1、6. 1募函數學習目標核心素養1 . 了解需函數的概念，會畫出事函數y=x, 7=/,y1=L尸/的圖象.（重點） -V2 .能根據甯函數的圖象，了解事函數的性質.（難點）3 .會用幾個常見的塞函數性質比較大小.（重點、難點）通過學習本節內容，提升學生 的數學抽象和邏輯推理的數學 核心素養.經調查，一種商品的價格和需求之間的關系如下表所示:價格/元0.60. 650. 70. 750.80. 850.9需求量九1.2161. 1791. 1461. 1171.0891. 0641.041根據此表，我們可以得到價格X與需求量y之間近似地滿足關系式y=x °十 這是一類怎樣的函數，這類函

2、數有什么一般的性質？1 .事函數的概念一般地，我們把形如曰1的函數稱為基函數，其中X是自變量，a是常數.2 .事函數的圖象和性質y = x2 y = x3> =X1 )=xT-1)=x定義域RRR+8 )(-8.0)U (0, + 8)值 域R10, + 8)R：。，+8)(-x.0)U (0, 4 8 )奇 偶 性奇函數偶函數奇函數非奇非 偶函數奇函數單詢性在(_ 8 , + 8 )上 單調遞增在(-8 , 0上單調 遞遴，在 ：。，+8) 上單調 遞埴在(一如， + 8 )上 單調遞埴在：0, + 8 ) 上單調遞 增在(, 0)上單調 遞由在 (0, +8) 上單詢 遞遨定 點(1

3、,1), (0,0)(1, 1), (0,0)(1, 1), (0.0)(1,1) <0.0)(14)13 .在同一平面直角坐標系中，基函數y=x, y=Y, y=f, y=),勺圖象如圖所示:1 .思考辨析(正確的打“，錯誤的打“X”)事函數的圖象不經過第四象限.()(2)事函數的圖象必過(0,0)和(1,1)這兩點.()(3)事函數y=x"的定義域為R,與指數也無關.()提示(1)由端函數的一般式y=J("為常數)及圖象可知，當*>0時，y>0,即圖象不經過第四象限.(2)y=Ji不經過(0,0)點，故錯誤.1(3)y=/,定義域為0, +8),與指數

4、有關，故錯誤.答案 J (2) X (3) X2 .若+ (2/J4)是塞函數，則 zz?+a=.m= 1 >3 由題意得I. c 所以!2n-4=0t22?= 1, m+a=3 j a=2,3 .已知哥函數£丘)=*"的圖象經過點(2,8),則f(-2)=8 8 = 2",所以 a =3,所以 f(*)=F f(-2) = (-2尸=-8.事函數的概念1R【例1】 已知y=（序+2m2）x" 1 + 2a3是基函數，求m, 的直思路點撥由基函數的定義列式求解.pzf+2m-2 = 1, 解由題意得1京-1W0，2'.2n3=0>3

5、，卬=-3, =三為所求.1 .幕函數滿足的三個特征事*"前系數為1;(2)底數只能是自變量%指數是常數：(3)項數只有一項.2 .求幕函數解析式時常用待定系數法，即設解析式為f(x)=x“，根據條件求出跟進訓練1.下列函數是哥函數的有.(填序號)2量1Qy=e：y=2x；尸” :y=.f+l：/=-：y=x .x根據事函數的定義，只有符合題意2.已知基函數f(x)=x“的圖象經過(2,陰，則 f(100)=白由題知2"=*=2萬:.f (才)_1、211A/(100) =100 £ = -= Jlob io比較大小例2 比較下列各組數中兩個數的大小:1(3)0.

6、 25 4與 6.25 % (4)1.2° 6 0. 3°-4： (5)( 3戶與(一 2)3.1解(1)是0, +8)上的增函數,1 1思路點撥可以借助塞函數y=/的單調性或化為同指數或借助于中間量進行比較.(2)尸/是(- 8, 0)上的減函數,426. 25 =2. 5乙.11，=/是0, +8)上的增函數，且2<2. 5,1 1_119 9-44：.2 <2. 5乙,即 0. 25 "<6. 25 .(4)由事函數的單調性，知1. 2° "1°l,0. 3fL從而0. 3°- *<1. 2&#

7、176; 6.2255(5)由嘉函數的奇偶性,(-3)3=33>0, (-2)3=-23<0,2 5所以(-3) 3>(-2)3.比較事值的大小，關鍵在于構造適當的函數：(1)若指數相同而底數不同，則構造案函數：若指數相同、底數不在同一單調區間，則用 奇偶性：(2)若指數與底數都不同，需考慮是否能把指數化為相同，是否可以引入中間量.跟進訓練3 .比較下列各組中兩個數的大小：_5_5(1)3 2, 3. 1 2：，Q+l)c(a>0)：22(3) (-0. 88)0, 0. 89 ._5_5_5解(1)因為函數尸X 2在(0, +8)內是減函數，所以3 2>3.1

8、2.(2)函數在(0, +8)內是增函數，又a>0, a+l>a, 所以(a+l) >/ 5.2(3)函數為偶函數，在0, +8)上是增函數，222所以(一0. 88)°= 0. 88X0. 89°.【例3】點、(木,2)與點(一 2,呂分別在事函數f(x), £x)的圖象上，問當x為何值時, 有：(1) f (*) >g(x) ： (2) /(-¥)=gGr) ； (3) fGr) <g(x).解設 F(x)=x°, £*)=/.,(g)“ = 2, (2)/= 一:，/. a =2, £ =

9、 1,£)= r.分別作出它們的圖象，如圖所示.由圖象知,(1)當X£(-8, 0) U (1, +8)時，f(x)>g(x)：當 x= 1 時，f(x) =g(x)：當 xG (0, 1)時，f(x) <g(x).1 .解決基函數圖象問題應把握研究一般的方法(1)求塞函數的定義域，再判定奇偶性：(2)先研究第一象限的圖象與性質，再根據奇偶性(對稱性)研究其它象限的圖象.2 .事函數在第一象限的圖象與性質(1)”0,嘉函數的圖象恒經過(0,0), (1,1),在0, +8)是增函數.2 2) a<Q,甯函數的圖象恒經過(1,1),在(0, +8)上是減函數

10、.3 .事函數圖象在第一象限內隨指數變化而變化的規律(1)在第一象限內直線x=l的右側，圖象從上到下，相應的指數由大變小：(2)在第一象限內直線x=l的左側，圖象從下到上，相應的指數由大變小.跟進訓練4 . （1）若四個事函數y=.d, y=Z y=A<尸=/在同一坐標系中的圖象如圖，則a, b, 。，d的大小關系是（）A. d>c>b>aB. a>b>c>dC. d>c>a>bD. a>b>d>c1函數 1的圖象關于*軸對稱的圖象大致是（）A B C D（1）B （2）B 令a=2, c=-i d=T,正好和題目所

11、給的形式相符合.在第一象限內，*=1的右側部分的圖象，圖象由下至上，哥指數增大，所以a>吩c>d故 選B.1 1（2）y=）的圖象位于第一象限且為增函數，所以函數圖象是上升的，函數y=,一 1的圖1 1象可看作由y=）的圖象向下平移一個單位得到的（如選項R中的圖所示），將y=?-l的圖 象關于X軸對稱后即為選項B.事函數的圖象與性質的綜合應用探究問題21,嘉函數的圖象應該怎么作？2提示因為0*1，故事函數的定義域為R,且為偶函數，2函數p=卡在第一象限的圖象恒過(0,0), (1,1),在0, +8)是增函數.利用偶函數的圖象關于y軸對稱，得到第二象限的圖象.(圖略)2.從上述過程

12、能否歸納出作事函數y=/的圖象的步驟？提示先求定義域，判定函數的奇偶性；再看"，按«<0,。>0米分類確定在第一象限的圖象的形狀；結合奇偶性利用圖象變換得到函數在y軸左螂的圖象.1 1 13.作出y=x 3的圖象(草圖)，并說明若* 3>丫 3時X與。的大小關系有多少種?_1提示y=x 3在第一象限內的圖象單調遞減，且為奇函數，草圖如下，_1 _1從圖象可以看出，若X 3>y 3,則有以下情況：0.Ky：*jVO；*>0>y.【例4】 已知幕函數y=Ws£hT)的圖象關于y軸對稱，且在(0, +8)上單調遞減,mm求滿足(a+1

13、) 3<(3-2a) 3的的取值范圍.思路點撥I據題中條件1 1列出不等式組1 - 函萬| I利用口函數的單調性一 I對底數分類詞定畫解函數在(0, +8)上遞減,*. 3m9<0>解得成3.又 s£V，：.m=l,2.又函數圖象關于y軸對稱，.3b-9為偶數，故。=1._1 _1，有(a+1) 3 <(3-2a)3.Vy=-Y 3在( 8, o), (0,+8)上均遞減，23/.1>3-2a>0 或 0>a+l>3 2a,或 a+l<0<3 2a,解得<不或 a< 1.J 乙所以a的取值范圍為(-8,1).1

14、.本題在解答過程中易出現忽略對底數的分類討論而產生漏解.2 .求解此類題目的關鍵是弄清事函數的概念及呆函數的性質.解決此類問題可分為兩大步：第一步，研究嘉函數的奇偶性（圖象對稱性）、第一象限的圖象的單調性求出山的值或范第二步，利用分類討論的思想，結合函數的圖象求出參數3的取值范圍.跟進訓練15.已知¥>產，則*的取值范圍是18, o) u (L +8)作出函數尸/和y=9的圖象(如圖所示)，易得a<0或-Y>1.1 .事函數y=x"的底數是自變量，指數是常數，只有一項，系數為1.2 .簡單基函數的圖象與性質的探究策略(1)先求甯函數的定義域，若對稱，判定其

15、奇偶性(一定具有奇偶性).(2)研窕基函數位于第一象限的圖象與性質”0, Q函數的圖象恒經過象0), (1,1),在0, +8)上是增函數.”0,寤函數的圖象恒經過(1,1),在(0, +8)上是減函數.(3)結合基函數的奇偶性，得到第三或第二象限的圖象與性質，密函數的圖象一定不經過第四象限.1 .下列所給出的函數中，是呆函數的是()A. j，=x 'B. y= xC. y=2xD. y=xl.A 塞函數是形如/=一的函數，觀察四個函數只有A中函數是基函數.2 .已知基函數的圖象過點(2, p,則f(4)的值是.13 將點(2,鏡)代入幕函數可得f(2) =2一的 解得即塞函數為f(x)=31可得 f(4)=42=2.4 .下列箱函數中，過點(0,0), (1,1)且為偶函數的是.(填序號)1(l)y=-v2： (2)y=x： (3)y=x S (4)y=x.(2) (1)為非奇非偶函數，(3)為不過(0, 0