1、第五章時間序列數據的平穩性檢驗本章要點平穩性的定義平穩性的檢驗方法（ADF檢驗） 偽回歸的定義協整的定義及檢驗方法（ AEG方法）誤差修正模型的含義及表示形式第一節隨機過程和平穩性原理一、隨機過程一般稱依賴于參數時間t 的隨機變量集合為隨機過程。例如，假設樣本觀察值y1，y2,yt是來自無窮隨機變量序列 y-2, y-1,y0 ,y1 ,y2 的一部分，則這個無窮隨機序列稱為隨機過程。隨機過程中有一特殊情況叫白噪音，其定義如下：如果隨機過程服從的分布不隨時間改變，且二、平穩性原理 如果一個隨機過程的均值和方差在時間過程上都是常數，并且在任何兩時期的協方差值僅依賴于該兩時期間的距離或滯后，而不依

2、賴于計算這個協方差的實際時間，就稱它為平穩的。平穩隨機過程的性質：均值（對所有t）方差（對所有 t ）協方差（對所有 t ） 其中即滯后 k 的協方差 或自 身 協方差 ，是和，也就是相隔 k 期的兩值之間的協方差。三、偽回歸現象 將一個隨機游走變量（即非平穩數據）對另一個隨機游走變量進行回歸可能導致荒謬的結果， 傳統的顯著性檢驗將告知我們變量之間的關系是不存在的。 有時候時間序列的高度相關僅僅是因為二者同時隨時間有向上或向下變動的趨勢， 并沒有真正的聯系。 這種情況就稱為“偽回歸”（Spurious Regression ）。 第二節 平穩性檢驗的具體方法一、單位根檢驗（一）單位根檢驗的基本

3、原理DavidDickey和WayneFuller的單位根檢驗 （unitroot test ）即迪基富勒（DF）檢驗，是在對數據進行平穩性檢驗中比較經常用到的一種方法。DF檢驗的基本思想：從考慮如下模型開始：由式 5.1 ,我們可以得到：依次將式 5.45.3、 5.2代入相鄰的上式，并整理，可得：（2）若1，則當 T時，即對序列的沖擊隨著時間的推移其影響反而是逐漸增大的，很顯然，此時序列是不穩定的。（3 ）若1，則當 T時，1，即對序列的沖擊隨著時間的推移其影響是不變的， 很顯然，序列也是不穩定的。 對于式（ 5.1 ），DF檢驗相當于對其系數的顯著性檢驗，所建立的零假設是： H0 ： 如

4、果拒絕零假設，則稱 Yt 沒有單位根，此時 Yt 是平穩的；如果不能拒絕零假設，我們就說 Yt 具有單位根，此時 Yt 被稱為隨機游走序列（ random walk series）是不穩定的。方程（ 5.1 ）也可以表達成： I 1過程在金融、經濟時間序列數據中是最普遍的，而I 0 則表示平穩時間序列。從理論與應用的角度， DF 檢驗的檢驗模型有如下的三個：其中 t 是時間或趨勢變量，在每一種形式中，建立的零假設都是：H0：或H0：，即存在一單位根。（5.7 ）和另外兩個回歸模型的差別在于是否包含有常數（截距）和趨勢項。如果誤差項是自相關的，就把（5.9）修改如下：式（5.10 ）中增加了的滯

5、后項，建立在式（ 5.10 ）基礎上的DF檢驗又被稱為增廣的DF檢驗（ augmentedDickey-Fuller，簡記 ADF）。ADF檢驗統計量和 DF統計量有同樣的漸近分布，使用相同的臨界值。（二） ADF檢驗模型的確定首先，我們來看如何判斷檢驗模型是否應該包含常數項和時間趨勢項。解決這一問題的經驗做法是：考察數據圖形其次，我們來看如何判斷滯后項數 m。在實證中，常用的方法有兩種：（1）漸進 t 檢驗。該種方法是首先選擇一個較大的 m值，然后用 t 檢驗確定系數是否顯著，如果是顯著的，則選擇滯后項數為m;如果不顯著，則減少m 直到對應的系數值是顯著的。 （2）信息準則。常用的信息準則有

6、AIC 信息準則、SC信息準則，一般而言，我們選擇給出了最小信息準則值的m值 二、非平穩性數據的處理一般是通過差分處理來消除數據的不平穩性。即對時間序列進行差分，然后對差分序列進行回歸。對于金融數據做一階差分后，即由總量數據變為增長率，一般會平穩。但這樣會讓我們丟失總量數據的長期信息， 而這些信息對分析問題來說又是必要的。這就是通常我們所說的時間序列檢驗的兩難問題。 第三節 協整的概念和檢驗 一、協整的概念和原理 有時雖然兩個變量都是隨機游走的， 但它們的某個線形組合卻可能是平穩的。 在這種情況下，我們稱這兩個變量是協整的。 比如：變量 Xt 和 Yt 是隨機游走的，但變量 Zt Xt+Yt

7、可能是平穩的。在這種情況下，我們稱 Xt 和 Yt 是協整的，其中 稱為協整參數（ cointegrating parameter ）。為什么會有協整關系存在呢？ 這是因為雖然很多金融、經濟時間序列數據都是不平穩的， 但它們可能受某些共同因素的影響， 從而在時間上表現出共同的趨勢， 即變量之間存在一種穩定的關系， 它們的變化受到這種關系的制約， 因此它們的某種線性組合可能是平穩的， 即存在協整關系。 假如有序列 Xt 和 Yt ，一般有如下性質存在： 1 如果 Xt I 0，即 Xt 是平穩序列，則 a+bXt 也是 I 0 ； 2如果Xt I 1，這表示 Xt 只需經過一次差分就可變成平穩序

8、列。那么a+bXt 也是 I 1 ； 3如果 Xt 和 Yt 都是 I 0 ，則 aXt+bYt 是 I0； （4）如果 Xt I 0，Yt I 1，則 aXt+bYt 是 I 1，即I 1具有占優勢的性質。 （5）如果 Xt 和 Yt 都是 I 1 ，則 aXt+bYt一般情況下是I 1，但不保證一定是I 1。如果該線性組合是I0 ，Xt 和 Yt 就是協整的， a、b 就是協整參數。 二、協整檢驗的具體方法（一） EG檢驗和 CRDW檢驗 假如 Xt 和 Yt 都是 I 1，如何檢驗它們之間是否存在協整關系，我們可以遵循以下思路：首先用 OLS 對協整回歸方程進行估計。然后，檢驗殘差是否是

9、平穩的。因為如果Xt 和 Yt 沒有協整關系，那么它們的任一線性組合都是非平穩的，殘差也將是非平穩的。檢驗是否平穩可以采用前文提到的單位根檢驗，但需要注意的是，此時的臨界值不能再用 A DF 檢驗的臨界值，而是要用恩格爾和格蘭杰（ Engle and Granger ）提供的臨界值，故這種協整檢驗又稱為 （擴展的）恩格爾格蘭杰檢驗 簡記 A EG檢驗）。此外，也可以用協整回歸的 Durbin-Watson 統計檢驗（Cointegrationregression Durbin-Watson test,簡記 CRDW）進行。 CRDW檢驗構造的統計量是：若是隨機游走的，則的數學期望為0，所以Du

10、rbin-Watson統計量應接近于 0，即不能拒絕零假設；如果拒絕零假設，我們就可以認為變量間存在協整關系。上述兩種方法存在如下的缺點：（1）CRDW檢驗對于帶常數項或時間趨勢加上常數項的隨機游走是不適合的，因此這一檢驗一般僅作為大致判斷是否存在協整的標準。（2）對于EG檢驗，它主要有如下的缺點：當一個系統中有兩個以上的變量時，除非我們知道該系統中存在的協整關系的個數，否則是很難用EG法來估計和檢驗的。因此，一般而言，EG檢驗僅適用于包含兩個變量、即存在單一協整關系的系統。仿真試驗結果表明，即使在樣本長度為 100 時，協整向量的 OLS估計仍然是有偏的， 這將會導致犯第二類錯誤的可能性增加

11、，因此在小樣本下EG檢驗結論是不可靠的。 （二）Johansen 協整檢驗。（1）Johansen 協整檢驗的基本思想 其基本思想是基于VAR模型將一個求極大似然函數的問題轉化為一個求特征根和對應的特征向量的問題。下面我們簡要介紹一下Johansen 協整檢驗的基本思想和內容：對于如下的包含g 個變量，k 階滯后項的VAR模型： 對式5.11做適當的變換，可以得到如下的以 VECM形式表示的模型：我們所感興趣的是系數矩陣，它可以看作是一個代表變量間長期關系的系數矩陣。因為在長期達到均衡時，式5.12所有的差分變量都是零向量，中隨機誤差項的期望值為零，因此我們有0，表示的是長期均衡時變量間的關系

12、。對變量之間協整關系的檢驗可以通過計算系數矩陣的秩及特征值來判斷。將系數矩陣的特征值按照從大到小的順序排列，即：。如果變量間不存在協整關系（即長期關系），則的秩就為零。 Johansen 協整檢驗有兩個檢驗統計量：跡檢驗統計量：，其中 r 為假設的協整關系的個數， 為 的第 i 個特征值的估計值（下同）。對應的零假設是： H0：協整關系個數小于等于 r ；被擇假設： H1：協整關系個數大于 r 。 最大特征值檢驗統計量 ： 對應的零假設： H0：協整關系個數等于r ；相應的被擇假設： H1:協整關系個數為 r+1 。首 先 看， 跡檢驗實際上是一個聯合檢驗：，因為當時，也為零，且在范圍內，越大

13、，越小，越大。如果大于臨界值，則拒絕零假設，說明存在的協整個數大于 r ，這時應繼續檢驗新的零假設：協整關系個數小于等于r+1 直至小于臨界值。再來看。當大于臨界值時，我們拒絕協整關系個數等于r的原假設，然后繼續檢驗新的假設： 協整關系個數為 r+1， ，直到小于臨界值 。 （2）Johansen協整檢驗模型形式的確定。Johansen 協整檢驗方程形式的確定包括兩部分：一是確定 VECM模型和是否應包含常數項和時間趨勢項；二是確定滯后項數（即k 值）。對于前者，我們可以根據變量的數據圖形來檢驗（同ADF檢驗）；對于后者，我們可以利用前面ADF檢驗中提到的漸進 t檢驗和信息準則法。（3）如何在

14、 Eviews軟件中做Johansen 協整檢驗下面我們通過一個例子說明如何在Eviews 軟件中做 Johansen 協整檢驗。 例 5.1：對我國貨幣政策傳導機制信貸渠道的實證檢驗利用我國的數據對信貸渠道進行實證分析，來看變量之間是否存在長期穩定的關系， 即協整關系。 我們以貨幣供應量M1和 M2作為貨幣政策的起始變量， 以金融機構貸款余額DEBT 表示信貸量， 以其作為中間變量，以 GDP和零售物價指數（ CPI）作為貨幣政策的效果變量。1、對原始數據進行適當的處理，如季節調整、對數化等。2 、對變量進行平穩性檢驗。3 、如果變量水平值是不平穩的，我們就要對它的一階差分進行平穩性檢驗。

15、4 、進行協整檢驗，并進行濟濟學意義上的分析。 第四節誤差修正模型 Engle和 Granger 于1987 年提出了誤差修正模型的完整定義并加以推廣。假設 Yt 和Xt 之間的長期關系式為：對式（5.13 ）兩邊取對數可得：所以當y 不處在均衡值的時候，等式兩邊就會有一個差額存在，即（ 5.15 ） 來衡量兩個變量之間的偏離程度。當 X、Y 處于均衡的時候，這時誤差值為零。 由于 X 和 Y 通常處于非均衡狀態，可以建立一個包含 X 和 Y 滯后項的短期或非均衡關系，假設采取如下形式：在對（ 5.16 ）進行估計的時候，其中的變量可能是不平穩的，不能運用 OLS估計，否則將出現偽回歸現象。對

16、此，重新進行轉化。兩邊分別 減 去 yt-1 ： 得 并 進 一 步 進 行 變 化 ：即 ，（5.18 ） 并進一步進行變化： 在這里 。我們對上式進行重新整理，得到： 根據式（ 5.20 ），Y 的當前變化決定于 X 的變換以及前期的非均衡程度， 也就是說前期的誤差項對當期的Y值進行調整。所以（ 5.20 ）就是一階誤差修正模型，也是最簡單的形式。表示系統對均衡狀態的偏離程度，可以稱之為“均衡誤差”。在模型（5.20）中，描述了對均衡關系偏離的一種長期調解。這樣在誤差修正模型中， 長期調節和短期調節的過程同樣被考慮進去。因而，誤差修正模型的優點在于它提供了解釋長期關系和短期調節的途徑。當且

17、的時候，后者意味著比均衡值高出太多。由于，那么，因此。換句話說，如果高于均衡值水平，那么在下一個時間段，會開始下降，誤差值就會被慢慢修正，這就是所說的誤差修正模型。當，則是完全相反的情況，整個機制是相同的。?誤差修正模型包含了長期和短期的信息。 長期的信息包含在項里，因為 仍然是長期乘數，且誤差項來自 x 和 y 的回歸方程。 短期信息一部分顯示在均衡誤差項中，即當 y 處于非均衡狀態時， 在下一期里會由于誤差項的調整慢慢向均衡值靠攏；另一部分信息來自 Xt ，解釋變量的概括。這一項表明，當 x 發生變化， y 也會相應的發生變化。 第五節 因果檢驗 因果關系檢驗主要有兩種：格蘭杰（ Gran

18、ger）因果檢驗和希姆斯（ Sims）檢驗 一、格蘭杰因果檢驗 該理論的基本思想是：變量 x 和 y，如果 x 的變化引起了 y 的變化， x 的變化應當發生在 y 的變化之前。即如果說“ x 是引起 y 變化的原因”，則必須滿足兩個條件： 第一， x 應該有助于預測 y，即在 y 關于 y 的過去值的回歸中，添加 x 的過去值作為獨立變量應當顯著的增加回歸的解釋能力。第二，y 不應當有助于預測 x，其原因是如果 x 有助于預測 y，y 也有助于預測 x，則很可能存在一個或幾個其他的變量，它們既是引起x變化的原因，也是引起 y 變化的原因。要檢驗這兩個條件是否成立，我們需要檢驗一個變量對預測另

19、一個變量沒有幫助的原假設。首先，檢驗“ x 不是引起 y 變化的原因”的原假設，對下列兩個回歸模型進行估計：無假設條件回歸：有假設條件回歸：然后用各回歸的殘差平方和計算F 統計值，檢驗系數 1，2， ， m是否同時顯著的不為 0。如果是這樣，我們就拒絕“ x 不是引起 y 變化的原因”的原假設。 其中 F 統計值的構成為： 顯然，如果 F 統計值大于臨界值，我們就拒絕原假設，得到 x 是引起 y 變化的原因。反之，接受原假設。接下來，檢驗“ y 不是引起 x 變化的原因”的原假設，做同樣的回歸估計，但是交換x 與 y，檢驗 y 的滯后項是否顯著的不為0。 要得到 x 是引起 y 變化的原因的結

20、論，我們必須拒絕原假設“ x 不是引起 y 變化的原因”，同時接受原假設“ y 不是引起 x 變化的原因”。 二希姆斯檢驗 希姆斯檢驗的思想是認為未來發生的變化不能影響現在。和格蘭杰檢驗一樣，有著比較直觀的解釋。其非限制性方程如下： 第六節 實例金融數據的平穩性檢驗 下面我們借用 Eviews 來分析一下上海證券市場 A 股成份指數（簡記 SHA）和深圳證券市場 A 股成份指數（簡記AZA）之間的關系，同時也通過這個實例來回顧一下 Eviews 的使用。步驟如下： 1 、對數據進行平穩性檢驗 2 、協整檢驗 3、因果檢驗 4 、誤差糾正機制ECM（ errorcorrection mechan

21、ism） 5 、經濟學分析本章小節本章主要介紹了經濟時間序列存在的不平穩性，并提供了DF和 ADF兩種檢驗平穩性的方法。不平穩的序列容易導致偽回歸問題，為解決偽回歸問題引出了協整檢驗， 詳細介紹了協整的概念和具體的協整檢驗過程。 協整描述了變量之間的長期關系， 為了進一步研究變量之間的短期均衡的存在，介紹了誤差糾正模型。在討論變量之間的因果關系的時候，介紹了格蘭杰和希姆斯因果檢驗兩種方法。（5.11 ） 假定所有的g個變量都是 I 1 即一階單整過程。其中， yt 、yt-1 yt-k 為 g×1 列向量， 12 k 為 g×g 系數矩陣， 為白噪音過程的隨機誤差項組成的

22、g×1 列向量。 （5.12 ） 其中 ，Ig為 g 階單位矩陣， Johansen 協整檢驗的臨界值已由 Johansen 給出。在實際應用中，上述兩個檢驗可以同時使用，一般而言，兩種檢驗給出的結果是相同的，但也可能會給出不同的結論。（5.13 ）式中，K和為估計常量。 例如，Y 可以是商品的需求量， X 則是價格。就是 Y 對 X 的長期彈性。（5.14 ） 我們用小寫字母表示對數，其中 ln K。但是這種均衡情況在經濟體系中是很少存在的。（5.16） （5.16 ）式是基礎的形式，只包括一階滯后項，說明對于變量 X 的變化，變量 Y 需要一段時間進行調整。（5.17 ） ，即：（5.18） 在這里。我們對上式進行重新整理，得到：（5.