1、2019-2020學(xué)年上海市復(fù)旦附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，？茜分48分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1 .已知集合A=2, 0, 1, 9,則集合A的非空真子集的個(gè)數(shù)為 .2 . U=3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, A=x|x2TW0, x&, B = x|TWxW 3, x&, 貝U （ ?uA） n B=.3 .不等式-2工v 3的解集是.X4 .設(shè)集合T= ?, ?,則下列命題： ？CT,？ T,?1,?T中正確的是 （寫出所有正確命題對應(yīng)的序號）.5 .若集合 5殘+1） x十曰2-5）=艮 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

2、6 .如果全集 U含有12個(gè)元素，P, Q都是U的子集，PAQ中含有2個(gè)元素，？uPA?uQ 含有4個(gè)元素，?uPn Q含有3個(gè)元素，則P含有 個(gè)元素.7 .已知RtAABC的周長為定值2,則它的面積最大值為 .8 .若f （x）在區(qū)間t, t2-2t- 2上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的值為.9 .已知不等式|x- 3|-|x+4|va解集非空，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .10.對于集合M,定義函數(shù)-1F K W M,對于兩個(gè)集合 A, B,定義集合A*B=x|fA1,（x） ?fB （x） =- 1,已知集合B= x|x （x 3） （x+3） >0,貝uA*B=.11.若實(shí)數(shù)x, y>

3、0滿足x+3y-xy= 1,求3x+4y的最小值為 .12,已知a>0,且對任意x>0,有（x-a）（x2+bx- a） >0恒成立，則9的取值范圍為 .二、選擇題（本大題共有 4題，t分20分，每題5分）13 .命題“若p不正確，則q不正確”的逆命題的等價(jià)命題是（）A .若q不正確，則 p不正確B,若q不正確，則 p正確C.若p正確，則q不正確D.若p正確，則q正確14 .已知a, bCR,則“ |a|<1, |b|v 1”是“不等式ab+1 >a+b”成立的（）條件.A .充分非必要B .必要非充分C.充要D.既不充分又不必要f Af ( K )15 .定義在

4、R上的偶函數(shù)f(x)滿足對任意X1,X2C(-8, 0(XlWX2),有>0,一町則當(dāng)nCN*時(shí)，有()A. f(-n) vf(n-1) < f n n+1)B.f(nT)vf( - n)vf (n+1)C. f (n+1) vf( - n)vf (n-1)D. f(n+1)vf (n-1)vf( - n)16.設(shè)集合 P=xX2+ax+1 >0, P2=x|x2+ax+2>0, Q1 = x|x2+x+b>0, Q2= x|x2+2x+b >0,其中a, bCR,下列說法正確的是()A ,對任意a, P1是P2的子集，對任意b, Q1不是Q2的子集B.對任

5、意a, P1是P2的子集，存在b,使得Q1是Q2的子集C,存在a, P1不是P2的子集，對任意b, Q1不是Q2的子集D ,存在a, P1不是P2的子集，存在b,使得Q1是Q2的子集三、解答題(本大題共有 5題，t分38分)17 .已知集合 A=x|x2- ( m+3) x+2 (m+1) =0, B = x|2x2+ (3n+1) x+2 = 0,其中 m, n CR.(1)若 An B=A,求 m, n 的值；(2)若AU B=A,求m, n的取值范圍.18 .設(shè) a>0, b>0,且求證：(1) a+b>2；(2) a+av 2與b?+b< 2不可能同時(shí)成立.19

6、 .如圖所示，用總長為定值l的籬笆圍成長方形的場地，以墻為一邊，并用平行于一邊的籬笆隔開.(1)設(shè)場地面積為y,垂直于墻的邊長為 x,試用解析式將 y表示成x的函數(shù)，并確定 這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)怎樣圍才能使得場地的面積最大？最大面積是多少？20.已知函數(shù)£即飛,(1)判斷f (x)的奇偶性，并給出理由;(2)當(dāng) a=2 時(shí)，判斷f (x)在xC (0, 1上的單調(diào)性并用定義證明；若對任意xC (0, +8),不等式=恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.21.設(shè)函數(shù)f (x)為定義在 R上的奇函數(shù)，且當(dāng) xC0, +8)時(shí)，f (x) = - x2+2x.(1)求函數(shù)(2)求實(shí)數(shù)(3)若

7、函數(shù)f (x)a, b,使得函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b? 1 , +°°)上的值域?yàn)?，;f (x)在區(qū)間a, b上的值域?yàn)榭矗瑒t記所有滿足條件的區(qū)間a, b的并集為D,設(shè)g(x)=f (x)(xCD),問是否存在實(shí)數(shù)m,使得集合(x,y)|y=g(x) A (x, y) |y=x2+m恰含有2個(gè)元素？若存在，求出 m的取值范圍；若不存在，請說明理由.2019-2020學(xué)年上海市復(fù)旦附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有 12題，？茜分48分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1 .已知集合A=2, 0, 1, 9,則集合A的非空真子集

8、的個(gè)數(shù)為14 .【解答】解：二.集合A=2, 0, 1, 9,，集合A的非空真子集的個(gè)數(shù)為：24- 2= 14.故答案為：14.2 . U=3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, A=x|x2- 1<0, x&, B = x|- 1<x< 3, x&, 則（？UA） n B=2、 3.【解答】解：A=x|x2-1<0, xCZ = -1, 0, 1, B=x|- 1<x<3, xCZ = - 1,0, 1, 2, 3, ?uA=x|x< - 2,或 x>2, xCZ,（ ?uA） A B=2 , 3,故答案為2, 3.3.不等式

9、-2v°v3的解集是 x|x< Y或0Vx<J）.x-23【解答】解：2< <3,X當(dāng) x>0 時(shí)，2xv1 <3x,解可得，當(dāng) xv 0 時(shí)，2x>1 >3x,解可得，x<-y,綜上可得，不等式的解集為xx<或0Vx費(fèi) .故答案為：x|x 或 0Vx<1.4.設(shè)集合T= ?, ?,則下列命題： ？CT,？ T,?1,?T中正確的是 （寫出所有正確命題對應(yīng)的序號）.【解答】解：T=?, ?,.?CT, ? T, ?CT, ?T.故答案為：.5 .若集合& lyW J+2以+1)；十曰2-5)=，則實(shí)數(shù)a的取值范

10、圍是(-°°, 3.【解答】解：由題意可得，x2+2 (a+1) x+a2-5>0恒成立，.=4 (a+1) 2-4 (a2- 5) < 0,解可得，a< - 3,故答案為：(-巴36 .如果全集 U含有12個(gè)元素，P, Q都是U的子集，PAQ中含有2個(gè)元素，？uPA?uQ 含有4個(gè)元素，？uPAQ含有3個(gè)元素，則P含有 5個(gè)元素.【解答】解：由全集U含有12個(gè)元素，P, Q都是U的子集，PAQ中含有2個(gè)元素，?uPA?uQ含有4個(gè)元素，？uPAQ含有3個(gè)元素，作出維恩圖，圖中數(shù)字代表集合中包含的元素的個(gè)數(shù)，由維恩圖結(jié)合題意得：4+x+2+3= 12,解得

11、x=3.，集合P中含有的元素個(gè)數(shù)為：2+x=2+3=5.故答案為：5.7 .已知RtAABC的周長為定值2,則它的面積最大值為3-22啊【解答】解：設(shè)直角邊長為 a, b,則斜邊長為“)比巴 直角三角形ABC的三邊之和為2, -a+b+Va2+b2=2, .2>2Vab+/2ab,Vw=2，abW6-4我，S=ba< 3- 2瓦,2ABC的面積的最大值為 3 - 2a.故答案為：3 - 2/2 -8,若f (x)在區(qū)間t, t2-2t- 2上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的值為 -1 .【解答】解：由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱可知，t+t2-2t-2=0,且t2-2t-2>0,.t2-

12、t-2=0,解可得t = 2 (舍)或t=- 1,故答案為：-1.a的取值范圍為(7, +oq)所以|x - 3| - |x+4|的最小值小于a,9.已知不等式|x- 3|- |x+4|va解集非空，則實(shí)數(shù)【解答】解：不等式|x - 3| - |x+4|< a解集非空,又|x一 3|一 |x+4|> 7,此時(shí) x>3故答案為：(-7, +8)10.對于集合M,定義函數(shù)"對于兩個(gè)集合 A, B,定義集合A*B=x|fA(x)? fB(x)= - 1,已知集合A=k W2r >6 ,B=x|x (x -3) ( x+3) > 0,則A*B=(8,1) U (

13、 3, +8)【解答】解：A= ( 一 oo, 1), B= ( 8, 3) U ( 3, +8),fA (x) ? fB (x) = - 1 ,當(dāng) fa (x) =1, fB (x) = 1, A*B=B,當(dāng) fa (x) = 1, fB (x) = 1, A*B= 3, 1),故 A*B= (8,1) U ( 3, +8),故答案為：(-8,1) U ( 3, +8)11.若實(shí)數(shù)x, y>0滿足x+3y-xy=1,求3x+4y的最小值為.【解答】解：由 x+3yxy=1,得；x+3y xy=1 K三' ；A0, yE 0, U ( 1，+0°), y-131A3x+

14、4y=3-+4y= 13-i-+4(y-l),y-1y-1當(dāng) y>1 時(shí)，3 x+4y> 13+224= 13+W6;當(dāng)yE Q,0,設(shè)"L d", 一S"+4(yT)=立+處在-1,上單調(diào)33y-1u3、，2 一 g _ 一，- 4遞減，在u二處取得取小值3x+4y取得取小值 ,綜上可得3x+4y取得最小值國，3故答案為：4-312.已知a> 0.且對任意x>0.有(x- a) (x2+bx-a) >0恒成立.則里的取值范圍為(一b8, T) U ( 0, +8),【解答】解：,對任意x> 0,有(x-a) (x2+bx-a)

15、 > 0恒成立，x= a是方程 x2+bxa=0 的根，即 a2+ab- a= 0,又 a>0,貝U a+b-1 = 0,(b, a)可理解為直線a+b - 1 = 0上縱坐標(biāo)大于0的點(diǎn)，則曳的幾何意義即為直線 a+b b-1=0上縱坐標(biāo)大于0的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，如圖,直線a+b-1 = 0的斜率為-1,由圖象可知,包E (-8,-1)U(OT Q).故答案為：(-8, 1) U ( 0, +8)、選擇題(本大題共有 4題，？茜分20分，每題5分)13 .命題“若p不正確，則q不正確”的逆命題的等價(jià)命題是()A.若q不正確，則p不正確B.若q不正確，則p正確C.若p正確，則q不正

16、確D.若p正確，則q正確【解答】解：命題“若p不正確，則q不正確”的逆命題是：“若q不正確，則p不正確”其等價(jià)命題是它的逆否命題，即“若p正確，則q正確”故選：D.14 .已知a, bCR,則“ |a|<1, |b|v 1”是“不等式ab+1 >a+b”成立的()條件.A .充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又不必要【解答】解：“不等式ab+1 >a+b”成立等價(jià)于“ab+1-a-b= (b-1) (a-1) >0” ,當(dāng) “ |a|v1, |b|<1 時(shí)，則(b-1) (a-1) > 0 成立；當(dāng)(b-1) (a- 1) >0 時(shí)，有 a&

17、gt;1 且 b>1；或者 av 1 且 bv 1；故“|a|v1, |b|v1”是“不等式ab+1>a+b”成立的充分非必要條件；故選：A.fCXn)-f( X15.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足對任意X1,X2C(-8, 0(X1WX2),有>0,x 1則當(dāng)nCN*時(shí)，有()A . f(-n) vf(n-1) < f (n+1)B.f(nT)vf( - n)vf (n+1)C. f (n+1 )vf( - n)vf (n-1)D.f( n+1) vf (nT) vf( - n)【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù) f(X)是偶函數(shù)，且在(-8,0遞增，(0, +OO)遞減，因

18、為 0v n 1V nv n+1,所以 f (n1) >f (n) >f (n+1),故選：C.16.設(shè)集合 P1= XX2+aX+1 >0, P2=X|X2+aX+2>0, Q1 = X|X2+X+b>0, Q2= X|X2+2X+b>0,其中a, bCR,下列說法正確的是()A .對任意a, Pi是P2的子集，對任意b, Q1不是Q2的子集B,對任意a, P1是P2的子集，存在b,使得Qi是Q2的子集C,存在a, P1不是P2的子集，對任意b, Q1不是Q2的子集D,存在a, P1不是P2的子集，存在b,使得Qi是Q2的子集【解答】解：對于集合 P =

19、x|x2+ax+1 >0, P2=x|x2+ax+2>0,可得當(dāng) m Pi,即 m2+am+1 >0,可得 m2+am+2>0,即有mCP2,可得對任意a, Pi是P2的子集；當(dāng) b = 5 時(shí)，Q1=x|x2+x+5>0 = R, Q2=x|x2+2x+5>0 = R,可得Qi是Q2的子集；當(dāng) b=1 時(shí)，Qi=x|x2+x+1 >0 = R, Q2=x|x2+2x+1 >0 = x|xw 1 且 xCR,可得Qi不是Q2的子集.綜上可得，對任意 a, Pi是P2的子集，存在b,使得Qi是Q2的子集.故選：B.三、解答題(本大題共有5題，t分3

20、8分)17,已知集合 A=x|x2- ( m+3) x+2 (m+1) =0, B = x|2x2+(3n+1) x+2 = 0,其中 m, nCR.(1)若 An B=A,求 m, n 的值；(2)若AU B=A,求m, n的取值范圍.【解答】 解：(1)集合 A=x|x2- (m+3) x+2 (m+1) =0,B=x|2x2+ (3n+1) x+2 = 0,其中 m, nCR.解 x2 ( m+3) x+2 (m+1) = 0 得：x= 2,或 x= m+1 ,若 An B = A,則 A? B,將 x=2 代入 2x2+ (3n+1) x+2 = 0 得：n= - 2,則 B=x|2x

21、2+ ( 3n+1) x+2 = 0, nCR = x|2x2- 5x+2 = 0 = 2 , -y.則 m+1=-, 則 m=當(dāng)人=2時(shí)，m+1 = 2,解得 m= 1,綜上 m= , n= - 2,或 m=1, n= - 2.(2)若AUB=A,則非空集合B?A,當(dāng)= ( 3n+1) 2 - 16=0 時(shí)，n= , B= 1 , m+1 = 1, m= 0,或 n = 1 時(shí)，B= - 1, m+1 = - 1, m= - 2；一 一 一 一 一 5一一一一1當(dāng)=( 3n+1) 2- 16>0,即 n< -,或 n> 1 時(shí)，則 2 CB,由(1)得：m= - , n=2

22、;cB= ?,對mCR,故成立,當(dāng)= ( 3n+1) 2-16v0 時(shí)，即-<n<U,18,設(shè) a>0, b>0,且求證:(1) a+b>2；(2) a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立.【解答】證明：(1)由frH產(chǎn)a>0, b>0,得ab=1,由基本不等式及 ab=i,有工2,即a+b> 2.(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立，貝U a2+a<2且 b2+b<2,貝U a2+a+b2+bv4,即：(a+b) 2+a+b 2ab<4,由(1)知 ab= 1 因此(a+b) 2+ a+b&l

23、t;6而a+b>2,因此(a+b) 2+a+b>6，因此 矛盾，因此假設(shè)不成立，原結(jié)論成立.(19) 圖所示，用總長為定值l的籬笆圍成長方形的場地，以墻為一邊，并用平行于一邊的籬笆隔開.(1)設(shè)場地面積為y,垂直于墻的邊長為 x,試用解析式將 y表示成x的函數(shù)，并確定這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)怎樣圍才能使得場地的面積最大？最大面積是多少？【解答】解：(1)設(shè)場地面積為 V,垂直于墻的邊長為 x,它的面積y=x (l - 3x)；由x>0,且l - 3x>0,可得函數(shù)的定義域?yàn)?0,之)；2''(2) y= x (l-3x) = x 3x (l - 3x)

24、<yX () = ,當(dāng)x=時(shí)，這塊長方形場地的面積最大，0、M3 »、r1 B , XT1 2這時(shí)的長為l-3x="l,取大面積為 .21220.已知函數(shù)fG)二式*十三(1)判斷f (x)的奇偶性，并給出理由；(2)當(dāng) a=2 時(shí)，判斷f (x)在xC (0, 1上的單調(diào)性并用定義證明；若對任意xC (0, +8),不等式恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.【解答】解：(1)當(dāng)a = 0時(shí)，f (x) =x2,定義域?yàn)閤|xw。,關(guān)于原點(diǎn)對稱，此時(shí)f ( - x) = f (x)，f (x)為偶函數(shù)；當(dāng)aw0時(shí)，f(x) = H2-,定義域?yàn)閄|xw0,關(guān)于原點(diǎn)對稱， X

25、此時(shí) f (1) = 1 + a, f ( 1) = 1 a,故 f ( 1) Wf (1) , f (- 1) w f (1),.f (x)無奇偶性.(2) =X則, :"二 .'1 4任取 0 V x V x2 w 1乂 i 工21上2)-2，A1 x2xx2 (x1 + x2)< 2,. 1 0< x1 < x2 1,x1一 x2< 0, x1x2> 0 ,，f (x1)- f (x2)>0,所以f (x)在區(qū)間(0, 1上是遞減.(3)由題意得£(£"項(xiàng)聯(lián)江，由(2)知f (x)在區(qū)間(0, 1上是遞減，同理可得 f (x)在區(qū)間1, +8)上遞增,所以 f (x) min=f (1) = 3,所以3>皿-“商 1,即m-卜寸巾-廣2M0,令(t>0),則 t2 - t - 2V0,解得-1 vtv 2,故 0<t<2即即 1wm<5.21.設(shè)函數(shù)f (x)為定義在 R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x0, +oo)時(shí)，f (x) = - x2+2x.(