1、近 世 代 數一、單項選擇題1、假設 A=1, 2, 3, 5, B=2, 3, 6, 7,那么 Ac B=A 1 , 2, 3, 4 B 、2 , 3, 6, 7G 2,3 D >1,2, 3, 5, 6, 7答案：C2、循環群與交換群關系正確的選項是A、循環群是交換群B 、交換群是循環群G循環群不一定是交換群D 、以上都不對答案：A3、以下命題正確的選項是A、n次對換群a的階為n! B 、整環一定是域G交換環一定是域D 、以上都不對答案：A4、關于陪集的命題中正確的選項是設H是G的子群,那么A、 對于?aH,bH ,有aH川=$或aH = bHB、 以上都對答案：D5、設A=R 實數

2、域,B=R+正實數域f :a - 10aa A那么f是從A到8的A、單射B、滿射C、一一映射D、既非單射也非滿射答案：D6、有限群中的每一個元素的階都、無限、為1、無限、或素數或無限A、有限BG為零D答案：A7、整環域的特征為A素數BG有限D答案：D8、假設S是半群,那么A 任意 a'b,c匚 S,都有 abc=abc B 、任意 a,b= S,都有 ab=baG必有單位元D、任何元素必存在逆元答案：A9、在整環Z中,6的真因子是A ±1,站B、±2,_3C ±1,艾D、工3,土6答案：B10、偶數環的單位元個數為A、0個B、1個C 2個D、無數個答案：A

3、11、設A, A2,An和D都是非空集合,而 f是A1 M A2 MM An到D的一個映射,那么A、集合Ai,A2,An,D中兩兩都不相同;B、Ai,A2,An的次序不能調換；C、A MA2父MAn中不同的元對應的象必不相同;D、一個元a1,a2,an 的象可以不唯一.答案：B12、指出以下那些運算是二元運算A、在整數集Z上,a <b = ab;abB、在有理數集Q上,a叱=Jab；G在正實數集R +上,a"=alnb;D> 在集合 IwZn 之 0 上,a+b = a b.答案：D13、設.是整數集Z上的二元運算,其中a"=maxa,b即取a與b中的最大者,那

4、么,在Z中A、不適合交換律；B 、不適合結合律；C、存在單位元；D 、每個元都有逆元.答案：C14、設G為群,其中G是實數集,而乘法:a* = a + b + k ,這里k為G中固定的常數.那么群GJ中的單位元e和元x的逆元分別是A 0 和一x； B 、1 和 0; C 、 k 和 x 2k; D 、 一k 和一x + 2k.答案：D15、設a,b, c和x都是群G中的元素且x2a =bxc,acx =xac ,那么x =1 11 11-11A、bc a ; B 、c a ; C 、a bc ; D 、b ca.答案：A16、設H是群G的子群,且G有左陪集分類1H,aH,bH,cH h如果6,

5、那么G的階|G = A、6;B、24;C、10;D、12.答案：B17、設f :Gi t G2是一個群同態映射,那么以下錯誤的命題是A、f的同態核是Gi的不變子群；B、G2的不變子群的逆象是Gi的不變子群;C、G1的子群的象是G2的子群；D、Gi的不變子群的象是G2的不變子群.答案：D18、設f : Ri t R2是環同態滿射,f(a) = b ,那么以下錯誤的結論為(A、假設a是零元,那么b是零元；B、假設a是單位元,那么b是單位元；C、假設a不是零因子,那么b不是零因子；D、假設R2是不交換的,那么Ri不交換答案：C19、以下正確的命題是()A、歐氏環一定是唯一分解環；B、主理想環必是歐氏

6、環；C、唯一分解環必是主理想環；D、唯一分解環必是歐氏環.答案：A20、假設I是域F的有限擴域,E是I的有限擴域,那么()A、(E:I )=(E:I '(I:F);B、(F:E)=(I :F'j(E:I );C、(I : F )=(E : F F : I )；D、(E : F )=(E : I I : F )答案：D二、填空題1、集合A的一個等價關系需滿足自反性、對稱性和().答案：傳遞性2、設A,B都為有限集,且A =m,B =n,那么A'B =().答：mn3.設R是集合A= 平面上所有直線上的關系：1網2 0 1l / 12 或 1l =12 (Il-l2e A)

7、,那么 R ()等價關系.答：是4、設群G中的元素a的階為m那么an =e的充要條件是(5、群G的非空子集H作成G的一個子群的充要條件是(答：Va,b w H,有 ab,w H6、n次對稱群&的階是().答：n!7、設G是有限群,H是G的子群,且H在G中的指數為n,那么1Gl =().答：nH8、設G是一個群,e是G的單位元,假設awG,且a=a,那么()答：a=e9、最小的數域是().答：有理數域10、設集合 A=1,2,那么 AX A= () ,2A=().答：(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), ,1, 2, 1,211、設f是A的一個變換,SJ A,那么f,I

8、f(S)()f "(S).答：12、設R1,R2是集合A上的等價關系,RlR2 ()等價關系.答：是13、假設群G中每一個元素x都適合方程xn =e,那么6是()群.答：交換群14、n階群G是循環群的充要條件是().答：G中存在n階的元素15、設G,G1是有限循環群,G =m,G1 =n,那么gi是G的同態象的充要條件是(nm) O答：nm16、如果環R的乘法滿足交換律,即Tab三R,有ab = ba,那么稱R為()環答：交換環17、數集關于數的加法和乘法作成的環叫做()環.答：數環18、設有限域F的階為81,那么的特征p=().答：319、群G中的元素a的階等于50,那么a4的階等

9、于().答：2520、一個有單位元的無零因子()稱為整環.答：交換環a是一個國際標準書號,那么a= () o答：622.剩余類加群Z12有()個生成元.答：623、設群G的元a的階是n,那么ak的階是()答：n/(k,n)(k,n)表示k和n的最大公約數)24、6階循環群有()個子群.答：326、模8的剩余類環乙的子環有() 個.答：627、設集合 A =-1,0,1; B=Q,2,那么有 BxA=().答:；1,-1, 1,0, 1,1 2, -1 , 2,0, 2,1328、如果f是A與A間的映射,a是A的一個元,那么ff(a)=().答:a29、設集合A有一個分類,其中 A與Aj是A的兩

10、個類,如果 A # Aj ,那么A Q Aj =( ).31、凱萊定理說：任一個子群都同一個()同構.答：變換群32、給出一個5-循環置換n =31425,那么冗,=.答：1352433、假設I是有單位元的環R的由a生成的主理想,那么I中的元素可以表達為.答：v Xiayi,Xi,y R34、假設R是一個有單位元的交換環,I是R的一個理想,那么 %是一個域當且僅當I是 .答：一個最大理想35、整環I的一個元p叫做一個素元,如果.答：p既不是零元,也不是單位,且 q只有平凡因子36、假設域F的一個擴域E叫做F的一個代數擴域,如果.答：E的每一個元都是F上的一個代數元三、判斷題1、設A與B都是非空

11、集合,那么 A= B = &xw A且xw B. X 2、設A、B、D都是非空集合,那么Am B到D的每個映射都叫作二元運算. X 3、只要f是A到A的映射,那么必有唯一的逆映射 f.V 4、如果循環群G=a 中生成元a的階是無限的,那么G與整數加群同構.V 5、如果群G的子群H是循環群,那么G也是循環群.X 6、群G的子群H是不變子群的充要條件為 Vg WGNhW H;g,Hg J H. M7、如果環R的階之2 ,那么R的單位元1 #0. V 8、假設環R滿足左消去律,那么R必定沒有右零因子.V 9、Fx中滿足條件pa =0的多項式叫做元口在域F上的極小多項式. X 10、假設域E的

12、特征是無限大,那么E含有一個與 %p同構的子域,這里Z是整數環,p是由素數p生成的主理想.X 四、解做題1、A=數學系的全體學生,規定關系R:a,bw AaRbu a與b同在一個班級,證實r是a的一個等價關系.答案：自反性：自己與自己顯然在同一個班級對稱性：假設a與b同在一個班級,顯然b與a同在一個班級傳遞性：假設a與b同在一個班級,b與c同在一個班級,顯然a與c同在一個班級.2、在R中的代數運算是否滿足結合率和交換率？a ：b=a+b +ab (等式右邊指的是普通數的運算)答：由于對于 a,b,c£R,有(a"b)*c=(a+b+abc=a b ab c a b ab c

13、 = a b ab c ac be abc,根據實數的加法與乘法的運算率得a b c = a b c.又 a“b = a+ b+ab=b+a+ba=b°a.所以,R的代數運算既滿足結合率,又滿足交換率.3、設集合 A=ahGd,B = Gd£,求 aUB,AQB,A B,(AB)U(B A).答案.A Ub -lc,dJ,Ap|B - la,b,c,d,e：,4、.S34)')(3)( 3)( 3)(3 H41 )(12»,求G關于子群H的左陪集分 解.答：(1H =(12)H = H ,13 H =(123)H = ；13 , 123)(23 H =(1

14、32)H =23)(1321.因而,G關于子群H的左陪集分解為G = H 13 H (23)H o5、設半群(S)既有左單位元e,又有右單位元f ,證實e= f ,而且是S的唯一單位元.答：證實ef =e (13 f是右單位元),ef = f (因e是左單位元),得e= f ；假設S還有單位元e ,那么e = eei =G ,故e是S的唯一單位元.6、對于下面給出的z到z的映射f,g,h計算 f Og,g Of ,g Ch,h0g, f OgOh o答案：7、設H是G的不變子群,那么Va-G,有aHa,=H 0答：因H是G的不變子群,故對于VaeG ,有aH = Ha ,于是aHa 工=(aH

15、 a,=(Ha a,=H (aa,)= He = H o8、設0是環R的零元,那么對于VawR, 0,a=a,0 = 0.答：由于awR,有0 a =(0 0) a =0 a . 0 a由于R關于加法作成群,即R對于加法滿足消去律,在上式中兩邊同時消去0總,得0 a =0.同理可得a.=0.19、如果半群G有一個左單位元e ,并且對于VaG,存在左逆元a G,使得a'a=e,那么G是一個群.11.答：ka匚G ,由條件知,有左逆兀a匚G ,使得a a = e ,而對于a在G中也存在左逆1兀a ,使得a a =e ,那么有一一 11所以,a的左逆兀a也是a的右逆兀,即a在G中有逆兀a ,

16、又由于ae=a(a4a )=(aa二a=ea=a,知e是G的單位元.故G是一個群.10、證實R為無零因子環的充分必要條件是在環 R中關于乘法左消去律成立.答：設環R沒有左零因子,如果有ab = ac,那么有ab -ac = a(b -c) =0 ,當a#0時,由于R沒有左零因子,得b-c = 0, 即b = c, R中關于乘法左消去律成立.反之,假設在R中關于乘法左消去律成立,如果a#.,有ab=O,即ab = 0 = a.0,左消去a得b=0,即R中非零元均不是左零因子,故 R為無零因子 11、假設",上是R的兩個理想,那么11+12 = 0 +X2 X1三I 1, X2三1 2

17、)也是R的一個理想.答：Vx,y e |1 + |2,vr e R 那么有x =x +X2,y = yi +y2 ,(Xi,y w Ii；X2, y2三 I2),從而X-y=(X1-yi)+(X2-y2)£|1+I2；rX = r(X1 +X2)=rX1 + rX2w 11 + I2；Xr =(X1 +X2)r =X1r + x2r w I1 + 12 o所以,*十是R的一個理想.12、設G =S3 =(1),(12),(13),(23),(123),(132), H =( 1), (12),那么 h是 G的一個子群,寫出 G 關于H的所有左陪集的分解.答案：H =(12)H =H

18、,(13)H =(13),(123) =(123)H ,(23)H =( 23),(132) =(132)H ,因而,G關于H的左陪集的分解為.13、在Q中的代數運算是否滿足結合率和交換率？答：取 a =1,b =2,c = 3,貝(J(1.2 -3 =22.3 = 32 =9 , 1.(2 二3 ) = 1.32 = 92 = 81又 1'2=22 =4,2 力=12 =1.所以,Q的代數運算.既不滿足結合率,又不滿足交換率.14、',H41)(12,求G關于子群H的右陪集分解.答：H(1 >H (12) =(1,(12H(13)= H (132) 13,(132H(2

19、3)=H(123) =«23)(123»因而,G關于子群H的右陪集分解為G = H UH(13WH(23).15、設S是有單位元e的半群,aw S,假設a有左逆元ai ,又有右逆元a2,那么a是可逆元,且ai =也是a的唯一的逆元.答：證實由條件知, a1a =e,aa2 =0 那么有 a? =ea? =(aa a =a(aa2 )=ae= a1,假設b,c都是a的逆元,同理有b=be = b(ac)=(ba"ec = c故a有唯一的逆元.16、設 R是環,那么 Va,bwR,有(-a)b = a(-b) = -(ab).答：由(a)b+ab =(a+a)b =

20、0 b =0 ,得 (ab)=(a)b同理,由 a( -b) +ab =a(七+b)=a 0 = 0,得-(ab)= a(初.117、設H是G的子群,假設對于Va-G, Vh = H ,有aha w H ,那么H是G的不變子群.答：任取定a w G ,對于Vah w aH ,由于aha,w H ,那么存在幾WH ,使得aha = % = ah = h1 a = Ha = aH 三 Ha .111、Vha w Ha ,由于 aha =a h(a ) = H ,故存在 h2 = H ,使得-1a ha = h2 = ha =ah2 匚 aH = Ha aH o因此,對于VaG ,有aH = Ha.

21、故H是G的不變子群.18、如果G是半群,那么G是群的充分必要條件是：Va,bWG,方程ax = b和ya = b在6中 有解.答：必要性.因G是群,那么 四三6在6中有逆元aj 那么b,ba_*WG ,分別代入方程 ax = bft ya=b,有aa"b=aa"b=eb=b ba'a=ba"a=be=b即a/ba分別為方程ax=n ya=b的解.充分性.因G是半群,那么是非空集合,取定 awG,那么方程丫2 = 2在6中有解3,即存在G中的元素e ,使得ea =a.下證e是G的左單位元.Va,bwG,方程ax = b和在G中有解c,即ac = b,于是eb

22、 = e(ac) = (ea c = ac = b ,那么e是G的一個左單位元.一 、. , 一 一 一一 ' - ' . ,. . 一 一又VaWG,方程ya =e在G中有解a ,即aa=e,得a是a的一個左逆兀.從而得 G中的每一個元素a都有左逆元.故G是群.19、證實R為無零因子環的充分必要條件是在環 R中關于乘法右消去律成立.答：設環R沒有左零因子,那么也無右左零因子.于是由 ba = ca,得 ba -ca =(b -c)a ,當a#0時,由于R沒有右零因子,得b-c = 0, 即b = c, R中關于乘法右消去律成立.反之,假設在R中關于乘法右消去律成立,如果 a#

23、0,有ba = 0,即ba = 0 = 0 a,右消去a得b=0,即R中非零元均不是右零因子,故 R為無零因子.20、設R為交換環,aw R,匕="三Rax=0),證實：%是R的理想.答：(1) Va,b w Ia ,那么 ax =0,bx =0 ,從而 ax-bx = 0, (a-b)x = 0即a 一產心.(2) Ma 三 la,VrER,有 ax=0,由于 R 為交換環,從而 rax = r0 = axr = 0r = 0 ,即ar,ra e I ao因此1a是R的理想.21、G = (z, +) , )G 規定結合法 “ 口aOb=a+b-2證實 9是一個群.證實：吧'為G的一個二元運算顯然,設a,b,c是G中任意三個元,= a+(b