1、 第 5 節向心加速度 1 圓周運動是變速運動，故圓周運動一定有加速度, 任何做勻速圓周運動的加速度都指向圓心，這個加 速度叫向心加速度。 2 、 V 2 、 2 .向心加速度的大小為 an= = r 3，向心加速度方向 r 始終沿半徑指向圓心，與線速度垂直。 3 .向心加速度是由物體受到指向圓心的力產生的，反 映了速度方向變化的快慢。 課前自上學習，基和才能樓高 圓周運動是變速運動，變速運動必有加速度。 二、向心加速度 1. 定義 做勻速圓周運動的物體具有的指向圓心的加速度。 2. 大小 2 V 2 (1) an= ； (2) an= 3 r。一、感受圓周運動的向心加速度 1.圓周運動必有加

2、速度 實例 地球繞太陽做(近似的)勻速圓周運動 光滑桌面上的小球由于細線的牽引，繞 桌面上的圖釘做勻速圓周運動 受力 地球受太陽的引力，方向指向太陽中 丿 、小球受重力、支持力、拉力二個力，合 分析 心，即為地球軌跡的圓心 力總是指向圓心 加速度 分析 由牛頓第二疋律知，加速度方向與其合外力方向相冋，指向圓心 2. 2 3. 方向 沿半徑方向指向圓心，與線速度方向垂直。 小球的向心加速度是恒定的嗎？其方向一定指向圓心嗎？ 提示：小球的向心加速度方向時刻指向圓心， 方向時刻改變，因此，小球的向心加速度 不是恒定的。 （2）若手握繩子的位置不變，增加小球的轉速，則它的向心加速度大小如何變化？ 提示

3、：根據a= 3 2r可知，當半徑不變時，角速度變大時，加速度 a也變大。 通知識 1. 物理意義 描述線速度改變的快慢，只表示線速度的方向變化的快慢，不表示其大小變化的快慢。 2方向 總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直，方向時刻改變。 3圓周運動的性質 不論加速度an的大小是否變化，an的方向是時刻改變的， 所以圓周運動一定是變加速曲 線運動。 1自主思考一一判一判 （1） 勻速圓周運動的加速度的方向始終不變。（X） （2） 勻速圓周運動是勻變速曲線運動。（X） 勻速圓周運動的加速度的大小不變。（V） 2 根據a=冷知加速度a與半徑r成反比。（X） 2.合作探究 如圖 5

4、-5-1 議一議 所示，小球在拉力作用下做勻速圓周運動，請思考： 課堂講考點一 對向心加速度的理解 圖 5-5-1 3 4. 變速圓周運動的向心加速度 做變速圓周運動的物體， 加速度并不指向圓心， 該加速度有兩個分量：一是向心加速度， 二是切向加速度。向心加速度表示速度方向變化的快慢， 切向加速度表示速度大小變化的快 慢。所以變速圓周運動中，向心加速度的方向也總是指向圓心。 0通題組 1關于做勻速圓周運動物體的向心加速度方向，下列說法正確的是 （ ） A. 與線速度方向始終相同 B. 與線速度方向始終相反 C. 始終指向圓心 D. 始終保持不變 解析：選 C 做勻速圓周運動的物體，它的向心加速

5、度始終與線速度垂直且指向圓心， 加速度的大小不變，方向時刻變化，所以 C 正確。 2關于向心加速度的物理意義，下列說法正確的是 （ ） A. 它描述的是線速度大小變化的快慢 B. 它描述的是線速度方向變化的快慢 C. 它描述的是物體運動的路程變化的快慢 D. 它描述的是角速度變化的快慢 解析：選 B 向心加速度始終與線速度方向垂直，故向心加速度只表示線速度的方向改 變的快慢，不表示線速度的大小改變的快慢， A、D 錯誤，B 正確；圓周運動中，線速度是描 述物體運動路程變化快慢的物理量， C 錯誤。 3. 關于向心加速度，以下說法中錯誤的是 （ ） A. 向心加速度的方向始終與線速度方向垂直 B

6、. 向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小 C. 物體做圓周運動時的加速度方向始終指向圓心 D. 物體做勻速圓周運動時的加速度方向始終指向圓心 解析：選 C 向心加速度的方向沿半徑指向圓心， 速度方向則沿圓周的切線方向。 所以， 向心加速度的方向始終與速度方向垂直， 只改變線速度的方向， 物體做勻速圓周運動時， 只 具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心； 一般情況下，圓周運動的向心加速度與切向加 速度的合加速度的方向不一定始終指向圓心。故 A B、D 正確，C 錯誤。 4 對向心加速度公式的理解和應用 I - V - 通知識5 2 v 1 .公式an = r 該公式表明，對于勻速圓

7、周運動，當線速度一定時，向心加速度的大小與運動半徑成反 比；當半徑一定時，向心加速度的大小與線速度的平方成正比。 該公式常用于分析涉及線速 度的圓周運動問題或有兩個物體做圓周運動且它們的線速度相同的情景。 2 .公式 an = 3 2r 該公式表明，對于勻速圓周運動， 當角速度一定時，向心加速度的大小與運動半徑成正 比；當半徑一定時，向心加速度的大小與角速度的平方成正比。 該公式常用于分析涉及角速 度的圓周運動問題或有兩個物體做圓周運動且它們的角速度相同的情景。 3.公式拓展 在以上兩個公式的基礎上， 結合描述勻速圓周運動的各物理量之間的關系， 可得到以下 2 4冗 2 2 公式：an =3

8、v=千 r = 4 n nr。 4. 向心加速度與半徑的關系 典例 如圖 5-5-3 亠圖1 i 動，大輪的半徑是小輪半徑的 2 倍，大輪上的一點 S離轉動軸的距離是大輪半徑的 當大 3 2 輪邊緣上的P點的向心加速度是 12 m/s2時，大輪上的 S點和小輪邊緣上的 Q點的向心加速 度各為多少? 審題指導 根據上面的討論，加速度與半徑的關系與物體的運動特點有關。若線速度 疋， an與r 成反比；若角速度(或周期、轉速)一定，an與r成正比。如圖 5-5-2 所示。 通方殺 ,一個大輪通過皮帶拉著小輪轉動， 皮帶和兩輪之間無相對滑 圖 5-5-2 乙 6 P和S在同一輪上，角速度相同，選用 a

9、n = 3 2r計算向心加速度。 2 (2) P和Q為皮帶傳動的兩個輪邊緣上的點，線速度相等，選用 an=十計算向心加速度。 解析同一輪子上的S點和P點的角速度相同，即 3 S= 3 P。 7 as r S 由向心加速度公式an=，得曠F；， rs 1 2 as=站 3 x 12 m/s = 4 m/s 又因為皮帶不打滑，所以皮帶傳動的兩輪邊緣上各點的線速度大小相等，即 VP= VQ, 2 v 由向心加速度公式 an= r 得ap rQ 得=, aQ rp rp 2 2 故 aQ= ap= 2x 12 m/s = 24 m/s。 r Q 2 2 答案4 m/s 24 m/s 向心加速度公式的應

10、用技巧 向心加速度的每一個公式都涉及三個物理量的變化關系， 必須在某一物理量不變時分析 另外兩個物理量之間的關系。在比較轉動物體上做圓周運動的各點的向心加速度的大小時， 應按以下步驟進行： (1) 先確定各點是線速度大小相等，還是角速度相同。 (2) 在線速度大小相等時，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時，向心加速度與 半徑成正比。 1. (多選)如圖 5-5-4 所示是甲、乙兩球做圓周運動的向心加速度隨半徑變化的關系圖 像，下列說法中正確的是 ( ) A. 甲球線速度大小保持不變 B. 乙球線速度大小保持不變 C. 甲球角速度大小保持不變 圖 5-5-4 8 D. 乙球角速度大小保持不變

11、 a與R成反比，由a=倉知，當v 一定時，aR故甲 球線速度大小不變。對乙： a與R成正比，由a= 3 2R知，當3解析：選 AD 從圖像知，對甲: 定時，a* R故乙球角速 9 度一定。 2. 一轎車以 30 m/s的速率沿半徑為 60 m 的圓形跑道行駛。當轎車從A點運動到B點時, 轎車和圓心的連線轉過的角度 0 = 90,求: (1)此過程中轎車位移的大小。 (2)此過程中轎車運動的路程。 (3) 轎車運動的向心加速度的大小。 解析：(1)轎車的位移為從初位置到末位置的有向線段, R= 2 X 60 m 85 m。 3 14 路程等于弧長，I = R0 60X m = 94.2 m。 V

12、2 302 2 2 向心加速度的大小 a= = m/s = 15 m/s。 R 60 2 答案：(1)85 m (2)94.2 m (3)15 m/s 課后規級訓練岀步提升港力 _、基礎題窗熟 1 下列關于勻速圓周運動的性質的說法正確的是 () A. 勻速運動 B.勻加速運動 C.加速度不變的曲線運動 D .變加速曲線運動 1 7 X) 解析：選 D 勻速圓周運動是變速運動，它的加速度大小不變，方向始終指向圓心，是 變量，故勻速圓周運動是變加速曲線運動， A、B C 錯，D 對。 2. 下列關于質點做勻速圓周運動的說法中，正確的是 ( ) 2 A. 由a=半知a與r成反比 B. 由a= 3 r

13、知a與r成正比 C. 由3 =-知3與 r 成反比 r 其大小為線段的長度 圖 5-5- 10 D. 由3 = 2 n n知3與轉速n成正比 2 V 2 解析：選 D 由a=：知，只有當v 一定時a才與r成反比；同理，由a= 3 r知，只有11 v 當3 定時a才與r成正比；由3= 知v 一定，3與r成反比，故 A B、C 均錯誤。而 3 = 2n n中，2 n是定值，3與轉速n成正比，D 正確。 3. （多選）一只質量為 m的老鷹，以速率v在水平面內做半徑為 r的勻速圓周運動，則 關于老鷹的向心加速度的說法正確的是 2 v B .大小為g C. D. 解析：選 BD 做勻速圓周運動的小球，相

14、對于圓心的位移大小不變，但方向時刻在改 2 i 變，故 A錯誤。由公式 a =2 A.大小為* C.方向在水平面內 D .方向在豎直面內 2 解析：選 AC 根據an=可知選項 A 正確; 由于老鷹在水平面內運動，向心加速度始終 指向圓心，所以向心加速度的方向在水平面內, C 正確。 4. （多選）一小球被細線拴著做勻速圓周運動， 若其軌道半徑為 R,向心加速度為a,則 A. 小球相對于圓心的位移不變 B. 小球的線速度大小為 Ra 5. 如圖 1 所示，A B為嚙合傳動的兩齒輪, rA= 2B,則A B兩輪邊緣上兩點的（ 小球在時間t內通過的路程為 小球做圓周運動的周期為 2 n 2 4 n

15、 . a= T2 R知 T= 2 故 D 正確。 12 碁得v= aR故 B 正確。由v=*知 I = v t = t aR故 C 錯誤。由 A. 角速度之比為 2 : 1 B. 向心加速度之比為 1 : 2 C. 周期之比為 1 : 2 D. 轉速之比為 2 : 1 2 v 、 =1 : 2，故 A 錯誤；由an = ，得向心加速度之比為 aA: aB= r B : r A= 1 : 2，故 B 正確；由T解析：選 B 根據兩輪邊緣線速度相等，由 v= 3 r ,得角速度之比為 3 A : 3 B= rB :A 13 2 n r ，得周期之比為 TA： TB=A： rB= 2 : 1,故 C

16、 錯誤；由 3 A： 3 B= 1 : 2，故 D 錯誤。 6. （多選）如圖 2 所示，一個球繞中心軸線 OO以角速度 由 v= 3 r 知 VaVb, A 錯誤；又 ra= “cos 0，則當 0 = 30 時，ra=b，貝U va : Vb= ra : rb = .；3 : 2, C 正確；由 an= 3 r 知 aa ： ab= ra : r b= . 3 : 2, D 正確。 二、易錯題明 7. （多選）小金屬球質量為 、 門二；3，得轉速之比為 2 n 3做勻速圓周運動，則 A. a、 b兩點的線速度相同 B. a、 b兩點的角速度相同 C. D. 解析: 0 = 30，貝U a、

17、b兩點的線速度之比 va : Vb=, 3 : 2 aa: ab= 13 : 2 選 BCD 由于a、b兩點在同一球體上， 因此a、b兩點的角速度 3相同，B 正確; 0 = 30，則a、b兩點的向心加速度之比 A. 小球的角速度突然增大 B. 小球的線速度突然減小到零 C. 小球的向心加速度突然增大 D. 小球的線速度突然增大 L的輕懸線固定于 0點，在0點的正下方寺處釘有 3 所示，若無初速度釋放小球。當懸線碰到釘子后 1 的瞬間（設線沒有斷）（ 14 顆釘子P,把懸線沿水平方向拉直，如圖 解析：選 AC 由題意知，當懸線運動到與釘子相碰時，懸線仍然豎直，小球在豎直方 向仍然只受重力和懸線

18、的拉力，故其運動方向不受力，線速度大小不變；又3 =v,r減小 15 2 v 所以3增大；a= , r減小則a也增大，故 A、C 正確。 8. （多選）關于向心加速度，以下說法中正確的是 （ ） A. 物體做勻速圓周運動時，向心加速度就是物體的合加速度 B. 物體做圓周運動時，向心加速度就是物體的合加速度 C. 物體做圓周運動時的加速度的方向始終指向圓心 D. 物體做勻速圓周運動時的加速度的方向始終指向圓心 解析：選 AD 物體做勻速圓周運動時，向心加速度就是物體的合加速度；物體做變速 圓周運動時，向心加速度只是合加速度的一個分量， A 正確，B 錯誤。物體做勻速圓周運動 時，只具有向心加速度

19、， 加速度方向始終指向圓心；物體做變速圓周運動時，圓周運動的向 心加速度與切向加速度的合加速度不再指向圓心， C 錯誤，D 正確。 三、能力題魯通 9如圖 4 所示為兩級皮帶傳動裝置，轉動時皮帶均不打滑，中間兩個輪子是固定在一 起的，輪 1 的半徑和輪 2 的半徑相同，輪 3 的半徑和輪 4 的半徑相同，且為輪 1 和輪 2 半徑 的一半，則輪 1 邊緣的a點和輪 4 邊緣的c點相比（ ） A. 線速度之比為 1 : 4 B. 角速度之比為 4 ： 1 C. 向心加速度之比為 8 : 1 D. 向心加速度之比為 1 : 8 由題意知 2Va= 2V3= V2= VC,其中V2、V3為輪 2 和

20、輪 3 邊緣的線速度，所以 Va : VC= 1 : 2, A 錯。 1 4, B 錯。 10.運用納米技術能夠制造出超微電機， 英國的一家超微研究所宣稱其制造的超微電機 解析：選 D 設輪 4 的半徑為r, 2 Va 貝 V aa= = r 2r 2 8r 1 ac,即 aa : ac = 1 : 8, C 錯, 8 Va r 3 a r a D 對。= 3 C VC r 10X 10 16 轉子的半徑只有 30 卩 m 轉速高達 2 000 r/min，試估算位于轉子邊緣的一個質量為 26 kg 的原子的向心加速度。 （保留兩位有效數字） 解析：周期 s = 0.03 s 2n = T=

21、200 n 3 rad/s 2 ,a= r = 頂 x：m 2 9 17 r A M 圖 6 圖 5 )3.14 rad/s (2)1.5 m (3)3 : 4 6 所示的裝置可以測量彈簧槍發射子彈的出口速度。 -6 2 2 x 30 x 10 m/s 1.3 m/s 。 答案：1.3 m/s 2 11.申雪、趙宏博是我國雙人花樣滑冰的名將，曾代表祖國在世界各大比賽中取得了驕 人的成績。如圖 5 所示是模擬趙宏博(男)以自己為轉動軸拉著申雪(女)做勻速圓周運動，若 趙宏博的轉速為 30 r/min，申雪觸地冰鞋的線速度為 4.7 m/s。 若他們手拉手繞他們連線上的某點做勻速圓周運動，已知男、女運動員觸地冰鞋的 線速度分別為 3.6 m/s和 4.8 m/s，問男、女運動員做圓周運動的半徑之比為多少? 解析：(1)