1、 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度. .),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則則瞬瞬時時速速度度為為的的變變化化率率對對時時間間是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處處的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱存存在在即即處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)如如果果函函數(shù)數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 第二節(jié)第二節(jié)3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義類似地：二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為類似地：二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三

2、階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)； n1 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)；分別記為：分別記為：)()4(,nyyyy 定義 函數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 若仍然可若仍然可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù) 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 的的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù). .記為記為)(xfy )(xf )(xfy ) )( xf22)(dxydxfy或或 dxdydxddxyd22這是歸納定義：這是歸納定義： )1()(nnyy 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）nndxyddxyddxyddxyd,443322)(xf0 xxnndxyd注注(1) 二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù). . 簡單說

3、簡單說: :對對 求求n n次導(dǎo)數(shù)稱為次導(dǎo)數(shù)稱為n n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù). . 本身稱為本身稱為零階導(dǎo)數(shù)零階導(dǎo)數(shù). . 稱為稱為1 1階導(dǎo)數(shù)。階導(dǎo)數(shù)。若若 具有具有 n 階導(dǎo)數(shù)，則稱階導(dǎo)數(shù)，則稱 為為 n 階可導(dǎo)階可導(dǎo). . )(xfy )(xf)(xf或或 11nnnndxyddxddxyd)(xf)(xf 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上） 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例1 設(shè)設(shè) ，求，求 . .xxy y 解解 因為因為 ， 0,0,22xxxxy0lim)0()(lim)0(00 xxfxffxx0)(lim)0()(lim)0(00 xxfxffxx故故0)0(0 fyx所以所以 高等數(shù)學(xué)（上

4、）高等數(shù)學(xué)（上） 0,20,00,2xxxxxy因而因而又因為又因為2)0()(lim)0(0 xfxffx2)0()(lim)0(0 xfxffx所以所以 不存在不存在. .)0(0fyx 故而故而 0,20,不存在0,2xxxy 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）)(ln,0)(xfyxxf 有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在1 xyxxfxy1)(ln)( 解解) 0 () 0 (ff 1) 0 (1)(lnlim1) 1 ()(lim) 1 (11 xfxxfxyxyyxx1) 0 () 0 (1) 0 (11)(lnlim1 xffxfxxxfx) 11(1) 0 () 1() 0 ()(lnlim

5、1 xxfxxfxfx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）評述:4抽象函數(shù)關(guān)于某一點或分段函數(shù)在分段點 求(高階)導(dǎo)數(shù),多用定義求導(dǎo).注意,不要動不 動就左導(dǎo)數(shù),右導(dǎo)數(shù),需要時才用.4求具體函數(shù)的低階導(dǎo)函數(shù),據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定義, 應(yīng)一階一階地求,即按照y,y,的次序一 步一步地求. 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例3 設(shè)設(shè) ，求，求 . .1324 xxxy)(ny解解1643 xxy6122 xyxy24 ! 424)4( y0)( ny5 nnnnnaxaxaxay1110.,)43()32)(2(632）（求求yxxxy !0)(nayn 0)( kynk !632326 y 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)

6、學(xué)（上）例例4.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy) 1() 1() 1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 則則不不是是自自然然數(shù)數(shù)若若,n 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）評述:4求簡單函數(shù)的高(n)階導(dǎo)數(shù),先求若干階導(dǎo)數(shù), 一般求至3,4階,然后,盡量把它們變換成同一 形式,以利于用不完全歸納法得一般規(guī)律,最 后指出n的范圍. 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例5 設(shè) ，求，求 . .xey )( ny解解,xey ,xey xey 例例6 設(shè) ，求，求

7、. .xysin )(ny解解)2sin(cos xxy)22sin()22sin()2cos( xxxy)23sin()222sin()22cos( xxxy一般地一般地xney )( ?)( nkxek-常數(shù) kxnnkxeke )(n=0,1,2, 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）一般地一般地)2sin()( nxyn類似有類似有 )2cos(cos)( nxxn即即 )2sin(sin)( nxxn ?sin)( nkx )2sin(sin)( nkxkkxnnk-常數(shù)n=0,1,2, n=0,1,2, 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）高階導(dǎo)數(shù)的運算法則高階導(dǎo)數(shù)的運算法則: :則則階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)

8、具具有有和和設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),nfvu)()()()()1(nnnvuvu 常常數(shù)數(shù) CCuCunn)()()()2(常常數(shù)數(shù) hkhkxfkhkxfnnn,)()()3()()(（4）萊布尼茨（）萊布尼茨（Leibniz）公式）公式.)3( ,)2(),1(是是復(fù)復(fù)合合運運算算性性質(zhì)質(zhì)合合稱稱線線性性性性質(zhì)質(zhì) 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）評述:4求不太復(fù)雜函數(shù)的高(n)階導(dǎo)數(shù),應(yīng)先行將函 數(shù)化為外層是簡單函數(shù),中間變量用線性函數(shù), 復(fù)合而成的這類函數(shù)的線性組合, 然后借助高 階導(dǎo)數(shù)的線性運算性質(zhì)得結(jié)論.簡單函數(shù)指：,cos,sin,log,ln,xxxxaexaxx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）

9、xbaxbay)cos()cos(21解.2)(cos)(212)(cos)(21nxbabanxbabaynnn）（因此，22cos1sin2xx 84cos2cos43xx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例7 設(shè) ，求求 . .xxy66cossin )(ny解解xxxxysincos6cossin655 xxx44cossin2sin3 xxx22cossin2sin3 x4sin23 )1()( nnyy)1(4sin23 nx )1(4sin23 nx 2)1(4sin4231 nxn 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例8 設(shè) ，求，求 . .xy1 )(ny32 xy423 xy解解

10、2 xy21x 32! 2)1(x 43! 3)1(x 5)4(234 xy54! 4)1(x 一般地一般地1)(!)1(1 nnnxnxn=0,1,2, 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）自己做自己做1)()1 (!) 1(11nnnxnx例例9.,11)5(2yxy求設(shè)解解)1111(21112xxxy) 1(! 5)1 (! 52166)5(xxy) 1(1)1 (16066xx?11)( nx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）一般地要求一般地要求 的的 ，則可，則可)(dcxbaxFExy )(nydcxBbaxAy其中其中 ， 待定，然后利用公式待定，然后利用公式(1)(2)(1)(2)求求

11、. .BA)(ny常常數(shù)數(shù) ,)()()()(nnnvuvu 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）232xxxy11)()2(!) 1(2) 1(!) 1(nnnnnxnxny) 1()(11nnxynnxn)1 ()!1() 1()1(.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解.,ln)( nybxabxay求求 nnnnbxabxabn)(1)() 1()!1(1 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）二、二、 高階導(dǎo)數(shù)的運算法則高階導(dǎo)數(shù)的運算法則: :則則階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)具具有有和和設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),nfvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()()3()()(hkxfkhkx

12、fnnn （4）萊布尼茨（萊布尼茨（Leibniz）公式）公式)()(0)()(kknnkknnvuCuv )()2()2(2)1()1(1)(nnnnnnuvvuCvuCvu )()2()2()1()1()(! 2)1(nnnnuvvunnvnuvu （歸納法證） 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例11 設(shè) ，求，求 . .xxysin2 )20(y解解 令令 ， , ,則則xusin 2xv xv2 2 v0)4( vv由萊布尼茨公式有由萊布尼茨公式有 )20(2)20(sin xxy 2sin2sinsin)18(220)19(1202)20(xCxxCxx 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）

13、2sin2sinsin)18(220)19(1202)20(xCxxCxx 2218sin219202219sin20220sin2 xxxxxxxxxxsin380cos40sin2 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）例例12 設(shè)設(shè) 連續(xù)，且連續(xù)，且)(xg )()()(2xgaxxf 求求 . . )(af 解解)(xg可導(dǎo)可導(dǎo))()()()(2)(2xgaxxgaxxf 0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag )(af axafxfax )()(lim故故 ?)()11afgnn連續(xù)，求連續(xù)，求 ?)()()()( 4)(2) 22得得令令可可ax

14、xgaxxgaxxgf agnnn 2) 1( 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上） 求高階導(dǎo)數(shù)的方法小結(jié)4抽象函數(shù)關(guān)于某一點或分段函數(shù)在分段點求(高階) 導(dǎo)數(shù),多用定義求得.4具體函數(shù)的低階導(dǎo)數(shù)要由一階導(dǎo)數(shù),二階導(dǎo)數(shù), 依序算出.4簡單函數(shù)類的高階導(dǎo)數(shù)求至3,4階后,盡量把它們 變換成同一形式,用不完全歸納法得一般規(guī)律.簡單 函數(shù)類指xa,ex,ax,sinx,cosx,Lnx等和中間變量為線性 的函數(shù)復(fù)合而成.4不太復(fù)雜函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),先化成簡單函數(shù)類的線 性組合,而后用高階導(dǎo)數(shù)的線性運算法則做.4尤其是多項式和簡單函數(shù)類乘積的高階導(dǎo)數(shù),用 Leibniz公式. 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）課堂練

15、習(xí)課堂練習(xí)一、一、 求高階導(dǎo)數(shù)：求高階導(dǎo)數(shù)： 1 1、設(shè)、設(shè)xxyarctan)1(2 ，則，則 y = =_。 2 2、設(shè)設(shè)2xxey , ,則則 y = =_ _ _ _ _ _ _。 3 3、設(shè)設(shè))(2xfy , ,)(xf 存存在在，則則 y = =_ _ _ _ _ _ _。 4 4、設(shè)、設(shè)nnnnnaxaxaxax 12211 ( (naaa,21都是常數(shù)都是常數(shù)) )，則，則 )(ny= =_。 5 5、設(shè)、設(shè))()2)(1()(nxxxxxf , , 則則 )()1(xfn = =_。 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）二、二、 試從試從ydydx 1，導(dǎo)出：，導(dǎo)出： 1 1、322

16、)(yydyxd 2 2、5233)()(3yyyydyxd . . 三、三、 求下列函數(shù)的求下列函數(shù)的 n n 階導(dǎo)數(shù)：階導(dǎo)數(shù)： 1 1、2323 xxxy 2 2、y y= =s si in n4 4x x + + c co os s4 4x x ).1 (),673ln(3)(2nyxxy求、xkexf)( 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）0) 1() 12 ()1 () 1(2)() 1(2nnnynxynyxyxyx4)(arcsin4)(1 ( :222 平平方方后后移移項項211arcsin2:xxy 求求導(dǎo)導(dǎo))(推推導(dǎo)導(dǎo):再再求求導(dǎo)導(dǎo)2)1 (2 yxyx:2y 消消去去yyyxyx 4)1 ( 2)(222 高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）2)1 (2 yxyx0)()1()()1(10)(21)1(10)(1 knnkkknknnkkknyxCyxC022) 2)(1(2 ) 1()1 () 1() 1()() 1(2) 1()( nnnnnynnxynyxynxy0) 1() 12()1 ()1(2)()1(2 nnnynxynyx整整理理)0() 1()0(:0)1(2)1( nnynyx令令, 2