1、運動型問題【題型特征】 用運動的觀點來探究幾何圖形變化規律的問題稱為運動型問題,此類問題的顯著特點是圖形中的某個元素(如點、線段、角等)或整個幾何圖形按某種規律運動,圖形的各個元素在運動變化的過程中互相依存、和諧統一,體現了數學中“變”與“不變”、 “一般”與“特殊”的辯證思想,滲透了分類討論、轉化化歸、數形結合、函數方程等重要的數學思想,綜合性較強.運動型試題主要類型:(1)點的運動(單點運動、雙點運動);(2)線的運動(線段或直線的運動);(3)形的運動(三角形運動、四邊形運動、圓的運動等).【解題策略】 解決運動型試題需要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形,把握圖形運動與變化的全過程,抓

2、住其中的等量關系和變量關系,并特別關注一些不變量和不變關系或特殊關系.解決點動型問題,一是要搞清在點運動變化的過程中,哪些圖形(如線段、三角形等)隨之運動變化,并在點運動在相對靜止的瞬間,尋找變量的關系.二是要運用好相應的幾何知識.三是要結合具體問題,建立函數模型,達到解題目的.線動實質就是點動,即點動帶動線動,進而還會產生面動,因而線動型幾何問題可以通過轉化成點動型問題來求解.解決線動類問題的關鍵是要把握圖形運動與變化的全過程,抓住其中的等量關系和變量關系.從運動變化得到圖形的特殊位置,進而探索出一般的結論或者從中獲得解題啟示.解決形動類問題,一是要抓住幾何圖形在運動過程中形狀和大小都不改變

3、這一特性,充分利用不變量來解決問題;二是要運用特殊到一般的關系,探究圖形運動變化過程中的不同階段;三是要運用類比轉化的方法探究相同運動狀態下的共同性質,這種方法能夠使得問題解決的過程更加簡捷,結論更加準確.類型一點的運動典例1(2015·江西)如圖(1),ab是o的直徑,點c在ab的延長線上,ab=4,bc=2,p是o上半部分的一個動點,連接op,cp.(1)求opc的最大面積;(2)求ocp的最大度數;(3)如圖(2),延長po交o于點d,連接db,當cp=db時,求證:cp是o的切線.(1)(2)【全解】 (1)ab=4,ob=2,oc=ob+bc=4.在opc中,設oc邊上的高

4、為h,當h最大時,sopc取得最大值.觀察圖形,當opoc時,h最大,如圖(1)所示:(1)此時h=半徑=2,sopc=22=4.opc的最大面積為4.(2)當pc與o相切時,ocp最大.如圖(2)所示:(2)ocp=30°.ocp的最大度數為30°.(3)如圖(3),連接ap,bp.(3)a=d=apd=abd.ad=pb,ap=bd.ap=bd.cp=db,ap=cp.a=c.a=d=apd=abd=c.在odb與bpc中,odbbpc(sas).d=bpc.pd是直徑,dbp=90°.d+bpd=90°.bpc+bpd=90°.dppc.

5、dp經過圓心,pc是o的切線.【技法梳理】 本題是一道單質點的運動問題.考查了全等三角形的判定和性質,切線的判定和性質,作出輔助線構建直角三角形是解題的關鍵.(1)在opc中,底邊oc長度固定,因此只要oc邊上高最大,則opc的面積最大;觀察圖形,當opoc時滿足要求;(2)pc與o相切時,ocp的度數最大,根據切線的性質即可求得;(3)連接ap,bp通過odbbpc可求得dppc,從而求得pc是o的切線.舉一反三1. (2015·黑龍江牡丹江)如圖,在rtabc中,acb=90°,ac=8,bc=6,cdab于點d.點p從點d出發,沿線段dc向點c運動,點q從點c出發,沿

6、線段ca向點a運動,兩點同時出發,速度都為每秒1個單位長度,當點p運動到c時,兩點都停止.設運動時間為t秒.(1)求線段cd的長.(2)設cpq的面積為s,求s與t之間的函數表達式,并確定在運動過程中是否存在某一時刻t,使得scpqsabc=9100?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.(3)當t為何值時,cpq為等腰三角形?(第1題)【小結】 解題要點是(1)明確動點的運動過程;(2)明確運動過程中,各組成線段、三角形之間的關系;(3)運用分類討論的數學思想,避免漏解.類型二線的運動典例2(2015·廣東)如圖,在abc中,ab=ac,adbc于點d,bc=10cm,ad=8c

7、m.點p從點b出發,在線段bc上以每秒3cm的速度向點c勻速運動,與此同時,垂直于ad的直線m從底邊bc出發,以每秒2cm的速度沿da方向勻速平移,分別交ab,ac,ad于點e,f,h,當點p到達點c時,點p與直線m同時停止運動,設運動時間為t秒(t>0).備用圖(1)當t=2時,連接de,df,求證:四邊形aedf為菱形.(2)在整個運動過程中,所形成的pef的面積存在最大值,當pef的面積最大時,求線段bp的長.(3)是否存在某一時刻t,使pef為直角三角形?若存在,請求出此時刻t的值;若不存在,請說明理由.【解析】 (1)如圖(1)所示,利用菱形的定義證明;(2)如圖(2)所示,首

8、先求出pef的面積的表達式,然后利用二次函數的性質求解;(3)如圖(3)(4)(5)所示,分三種情形,需要分類討論,分別求解.【全解】 (1)當t=2時,dh=ah=4,則h為ad的中點,如圖(1)所示.(1)efad,ef為ad的垂直平分線.ae=de,af=df.ab=ac,adbc于點d,adbc,b=c.efbc.aef=b,afe=c.aef=afe.ae=af.ae=af=de=df,即四邊形aedf為菱形.(2)如圖(2)所示,由(1)知efbc,(2)當t=2秒時,spef存在最大值,最大值為10,此時bp=3t=6.(3)存在.理由如下:若點e為直角頂點,如圖(3)所示,(3

9、)此時pead,pe=dh=2t,bp=3t.pead,此比例式不成立,故此種情形不存在.若點f為直角頂點,如圖(4)所示,(4)此時pfad,pf=dh=2t,bp=3t,cp=10-3t.pfad,.若點p為直角頂點,如圖(5)所示.(5)過點e作embc于點m,過點f作fnbc于點n,則em=fn=dh=2t,emfnad.emad,【技法梳理】 這是一道“線平移型”動態問題,涉及動點與動線兩種運動類型.第(1)問考查了菱形的定義;第(2)問考查了相似三角形、圖形面積及二次函數的極值;第(3)問考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知識點,重點考查了分類討論的數學思想.舉一反三2. (20

10、15·湖南衡陽)如圖,直線ab與x軸相交于點a(-4,0),與y軸相交于點b(0,3),點p從點a出發,以每秒1個單位長度的速度沿直線ab向點b移動.同時,將直線以每秒0.6個單位長度的速度向上平移,交oa于點c,交ob于點d,設運動時間為t(0<t<5)秒.(1)證明:在運動過程中,四邊形acdp總是平行四邊形;(2)當t取何值時,四邊形acdp為菱形?請指出此時以點d為圓心、od長為半徑的圓與直線ab的位置關系并說明理由.(第2題)【小結】 這是一道“線運動型”的動態幾何問題,線段的運動往往帶動的是一個圖形大小的變化(如三角形、平行四邊形等),問題常以求圖形面積的最值

11、,或者探究運動過程中是否存在某一特殊位置的形式出現.解決此類問題時,一是要選擇適當的求圖形面積的方法.若是規則圖形,可以直接選擇面積公式計算;若是不規則圖形,一般情況下選擇割補法,通過“割補”將不規則圖形轉化為規則圖形解決;二是要根據線段的運動變化過程,探究其他圖形的運動變化規律.有效的方法就是畫出線段變化過程中的幾個不同位置的圖形,確定線段運動變化的不同階段,從而判斷隨之而動的其他圖形的一般位置和特殊位置.類型三面的運動典例3(2015·甘肅天水)如圖(1),在平面直角坐標系中,點a(0,-6),點b(6,0).rtcde中,cde=90°,cd=4,de=43,直角邊c

12、d在y軸上,且點c與點a重合.rtcde沿y軸正方向平行移動,當點c運動到點o時停止運動.解答下列問題:(1)如圖(2),當rtcde運動到點d與點o重合時,設ce交ab于點m,求bme的度數.(2)如圖(3),在rtcde的運動過程中,當ce經過點b時,求bc的長.(3)在rtcde的運動過程中,設ac=h,oab與cde的重疊部分的面積為s,請寫出s與h之間的函數表達式,并求出面積s的最大值.(1)(2)(3)【全解】 (1)如圖(1),(1)在平面直角坐標系中,點a(0,-6),點b(6,0).oa=ob.oab=45°.cde=90°,cd=4,de=43,oce=

13、60°.cma=oce-oab=60°-45°=15°.bme=cma=15°.(2)如圖(2),(2)cde=90°,cd=4,de=43,obc=dec=30°.ob=6,bc=43.(3)h2時,如圖(3),作mny軸交y軸于點n,作mfde交de于點f,且oe交ab于點k.(3)cd=4,de=43,ac=h,an=nm,cn=4-fm,an=mn=4+h-fm.cmnced,【技法梳理】 本題是一道面平移型動態問題.綜合運用了相似三角形的判定與性質、解直角三角形、以及三角形外角定理,難度較大.對于第(3)題這類有關

14、于動態問題,需要分類討論,以防漏解有一定的難度.(1)如圖(1),由對頂角的定義知,bme=cma,所以欲求bme的度數,需求cma的度數.根據三角形外角定理進行解答即可;(2)如圖(2),通過解直角boc來求bc的長度;(3)需要分類討論:h2時,如圖(4),作mny軸交y軸于點n,作mfde交de于點f,s=sedc-sefm;當h2時,如圖(3),s=sobc.舉一反三3. (2015·福建三明)如圖(1),在rtabc中,acb=90°,ab=10,bc=6,扇形紙片doe的頂點o與邊ab的中點重合,od交bc于點f,oe經過點c,且doe=b.(1)證明cof是等

15、腰三角形,并求出cf的長;(2)將扇形紙片doe繞點o逆時針旋轉,od,oe與邊ac分別交于點m,n(如圖(2),當cm的長是多少時,omn與bco相似?(1)(2)備用圖(第3題)【小結】 解決運動型問題時,一是要搞清運動變化的過程中,哪些圖形(如線段、三角形等)不改變、那些圖形隨之變化,即確定運動變化過程中圖形中的變與不變,充分利用不變量來解決問題;二是要運用好相應的幾何知識;三是要結合具體問題,建立函數模型,達到解題目的.對于幾何圖形的運動的動態幾何題,一是要抓住幾何圖形在運動過程中形狀和大小都不改變這一特性;二是要運用特殊與一般的關系,探究圖形運動變化過程中的不同階段;三是要運用類比轉

16、化的方法探究相同運動狀態下的共同性質,這種方法能夠使得問題解決的過程更加簡潔,結論更加準確.類型一1. (2015·貴州貴陽)如圖,在rtabc中,bac=90°,ab=ac=16cm,ad為bc邊上的高.動點p從點a出發,沿ad方向以2cm/s的速度向點d運動.設abp的面積為s1,矩形pdfe的面積為s2,運動時間為t秒(0<t<8),則t=秒時,s1=2s2. (第1題)(第2題) 類型二3. (2015·湖南懷化)如圖(1),在平面直角坐標系中,ab=ob=8,abo=90°,yoc=45°,射線oc以每

17、秒2個單位長度的速度向右平行移動,當射線oc經過點b時停止運動,設平行移動x秒后,射線oc掃過rtabo的面積為y.(1)求y與x之間的函數表達式;(2)當x=3秒時,射線oc平行移動到o'c',與oa相交于點g,如圖(2),求經過g,o,b三點的拋物線的表達式;(3)現有一動點p在(2)中的拋物線上,試問點p在運動過程中,是否存在三角形pob的面積s=8的情況?若存在,求出點p的坐標,若不存在,請說明理由.(1)(2)(第3題)4. (2015·江蘇連云港)在一次科技活動中,小明進行了模擬雷達雪描實驗.如圖,表盤是abc,其中ab=ac,bac=120°,

18、在點a處有一束紅外光線ap,從ab開始,繞點a逆時針勻速旋轉,每秒鐘旋轉15°,到達ac后立即以相同的旋轉速度返回a,b,到達后立即重復上述旋轉過程.小明通過實驗發現,光線從ab處開始旋轉計時,旋轉1秒,時光線ap交bc于點m,bm的長為(203-20)cm.(1)求ab的長.(2)從ab處旋轉開始計時,若旋轉6秒,此時ap與bc邊交點在什么位置?若旋轉2015秒,此時ap與bc邊交點在什么位置?并說明理由.(第4題)類型三5. (2015·湖南益陽)如圖,在平面直角坐標系xoy中,半徑為2的p的圓心p的坐標為(-3,0),將p沿x軸正方向平移,使p與y軸相切,則平移的距離

19、為().(第5題)a. 1b. 1或5c. 3d. 5 6. (2015·黑龍江黑河)在等腰直角三角形abc中,bac=90°,ab=ac,直線mn過點a且mnbc,過點b為一銳角頂點作rtbde,bde=90°,且點d在直線mn上(不與點a重合),如圖(1),de與ac交于點p,易證:bd=dp.(無需寫證明過程)(1)在圖(2)中,de與ca延長線交于點p,bd=dp是否成立?如果成立,請給予證明;如果不成立,請說明理由.(2)在圖(3)中,de與ac延長線交于點p,bd與dp是否相等?請直接寫出你的結論,無需證明.(1)(2)(3)(第6題)參考答案【真題精

20、講】1. (1)如圖(1),(第1題(1)acb=90°,ac=8,bc=6,ab=10.cdab,線段cd的長為4.8.(2)過點p作phac,垂足為h,如圖(2)所示.(第1題(2)由題可知dp=t,cq=t.則cp=4.8-t.acb=cdb=90°,hcp=90°-dcb=b.phac,chp=90°.chp=acb.chpbca.整理,得5t2-24t+27=0.即(5t-9)(t-3)=0.若qc=qp,過點q作qecp,垂足為e,如圖(3)所示.(第1題(3)c(-0.8t,0),oc=0.8t.在rtocd中,cd=oc2+od2=(0.

21、8t)2+(0.6t)2=t.點p從點a出發,以每秒1個單位長度的速度沿直線ab向點b移動t(0<t<5)秒,ap=t.ap=cd=t.apcd.apcd,ap=cd=t,在運動過程中,四邊形acdp總是平行四邊形.a(-4,0),b(0,3),oa=4,ob=3.在rtoab中,ab=oa2+ob2=5.過點d作deab于點e,則deb=90°.(第2題)在aob和deb中,aob=deb=90°且oba=ebd,aobdeb.點d到直線ab的距離等于d的半徑.以點d為圓心、od長為半徑的圓與直線ab相切.方法二:(在證明d與直線ab相切時,也可利用等積法求得

22、點d到直線ab的距離.)設點d到直線ab的距離為d,則點d到直線ab的距離與d的半徑相等,即d=r.以點d為圓心、od長為半徑的d與直線ab相切.方法三:(巧用“菱形對角線的性質”和“角平分線性質定理”)連接ad,則ad是菱形acdp的對角線,ad平分oab.doao,do是點d到直線ao的距離.點d到直線ab的距離=點d到直線ao的距離(do).以點d為圓心、od長為半徑的圓與直線ab相切.3. (1)acb=90°,點o是ab的中點,oc=ob=oa=5.ocb=b,aco=a.doe=b,foc=ocf.fc=fo.cof是等腰三角形.過點f作fhoc,垂足為h,如圖(1),(

23、第3題(1)fc=fo,fhoc, (2)若omnbco,如圖(2),(第3題(2)則有nmo=ocb.ocb=b,nmo=b.a=a,aomacb.若omnboc,如圖(3),(第3題(3)則有mno=ocb.ocb=b,mno=b.aco=a,conacb.過點m作mgon,垂足為g,如圖(3),mno=b,mon=b,mno=mon.mn=mo.mgon,即mgn=90°,【課后精練】1. 62. -63. (1)ab=ob,abo=90°,abo是等腰直角三角形.aob=45°.yoc=45°,aoc=(90°-45°)+45°=90°.aoco.c'o'是co平移得