1、標準實用文案二項式定理文檔、二項式定理：a b Cnoa n C1nan 1bknCnkankkbCnnbn （n N ）等號右邊的多項式叫做na b 的二項展開式，其中各項的系數Cnk (k0,1,2,3n） 叫做二項式系數。對二項式定理的理解：1 ）二項展開式有 n 1 項2）字母 a 按降冪排列，從第一項開始，次數由n 逐項減1到o ；字母b按升幕排列，從第一項開始，次數由 o 逐項加 1 到 n3 ）二項式定理表示一個恒等式，對于任意的實數a,b，等式都成立，通過對 a,b 取不同的特殊 值， 可 為某 些問 題的 解決帶 來方便。在定理中假設 a 1，b x， 則n o n 11 x

2、 Cn x Cn xk n kCnk x n knnCnnxn(nN）na b 展開，得到一個多項式；、二項展開式的通項：Tk 1 Cnkan k bk4 ）要注意二項式定理的雙向功能：一方面可將二項式n 另一方面，也可將展開式合并成二項式 a bk n k k二項展開式的通項 Tk 1 Cnkan kbk （k o,1,2,3 n） 是二項展開式的第 k 1 項，它體現了 二項展開式的項數、 系數、次數的變化規律， 是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特 定項（如含指定冪的項、常數項、中間項、有理項、系數最大的項等）及其系數等方面有廣 泛應用k n k k對通項 Tk 1 Cnkan kb

3、k （k o,1,2,3 n） 的理解：（1 ）字母 b 的次數和組合數的上標相同（2）a與b的次數之和為n（3）在通項公式中共含有 a,b,n,k,Tk 1這 5個元素，知道 4個元素便可求第 5 個元素例 1. C：3C' 9Cn3n 1 n3 Cn等于( )4n4n 1A.4n B。 3 4nCo1D.-33例2 .(1 )求(12x)7的展開式的第四項的系數；(2)求(x丄)9的展開式中x3的系數及二項式系數x三、二項展開式系數的性質:對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即c；,c：Cn 1,CnC：Cn 增減性與最大值：在二項式展開式中，二項式

4、系數先增后減，且在中間取得最大值。nk如果二項式的幕指數是偶數，中間一項的二項式系數最大，即n偶數：Cn max Cf ；n 1n 1如果二項式的幕指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并最大，即c： maxcF 二項展開式的各系數的和等于2n，令a 1，b 1即c° cnC； (1 1)n 2n ； 奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等，令a 1，b 1即CnC1 Cn2n11例題：寫出(x y)的展開式中:(1 )二項式系數最大的項；(2)項的系數絕對值最大的項；(3 )項的系數最大的項和系數最小的項;(4) 二項式系數的和;(5) 各項系數的和四、多項式的展開式及展開式

5、中的特定項（1 ）求多項式（印 a2an）n的展開式，可以把其中幾項結合轉化為二項式，再利用二項式定理展開。213例題：求多項式（X2 2）3的展開式x（2 ）求二項式之間四則運算所組成的式子展開式中的特定項，可以先寫出各個二項式的通 項再分析。253例題：求（1 x） （1 x）的展開式中X3的系數例題：（1）如果在24 x的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中的有理項。(2 )求32 的展開式的常數項。【思維點撥】 求展開式中某一特定的項的問題時，常用通項公式，用待定系數法確定k五、展開式的系數和求展開式的系數和關鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據所求的展開式系數和特征來定727(1

6、 ) aia2L a7 ；例題：已知（1 2x）ao aix a2X L a7x，求：(2) Ba3 a5 a7 ；( 3) | 比 | | ai | L1 a7 1 .六、二項式定理的應用：1、二項式定理還應用與以下幾方面：（1 ）進行近似計算（2 ）證明某些整除性問題或求余數（3）證明有關的等式和不等式。如證明：2n2n n 3,n N 取 2n1 1 n 的展開式中的四項即可。2、各種問題的常用處理方法（1 ）近似計算的處理方法當n不是很大，| x|比較小時可以用展開式的前幾項求（1 x）n的近似值。6例題： （1.05）6 的計算結果精確到 0.01 的近似值是（）A 1.23B1.2

7、4C1.33D 1.34（2 ）整除性問題或求余數的處理方法 解決這類問題，必須構造一個與題目條件有關的二項式 用二項式定理處理整除問題，通常把幕的底數寫成除數的倍數與某數k的和或差的形式，再利用二項式定理展開，這里的k通常為 1，若k為其他數，則需對幕的底數k再次構造和或差的形式再展開，只考慮后面（或者是某項）一、二項就可以了 要注意余數的范圍， 對給定的整數 a,b（b 0） ，有確定的一對整數 q 和 r ，滿足 a bq r ，其中b為除數，r為余數，r 0, b，利用二項式定理展開變形后，若剩余部分是負數,要注意轉換成正數例題：求201363除以7所得的余數例題：若n為奇數，則7n

8、C：7n1 Cn7n 2n 1Cn 7被9除得的余數是()A. 0 B。2 C。7D.81例題：當n N且n>1，求證2(1-)n 3n【思維點撥】 這類是二項式定理的應用問題，它的取舍根據題目而定綜合測試、選擇題：本大題共 12個小題，每小題 5分，共60分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1在x 3 10的展開式中，X6的系數為A 27C：。B 27C4oC 9c1o4D 9Cio2 已知 a b 0,b 4a,a b n的展開式按a的降幕排列，其中第n項與第n+1項相等，那么正整數 n等于A 4B 9C 10D 111)n的展開式的第三項與第二項的系數的比為11 :

9、 2，貝U n 是()A 10B 11C 12D 134 5310被8除的余數是( )A 1B 2C 3D 75 (1.05) 6的計算結果精確到0.01的近似值是( )A 1.23B 1.24C 1.33D 1.3432 an6 二項式 2 x 1 (n N)的展開式中，前三項的系數依次成等差數列，則此展開 V7式有理項的項數是1 17 .設(3x 3 +x 2) n展開式的各項系數之和為t，其二項式系數之和為h，若t+h=2 72，則展開式的x2項的系數是( )A. 1B . 1C . 2D . 328 .在(1 xx )的展開式中x5的系數為( )A . 4B . 5C . 6D . 7

10、9 . (3 X 5 X)n展開式中所有奇數項系數之和等于1024，則所有項的系數中最大的值是11 .二項式(1+sinx)n的展開式中，末尾兩項的系數之和為7,且系數最大的一項的值為A . 330B . 462C . 680D .790410 . ( . x 1) (x1)5的展開式中，x4的系數為()A. 40B . 10C . 40D .45-或23312 .在(1+ x)5+(1+ x)6+(1+ X)7的展開式中x4項的系數是等差數列an=3 n 5A .第2項B .第11項第20項第24項則x在0, 2 n內的值為A .一或一63二、填空題：本大題滿分 16分，每小題4分，各題只要

11、求直接寫出結果 13 .(X2 丄)9展開式中X9的系數是2x14 .若 2x3a0a1xa4x4，貝Ua0a2a42a1a32的值為15 .若(x3 x 2)n的展開式中只有第 6項的系數最大，則展開式中的常數項是 .16 對于二項式（1-x） 1999，有下列四個命題：zip-, tj -i-r- _k. | t |1000999 展開式中T 1000 = C 1999 X 展開式中非常數項的系數和是1 ； 展開式中系數最大的項是第1000項和第1001項；1999 當x=2000 時，（1-x） 除以2000的余數是1 其中正確命題的序號是（把你認為正確的命題序號都填上）三、解答題：本大

12、題滿分74分.117 （ 12分）若（6、X a ）n展開式中第二、三、四項的二項式系數成等差數列.Vx（1）求n的值；（2）此展開式中是否有常數項，為什么？18 （ 12分）已知（丄2x）n的展開式中前三項的二項式系數的和等于37，求展式中二項4式系數最大的項的系數.19 . （12分）是否存在等差數列an，使aQ*a2C；a3cnanC；n2n對任意 n N* 都成立？若存在，求出數列 a n 的通項公式；若不存在，請說明理由20 . （12分）某地現有耕地100000畝，規劃10年后糧食單產比現在增加 22%，人均糧食占有量比現在提高 10%。如果人口年增加率為 1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）？21 . （ 12分）設f（x）=（1+x） m+（1+x） n（m、n N）,若其展開式中，關于 x的一次項系數為11，試問：m、n取何值時，f（x）的展開式中含x2項的系數取最小值，并求出這個最小值22 . （14分）規定CTx（x &#