1、2.2.12.2.1橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程如何精確地設計、制作、建造出現實生活中這些橢圓形的如何精確地設計、制作、建造出現實生活中這些橢圓形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的橢橢圓圓一一橢圓的畫法橢圓的畫法F1F21、橢圓的定義：、橢圓的定義： 平面內到平面內到兩兩個定點個定點F1、F2的距離之的距離之和和等于等于常常數數（大于（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做）的點的軌跡叫做橢圓橢圓。 這兩個定點叫做橢圓的這兩個定點叫做橢圓的焦點焦點，兩焦點間的距離，兩焦點間的距離叫做橢圓的叫做橢圓的焦距焦距。1F2FM幾點說明：幾點說明：1、F1、F2是是兩個不同的定點兩個不同的定點；2、M是橢

2、圓上任意一點是橢圓上任意一點，且，且|MF|MF1 1| + |MF| + |MF2 2| = | = 常數常數；3、通常這個通常這個常數常數記為記為2a，焦距焦距記為記為2c，且，且2a2c（？）；（？）；4、如果如果2a = 2c，則，則M點的點的軌跡是線段軌跡是線段F1F2.5、如果如果2a 2c)的動的動點點M的軌跡方程。的軌跡方程。 解：以解：以F1F2所在直線為所在直線為X軸，軸， F1F2 的中的中點為原點建立平面直角坐標系，則焦點點為原點建立平面直角坐標系，則焦點F1、F2的坐標分別為的坐標分別為(-c,0)、 (c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y) 設設M（x,y)為所

3、求軌跡上的任意一點，為所求軌跡上的任意一點，則則:|MF1|+ |MF2|=2aaycxycx2)()(:2222即OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊平方得：兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因為因為2a2c，即，即ac，所以，所以a2-c20，令，令a2-c2=b2，其中，其中b0，代入上式可得：，代入上式可得：12222byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)( :ycxycxaaycx兩邊平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y

4、2=a2b2兩邊同時除以兩邊同時除以a2b2得：得：(ab0)這個方程叫做這個方程叫做橢圓的標準方程，橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的它所表示的橢圓的焦點在焦點在x 軸上。軸上。OXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0 , c)0( 12222babyax)0( 12222babxay橢圓的標準方程的再認識：（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標準方程中三個參數）橢圓的標準方程中三個參數a、b、c滿足滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數）由橢圓的標準方程可

5、以求出三個參數a、b、c的值。的值。（4）橢圓的標準方程中，）橢圓的標準方程中，x2與與y2的分母哪一個大，則焦點在的分母哪一個大，則焦點在 哪一個軸上。哪一個軸上。橢圓的標準方程橢圓的標準方程0 12222babyax 1 12 2yoFFMxy xoF2F1M0 12222babxay定定 義義圖圖 形形方方 程程焦焦 點點F(F(c c，0)0)F(0F(0，c)c)a,b,c之間之間的關系的關系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2|MF1|+|MF2|=2a小小 結：結：注意：注意：（3）若）若a2在在 x2之下，則焦點在之下，則焦點在x軸上；軸上；若若a2在在y2之之下，則焦點在

6、下，則焦點在y軸上軸上.（2）a、b、c有關系式：有關系式：c2=a2-b2，即，即a2=b2+c2，a最大最大.（1）在兩種方程中，總有）在兩種方程中，總有ab0;1162522yx例例1、填空：、填空：(1)已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，則，則a=_，b=_，c=_，焦點坐標，焦點坐標為：為：_焦距等于焦距等于_;若若CD為過為過左焦點左焦點F1的弦，則的弦，則F2CD的周長為的周長為_543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD例題講解例題講解15422yx(2)已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，則，則a=_，b=_，c=_，焦點坐，焦點坐標為：標為：_焦距等于焦距等

7、于_;曲曲線上一點線上一點P到左焦點到左焦點F1的距離為的距離為3，則點，則點P到到另一個焦點另一個焦點F2的距離等于的距離等于_，則，則F1PF2的周長為的周長為_21(0,-1)、(0,1)25352252例例2、求滿足下列條件的橢圓的標準方程：、求滿足下列條件的橢圓的標準方程：（1）滿足）滿足a=4,b=1，焦點在，焦點在X軸上的橢圓軸上的橢圓的標準方程為的標準方程為_ （2）滿足）滿足a=4,c= ，焦點在，焦點在Y軸上的橢圓軸上的橢圓的標準方程為的標準方程為_1511622yx11622 xy例例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程：求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）兩個焦點的坐標

8、分別是（）兩個焦點的坐標分別是（4，0）、（）、（4，0），），橢圓上的一點橢圓上的一點P到兩焦點距離的和等于到兩焦點距離的和等于10；解：解： 橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上 設它的標準方程為設它的標準方程為 所求的橢圓的標準方程為所求的橢圓的標準方程為22221(0)xya bab 2a=10， 2c=8 a=5， c=422222549bac 221259xy（2）兩個焦點的坐標分別是（）兩個焦點的坐標分別是（0，2）、（）、（0，2），），并且橢圓經過點并且橢圓經過點解：解： 橢圓的焦點在橢圓的焦點在y軸上，軸上，由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，例例1 求適合下列條件的橢圓的標準方

9、程：求適合下列條件的橢圓的標準方程：35,22 設它的標準方程為設它的標準方程為22221(0)yxabab222235352222222a2 1010a 又又 c=222210 4 6bac 所求的橢圓的標準方程為所求的橢圓的標準方程為221106yx例例2 已知已知B、C是兩個定點，是兩個定點，|BC|=6，且，且ABC的的周長等于周長等于16，求頂點，求頂點A的軌跡方程。的軌跡方程。 分析：在解析幾何里，求符合某種條件的點的軌分析：在解析幾何里，求符合某種條件的點的軌跡方程，要建立適當的坐標系。為選擇適當的坐標系，跡方程，要建立適當的坐標系。為選擇適當的坐標系，常常需要畫出草圖。常常需要

10、畫出草圖。 解：建立如圖坐標系，使解：建立如圖坐標系，使x軸經過點軸經過點B、C，原點，原點O與與BC的中點重合。的中點重合。|BC|=6 ，|AB|+|AC|=166=10， 但當點但當點A在直線在直線BC上，即上，即y=0時，時，A、B、C三點不能三點不能構成三角形，所以點構成三角形，所以點A的軌跡方程是的軌跡方程是:所以點所以點A的軌跡是橢圓，的軌跡是橢圓，OXYBCA經畫圖分析，點經畫圖分析，點A的軌跡是橢圓。的軌跡是橢圓。2c=6， 2a=16-6=10，c=3，a=5,222225 3 16.ba c 221.2516xy(0).y 例例3: 如圖，已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑

11、為如圖，已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點，從這個圓上任意一點P向向x軸作垂線段軸作垂線段PP中點中點M的的軌跡。軌跡。 解：設M(x,y), P(x0,y0)00：,.2yxxy于是00（ ,)Pxy22由于在x +y =4上,2200所以x +y =4.00,2xxyy2200把代入x +y =4中,得x22+4y =4,4x22即:+y =1,所以所以M點的軌跡是一個橢圓。點的軌跡是一個橢圓。例例3：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲線是表示的曲線是焦點在焦點在y軸上的橢圓，求軸上的橢圓，求k的取值范圍。的取值范圍。解：解：由由 4x2+ky2=1,可得可得2

12、21114xyk 因為因為方程表示的曲線是焦點在方程表示的曲線是焦點在y軸上軸上的橢圓，所以的橢圓，所以11k4即：即：0k4所以所以k的取值范圍為的取值范圍為0k4。例例4 4、化簡：、化簡：10)3()3(2222yxyxOXYF1F2M(0,-3)(0 , 3)(x,y)答案：答案：1162522xy|MF1|+ |MF2|=10分析：點分析：點M(x,y)到兩到兩定點定點(0,-3)、(0,3)的距的距離之和為定值離之和為定值10。例例5：動點：動點P到兩定點到兩定點F1(-4,0)，F2(4,0)的距離的距離之和為之和為8，則動點，則動點P的軌跡為的軌跡為-（ ） A.橢圓橢圓 B.

13、線段線段F1F2 C.直線直線F1F2 D.不能確定不能確定B 平面內兩個定點的距離是平面內兩個定點的距離是8，寫出到這兩個定點距，寫出到這兩個定點距離之和是離之和是10的點的軌跡方程的點的軌跡方程解：解： 這個軌跡是一個橢圓。兩個定點是焦點，用這個軌跡是一個橢圓。兩個定點是焦點，用F1、F2表示，取過點表示，取過點F1、F2的直線為的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系軸，建立直角坐標系.因此這個橢圓的標準方程是：因此這個橢圓的標準方程是： 1925 135222222yxyx即 若焦點在若焦點在y軸上，這個橢圓的標準方程為：軸上，這個橢圓的標準方程為：