1、2020-2020學年廣東省廣州市越秀區高一（上）期末數學試卷一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，選擇一個符合題目要求的選項涂在答題卡相應的位置.）1. （5 分）已知集合 M=xCZ|x （x-3） <0 , N=x|lnx<1,貝U M n N=（）A. 1, 2 B. 2, 3 C. 0, 1, 2 D. 1, 2, 32. （5分）函數f （x） =lnx-二的零點所在的大致區間是（）£A.白，1） B. （1, 2） C. （2, 3） D. （e, +引3. （5分）若m, n是兩條不同的直線，% 3 丫是三個不同的

2、平面，下些說法正確的是（）A.若 m? B, a± B,則 m± 0cB.若 m± B, m / a,則 a± BC.若 aA Y =m K Y =n m / n,則 a/ B D.若 a± % a± P,則社 04. (5 分)已知函數缶,則有（）A.f (a) <f(b)<f(c)B, f (a) <f(c)<f(b)C, f (b) <f (c) <f(a)D, f (b) <f (a) <f (c)1所示）截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體,5. （5分）將正方體（如圖則該幾何

3、體的左視圖為（）6. （5分）一種專門侵占內存的計算機病毒，開機時占據內存2KB,然后每3分鐘自身復制一次，復制后所占內存是原來的2倍，若該病毒占據 64MB內存（1MB=210KB）,則開機后經過（）分鐘.A. 45 B. 44 C. 46 D. 477. （5分）若當xC R時，函數f（x）=ax|始終滿足0<|f（x） | 01,則函數y=loga|X|8. （5分）在平面直角坐標系中，下列四個結論：每一條直線都有點斜式和斜截式方程；傾斜角是鈍角的直線，斜率為負數；方程卜蕓與方程y+1=k （x-2）可表示同一直線；直線l過點P （xo, y6,傾斜角為90°,則其方程為

4、x=x；其中正確的個數為（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4A. 2R B.9. （5分）如圖所示，圓柱形容器的底面直徑等于球的直徑 2R,把球放在在圓柱 里，注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，此時容器中水的深度是（）C.10. （5分）一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為 m）,則該棱錐的全面積 是（單位：m2） .（）2A Jw B 2yC. I ' . ： D.4+V211. （5分）如圖，正方體AG的棱長為 點H,則以下命題中，錯誤的命題是（1,過點A作平面AiBD的垂線，垂足為B氏A.點H是AiBD的垂心 B. AH垂直平面 CBDiC. AH的延長線經過點G

5、 D.直線AH和BBi所成角為45°12. （5分）已知函數 y=f （x）是定義域為 R的偶函數.當x>0時，f （x）=r若關于x的方程f （x） 2+af （x） +b=0, a, bCR有且僅有6號尸+1 （x>2）個不同實數根，則實數a的取值范圍是（）A V 卷 B- <4-C. k爭 V）U（T，T） D.（等 T） 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.答案填在答卷上.）n1cl 2 213. （5分）計算（得）口一唬砌+3照丐+1屋-1目"的結果是.14. （5 分）已知 4a=2, lgx=a,貝U x=.15. （5分）過

6、點（1, 2）且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程 .16. （5分）已知：在三棱錐 P- ABQ中，D, C, E, F分別是AQ, BQ, AP, BP 的中點，PD與EQ交于點G, PC與FQ交于點H,連接GH,則多面體ADGE- BCHF的體積與三棱錐P- ABQ體積之比是三、解答題：(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，并寫在答題卷相應位置.)17. (10分)如圖，在平行四邊形 OABC中，點C (1, 3).(1)求OC所在直線的斜率；(2)過點C作CD，AB于點D,求CD所在直線的方程./ 7:0 A A-18. (12分)如圖，正方形 ABCD所

7、在平面與三角形 CDE所在平面相交于CD,AE，平面 CDE 且 AE=1, AB=2.(I )求證：AB，平面ADE;(H)求凸多面體ABCDE勺體積.(2)當0<x<1時，關于x的方程f (x) +1=t有解，求實數t的取值范圍；(3)解關于 x 的不等式 f (x2mx) > f (2x 2m).20. (12分)某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場調查和預測，投資債券 等穩鍵型產品A的收益f (x)與投資金額x的關系是f (x) =kix, (f (x)的部分 圖象如圖1);投資股票等風險型產品 B的收益g (x)與投資金額x的關系是 二七4，S(幻的部分圖象如圖2

8、);(收益與投資金額單位：萬元).(1)根據圖1、圖2分別求出f (x)、g (x)的解析式；(2)該家庭現有10萬元資金，并全部投資債券等穩鍵型產品 A及股票等風險型 產品B兩種產品，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使投資獲得最大收益，其 最大收益為多少萬元？21. (12 分)如圖，直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，AC± BC, AC=BC=CC=2, M, N 分 別為AC, B1C1的中點.(I )求線段MN的長；(II )求證：MN /平面 ABBA1；(田)線段CC上是否存在點Q,使AB,平面MNQ?說明理由.22. (12分)已知函數 f (x) =ax2+bx+

9、c (a, b, c R).(1)若a<0, b>0, c=0,且f (x)在0, 2上的最大值為，最小值為-2,試求a, b的值；(2)若c=1, 0<a< 1,且|也立|02對任意xC 1, 2恒成立，求b的取值范圍.(用a來表示)2020-2020學年廣東省廣州市越秀區高一(上)期末數學 試卷參考答案與試題解析一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，選擇一個符合題目要求的選項涂在答題卡相應的位置.)1. (5 分)已知集合 M=xCZ|x (x-3) <0 , N=x|lnx<1,貝U M n N=()A. 1,

10、 2 B. 2, 3 C. 0, 1, 2 D. 1, 2, 3【解答】 解：集合 M=xC Z|x (x-3) <0=xZ| 0<x<3=0, 1, 2, 3,N=x| lnx< 1 =x| 0<x<e,則 M n N= 1, 2.故選：A.2. (5分)函數f (x) =lnx-二的零點所在的大致區間是()xA.(，1) B. (1, 2) C. (2, 3) D. (e, +引【解答】解：:函數二Imc烏，.f (2) =ln2- 1<0, f (3) =ln3-2>0,故有 f (2) f (3) <0,根據函數零點的判定定理可得函

11、數f(K)二1門工上的零點所在的大致區間為(2,3),故選：C.3. (5分)若m, n是兩條不同的直線，% 3 丫是三個不同的平面，下些說法正確的是()A.若 m? B, a± B,則 m± 0cB.若 m± B, m / a,則 a± BC.若 aA Y =m K Y =n m / n,則 a/ B D.若 a± % a± P,則社 0【解答】解：若m? B, a± B,則m與a平行、相交或m? a,故A不正確；若m1a,m / B,則 a± B,因為m/ B根據線面平行的性質在B內至少存在一條直線與 m平行,

12、根據線面垂直的判定：如果兩條平行線中的一條垂直于這個平面, 那么另一條也垂直于該平面，故 B正確;若al Y = mB l Y =nm / n,貝U all B或a與B相交，故C不正確;若 aX y, 故選B.a± P,則丫與B相交或平行，故D不正確.4. （5分）已知函數F&）二b=logj-T則有（）A. f (a) <f (b) <f (c) B. f (a) <f (c)<f (b) C, f (b) < f (c) < f(a)D, f (b) <f (a) <f (c)【解答】解：由復合函數的單調性可得函數（x）在（

13、-1, +00）上單調遞增,=1又-1聲1手。, b=1 口豈白1 口號i因此 b>c>a,f (b) >f (c) >f (a).故選：B.5. （5分）將正方體（如圖1所示）截去兩個三棱錐，得到圖 2所示的幾何體,則該幾何體的左視圖為（【解答】解：由題意可知幾何體前面在右側的射影為線段， 上面的射影也是線段,后面與底面的射影都是線段，輪廓是正方形，ADi在右側的射影是正方形的對角線，BiC在右側的射影也是對角線是虛線.如圖B.故選B.6. (5分)一種專門侵占內存的計算機病毒，開機時占據內存2KB,然后每3分鐘自身復制一次，復制后所占內存是原來的2倍，若該病毒占據

14、64MB內存(1MB=21°KB),則開機后經過()分鐘.A. 45 B. 44 C. 46 D. 47【解答】解：因為開機時占據內存2KB,然后每3分鐘自身復制一次，復制后所占內存是原來的2倍，所以3分鐘后占據內存22KB,兩個3分鐘后占據內存23KB,三個3分鐘后占據內存24KB,故n個3分鐘后，所占內存是原來的2n+1倍，則應有 2n+1=64X 210=216,n=15, 15X3=45,故選：A.7. (5分)若當xC R時，函數f(x)=ax|始終滿足0<|f(x) | &1,則函數y=loga|X【解答】解：.當xCR時，函數f (x) =ax|始終滿足0

15、<|f (x) | <1.因此，必有0<a<1.先畫出函數y=loga|x|的圖象：黑顏色的圖象.而函數y=loga| | = - loga| x| ,其圖象如紅顏色的圖象.故選B.8. (5分)在平面直角坐標系中，下列四個結論：每一條直線都有點斜式和斜截式方程；傾斜角是鈍角的直線，斜率為負數；方程卜二肛與方程y+1=k (x-2)可表示同一直線；K-2直線l過點P (xo, yo),傾斜角為90°,則其方程為x=x;其中正確的個數為()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解答】解：對于，斜率不存在的直線無點斜式和斜截式方程，故錯；對于，由傾斜角與斜率的關

16、系知，傾斜角是鈍角的直線，斜率為負數，正確；對于，方程(xw2)與方程y+1=k (x- 2) (x R)不表示同一直線，故錯；對于，直線l過點P (xo, yo),傾斜角為90°,則其方程為x=xo,正確； 故選：B.9. (5分)如圖所示，圓柱形容器的底面直徑等于球的直徑 2R,把球放在在圓柱里，注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，此時容器中水的深度是()A- 2R B - C.二R D.二【解答】解：由題意，水的體積=兀晨2艮-4兀晨上兀屋, 1I容器中水的深度h=-=71,兀薩 3故選：C.10. （5分）一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為 m）,則該棱錐的全面積A

17、 1 .，B. :+ ，C.： D.：【解答】解：由三視圖可以看出，此幾何體是一個側面與底面垂直且底面與垂直 于底面的側面全等的三棱錐 由圖中數據知此兩面皆為等腰三角形，高為 2,底面邊長為2,故它們的面積皆 為92X2=2,由頂點在底面的投影向另兩側面的底邊作高，由等面積法可以算出，此二高線的長度相等，為京，將垂足與頂點連接起來即得此兩側面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高為2.，同理可求出側面底邊長為 限可求得此兩側面的面積皆為= 乂4號乂如市,故此三棱錐的全面積為2+2+，+. |，二，故選A.11. （5分）如圖，正方體AG的棱長為1,過點A作平面AiBD的垂線，垂足為點H,則以下命題

18、中，錯誤的命題是（）ADA.點H是AiBD的垂心 B. AH垂直平面 CBDiC. AH的延長線經過點G D.直線AH和BBi所成角為45°【解答】解：因為三棱錐A-AiBD是正三棱錐，所以頂點A在底面的射影H是 底面中心，所以選項A正確；易證面AiBD/面CBiDi,而AH垂直平面AiBD,所以AH垂直平面CBDi,所以 選項B正確；連接正方體的體對角線 AG,則它在各面上的射影分別垂直于 BD、AiB、AiD等, 所以AGL平面AiBD,則直線AiC與AH重合，所以選項C正確；故選D.12. （5分）已知函數 y=f （x）是定義域為 R的偶函數.當x>0時，f （x）（白

19、 J（O W2）=r若關于x的方程f （x） 2+af （x） +b=0, a, bCR有且僅有6軟尸+1 （x>2）個不同實數根，則實數a的取值范圍是（）AV卷B dC-V）"今一D D.-D【解答】解：依題意f （x）在（-8, 2）和（0, 2）上遞增，在（-2, 0）和（2, +oo）上遞減，當x=±2時，函數取得極大值 與；當x=0時，取得極小值0.要使關于x的方程f (x) 2+af (x) +b=0, a, bCR有且只有6個不同實數根，設t=f (x),則則有兩種情況符合題意：(1) t 奇,且 t2(L 力止匕時a=ti+t2，貝U&E (一

20、，號);(2) tie (0, 1,卜代 3 日)，此時同理可得正(卷-1),綜上可得a的范圍是弓,染J (+ T：故選答案C.二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分.答案填在答卷上.)01cl 2 L13. (5分)計算口-期575+3 '，+82-1呂點的結果是 2_-【解答】解：運算=1- 0.lg2+lg5=1-0.4+0.4+1=2.故答案為2.14. （5 分）已知 4a=2, lgx=a,則 x=_JTb_.【解答】解：.4a=2, . 22a=2,即 2a=1lgx=a, . igx=Lx= III,故答案為：國15. （5分）過點（1, 2）且在兩坐標軸上

21、的截距相等的直線的方程2x-y=0或x+y 3=0 .【解答】解：當所求的直線與兩坐標軸的截距不為0時，設該直線的方程為x+y=a,把（1, 2）代入所設的方程得：a=3,則所求直線的方程為x+y=3即x+y-3=0;當所求的直線與兩坐標軸的截距為 0時，設該直線的方程為y=kx,把（1, 2）代入所求的方程得：k=2,則所求直線的方程為y=2x即2x-y=0.綜上，所求直線的方程為：2x- y=0或x+y-3=0.故答案為：2x- y=0或x+y - 3=016. （5分）已知：在三棱錐 P- ABQ中，D, C, E, F分別是AQ, BQ, AP, BP 的中點，PD與EQ交于點G, P

22、C與FQ交于點H,連接GH,則多面體ADGE- BCHF 的體積與三棱錐P- ABQ體積之比是1 O【解答】解：:D, C, E, F分別是AQ, BQ, AP, BP的中點,EF/ AB, DC/ AB,貝U EF/ DC,又 EF?平面 PCR DC?平面 PCR. EF/ 平面 PCD,又 EF?平面 EFQ 平面 EFCT 平面 PCD=GH 二 EF/ GH,設三棱錐P-ABQ體積為V,則Vp-dccp， ¥ 三八55冷-EGHF 3AEFQ =36；V-E 11W-BCKF=V6V=1V-多面體ADGE- BCHFB勺體積與三棱錐P-ABQ體積之比是故答案為:三、解答題：

23、(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演 算步驟，并寫在答題卷相應位置.)17. (10分)如圖，在平行四邊形 OABC中，點C (1, 3).(1)求OC所在直線的斜率；(2)過點C作CD，AB于點D,求CD所在直線的方程.【解答】解：(1) ;點O (0, 0),點C (1, 3), OC所在直線的斜率為k“二生三$.(2)在平行四邊形 OABC中,AB/ OC,. CD，AB,.CD±OC. CD所在直線的斜率為卜二. CD所在直線方程為y3,即x+3y 10=0.18. (12分)如圖，正方形 ABCD所在平面與三角形 CDE所在平面相交于CD,AE，平面

24、 CDE 且 AE=1, AB=2.(I )求證：AB，平面ADE;(H)求凸多面體ABCDE勺體積.f）【解答】 證明：(I ) ;A已平面CDE CD?平面CDEAEE± CD,又在正方形 ABCD中，CD±AD, AEA AD=A, CD，平面 ADE,又在正方形 ABCD中，AB / CD,AB，平面ADE.仁分)解：(H)連接BD,設B到平面CDE的距離為h,. AB/ CD, CD?平面 CDE.AB/平面 CDE,又 AE，平面 CDE.h=AE=1,又一又均.=X S.E X四得X與A 1 X向X2呼，ABCDE勺體積 V=VB cde+Vb ad（12 分

25、）凸多面體19. (12分)已知函數 義工)二二缶6冏為奇函數， 35+1(1)求a的值；(2)當0<x<1時，關于x的方程f (x) +1=t有解，求實數t的取值范圍;(3)解關于 x 的不等式 f (x2-mx) > f (2x-2m).【解答】解：(1) xC R, .r(0) =0,(3 分)(2) ._i ;孔外十, .0WxW 1, .-2<3x+1<4- -. (5 分)3K+13X+1f(K)+i<r,-(7分)(8 分)(3) f(x)=二T在R上單調遞減，.(9分) 3X+1f (x2mx) > f (2x 2m) x2 - mx&

26、lt;2x- 2m(10 分)x2- ( m+2) x+2m<0 (x- 2) (xm) < 0- -. (11 分)當m>2時，不等式的解集是x|2&x&m當m=2時，不等式的解集是x|x=220. (12分)某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場調查和預測，投資債券 等穩鍵型產品A的收益f (x)與投資金額x的關系是f (x) =kx, (f (x)的部分 圖象如圖1);投資股票等風險型產品 B的收益g (x)與投資金額x的關系是 式工)二k八G，(g (x)的部分圖象如圖2);(收益與投資金額單位：萬元).Si當m<2時，不等式的解集是x|m&am

27、p;x&2.(14分)圖2(1)根據圖1、圖2分別求出f (x)、g (x)的解析式；(2)該家庭現有10萬元資金，并全部投資債券等穩鍵型產品 A及股票等風險型 產品B兩種產品，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使投資獲得最大收益，其 最大收益為多少萬元？【解答】解：(1)設投資為x萬元，由題意，知f (1.8) =0.45, g (4) =2.5;解得k1亍，笈勺，. f (x) =1-x, x>0. g (x)得4，x>0;（2）設對股票等風險型產品B投資x萬元，則對債券等穩鍵型產品 A投資（10-x）萬元，記家庭進行理財投資獲取的收益為 y萬元，則丫吉口一冷+2，x&g

28、t; 0.設遙=t,則 x=t2, 0<t<V10.、/一 一 1 / 5、2 b 5 y= - t>j +?廠 2 P 16當t=,也即x=-時，y取最大值至"2416答：對股票等風險型產品B投資變萬元，對債券等穩鍵型產品A投資匪萬元時， |44可獲最大收益國萬元.1621. （12 分）如圖，直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，AC± BC, AC=BC=CG2, M, N 分 別為AC, B1C1的中點.（I ）求線段MN的長；（II ）求證：MN /平面 ABBA1；（田）線段CC上是否存在點Q,使AB,平面MNQ?說明理由.4d1晝曷【解答】解

29、：（I ）連接CN,因為ABC- A1B1C1是直三棱柱，所以CCL平面ABG所以AC± CC,（2分）因為AC±BC,所以AC平面BCCB1.（3分）因為 MC=1, CN,cC。一逆2=/，所以MN=*分）（n）證明：取AB中點D,連接DM, DBi（5分）在4ABC中，因為M為AC中點，所以DM/BC, DM卷BC.在矩形B1BCC中，因為N為B1C1中點，所以B1N/BC, B1N=j-BC.所以DM/BiN, DM=BiN,所以四邊形 MDBiN為平行四邊形，所以 MN /DBi.（7 分）因為MN?平面ABBAi, DBi?平面ABBA（8分）所以MN /平面ABBiAi.（9分）（田）解：線段CG上存在點Q,且Q為CC中點時，有AiB，平面MNQ. （11 分）證明如下：連接