效率和時不變無效率效應，成本函數和生產函數，半正態分布和截斷正態分布，以及以對數或原單位的相關變量的函數形式。 Frontier4.1簡介 程序解包后，最主要的是4個文件：Front41.exe, Front41.000,

24、 Front41.for, Front41.eer。這是程序運行所必須的。程序還附帶了有一個例子，原數據文件是Eg1.xls。Front41進行一次運算需要有數據文件、命令文件和輸出文件，當然，輸出文件是程序自動生成的。但我們必須在程序文件中指定輸出文件名。 現在我們首先介紹一下數據文件。用記事本打開EG1-dta.txt，會發現這是一個純文本文件。數據文件的格式必須是3+k+p列，并且是按照以下順序 1） 評價體系的序號i DMU （1-N）2） 期數t（1-T）3） 因變量4） 自變量3+k） 3+k+1） 3+k+p） 注：z只在假定模型中 服從 ，（其中 ， 是影響公司效率的p1的向量。 是被估計的1p的參數向量）時使用。itYitX1itxkitz1itzpitU),(2UitmNititzm itz 對于N個評價體系中，每一個必須有一條記錄，對于第1期和第T期，至少要有一條記錄。如果您用的是單一的橫截面數據，那么這一列（即第二列）全賦值為1。 數據文件中不能包含變量名，但是您可以從excel中直接復制過去，得到帶tab制表符的數據。命令文件： 程序有兩種方式接受命令，在運行程序后會讓你首先選擇。如果選t，即直接輸入命令，選f則是從命令文件