1、2021-12-26復變函數與積分變換19.2 Laplace 變換的性質變換的性質一、線性性質與相似性質一、線性性質與相似性質二、二、延遲性質與位移性質延遲性質與位移性質三、三、微分性質微分性質四、積分性質四、積分性質五、周期函數的像函數五、周期函數的像函數六、卷積與卷積定理六、卷積與卷積定理2021-12-26復變函數與積分變換2 對于涉及到的一些運算對于涉及到的一些運算( (如如求導求導、積分積分、極限極限及及求和求和等等) ) 的次序交換問題，均不另作說明。的次序交換問題，均不另作說明。 所涉及到的函數的所涉及到的函數的 Laplace )(sF )(sG. )(tg 在下面給出的基本

2、性質中，在下面給出的基本性質中， 且且 , )(tf變換均假定存在，它們的變換均假定存在，它們的增長指數增長指數均假定為均假定為 c 。 9.2 Laplace 變換的性質變換的性質2021-12-26復變函數與積分變換3證明證明 ( (略略) ) 性質性質 一、線性性質與相似性質一、線性性質與相似性質 1. 線性性質線性性質 P216 P216 2021-12-26復變函數與積分變換4, )5cos(cos213sin2sin)(tttttf 解解.)25( )1(1222 sss 2512122ssss)5coscos(21 )(tttf 2021-12-26復變函數與積分變換5解解,11

3、21)( sssF)()(1sFtf 211s111 s.ee2tt 2021-12-26復變函數與積分變換6 0d)(1exxfaxastax 令令 .1 asFa 0d)( )(ettaftaft s證明證明 性質性質 一、線性性質與相似性質一、線性性質與相似性質 2. 相似性質相似性質 P217 2021-12-26復變函數與積分變換7二、二、延遲性質與位移性質延遲性質與位移性質1. 延遲性質延遲性質 則對任一非負實數則對任一非負實數 有有 設當設當 t 0 時時 ,0)( tf)( tf. )(esFs 性質性質 . )(esFs 0d)(eexxfsxs tx令令 ttft sd)(

4、e證明證明 0d)( )(ettftft s P222 P222 2021-12-26復變函數與積分變換8二、二、延遲性質與位移性質延遲性質與位移性質1. 延遲性質延遲性質 則對任一非負實數則對任一非負實數 有有 設當設當 t 0 時時 ,0)( tf)( tf. )(esFs 性質性質 可見，在利用本性質可見，在利用本性質求逆變換時求逆變換時應為：應為：因此，本性質也可以因此，本性質也可以直接表述直接表述為：為： )()( tutf. )(esFs . )()( tutf )(e1sFs 注意注意 在延遲性質中專門強調了當在延遲性質中專門強調了當 t 0 時時 這一這一約定約定。 0)( t

5、f2021-12-26復變函數與積分變換9 .2, 0,2,2ettt根據根據延遲性質延遲性質有有 設設 求求 ,11)(2esssF 例例 . )(1sF 111 s, )(etut 解解 由于由于 )2(2e tut )(1sF P223 例例9.13 修改修改 2021-12-26復變函數與積分變換10證明證明 ( (略略) ) .1)1(12 sscosett例如例如 .1)1(12 ssinett性質性質 2. 位移性質位移性質 P223 二、二、延遲性質與位移性質延遲性質與位移性質2021-12-26復變函數與積分變換11三、三、微分性質微分性質 )(tf . )0()(fssF

6、性質性質 ,d)()(00ee ttfstft st s證明證明 0d)( )(ettftft s 0)(detft s由由 ,| )(|etcMtf ,0)(lime t sttf因此當因此當 時，有時，有 cs Re,|)(|)Re(eetcst sMtf 有有 )(tf . )0()(fssF 即得即得 1. 導數的象函數導數的象函數 P217 P217 2021-12-26復變函數與積分變換12三、三、微分性質微分性質 )(tf ; )0()(fssF 1. 導數的象函數導數的象函數 性質性質 其中，其中， 應理解為應理解為 )0()(kf. )(lim)(0tfkt )()(tfn.

7、 )0()0()0()()1(21 nnnnffsfssFs一般地，有一般地，有 Laplace 變換的這一性質非常重要，可用來求解微分變換的這一性質非常重要，可用來求解微分 方程方程( (組組) )的初值問題。的初值問題。 9.4 將專門介紹將專門介紹 ） （ 2021-12-26復變函數與積分變換13.!1 msm解解 利用導數的象函數性質來求解本題利用導數的象函數性質來求解本題 以及以及 有有 !)()(mtfm 0)0()0()0()1( mfff由由 )0()0()0()()1(21 mmmmffsfssFs )()(tfm !m 故有故有 mt !1msm )(tfsm , mmt

8、s 1!msm P218 例例9.7 2021-12-26復變函數與積分變換14三、三、微分性質微分性質2. 象函數的導數象函數的導數 性質性質 )(sF ; )(tft 一般地，有一般地，有 )()(sFn. )()1(tftnn 由由 有有 證明證明 0d)()(ettfsFt s 0d)(dd)(ettfssFt s 0d)(ettfst s 0d)(ettftt s; )(tft 同理可得同理可得 )()(sFn. )()1(tftnn P218 2021-12-26復變函數與積分變換15.)(2222 ss根據根據象函數的導數象函數的導數性質有性質有 sint ,22 s解解 已知已

9、知 22dd sssintt P219 例例9.8 2021-12-26復變函數與積分變換16.)4()3224(232326 sssstt22cos21 , )2cos1(2tt 解解 根據根據線性性質線性性質以及以及象函數的導數象函數的導數性質有性質有 ,22cos22 sst已知已知 ,11s cos22tt21dd212222 ssssP219 例例9.9 2021-12-26復變函數與積分變換17.4)3()3(422 ss根據根據位移性質位移性質有有 解解 ,222sin22 st已知已知 再由再由象函數的導數象函數的導數性質有性質有 2sin3ett ,4)3(22 s 4)3(

10、2dd2ss2sin3ettt 2021-12-26復變函數與積分變換18四、積分性質四、積分性質1. 積分的象函數積分的象函數 d)(0 tttf. )(1sFs 性質性質 證明證明 令令 ,d)()(0 tttftg由由微分性質微分性質有有 則則 且且 )()(tftg ,0)0( g )(tg )0()(gsGs , )(sGs ssG1)( )(tg , )(1tfs d)(0 tttf. )(1sFs 即得即得 P219 P219 2021-12-26復變函數與積分變換19四、積分性質四、積分性質d)(0 tttf; )(1sFs 1. 積分的象函數積分的象函數 性質性質 一般地，有

11、一般地，有 2021-12-26復變函數與積分變換20,)4(422 ss.)4(422 s再由再由積分性質積分性質得得 根據根據微分性質微分性質有有 解解 ,222sin22 st已知已知 2222dd2sinsstt s1d2sin0 tttt22)4(4 ss2021-12-26復變函數與積分變換21一般地，有一般地，有 ssFssnsssd)(dd次次 .)(nttf 四、積分性質四、積分性質2. 象函數的積分象函數的積分 sssFd)(.)(ttf 性質性質 證明證明 ( (略略) ) P220 2021-12-26復變函數與積分變換22.arccot s 根據根據象函數的積分象函數

12、的積分性質有性質有 ,11sin2 st已知已知 解解 sintt sssd112即即 .arccotdsin0essttst 在上式中，如果令在上式中，如果令 s = 0，則有，則有.2dsin0stt 啟示啟示 在在 Laplace 變換及其性質中，如果取變換及其性質中，如果取 s 為某些特定的值，為某些特定的值， 就可以用來求一些函數的廣義積分。就可以用來求一些函數的廣義積分。利用拉氏變換利用拉氏變換計算廣義積分計算廣義積分P220 例例9.10 2021-12-26復變函數與積分變換23 部分部分基本性質匯總基本性質匯總)()(tgbtfa ; )()(sGbsFa )()(1sGbs

13、Fa . )()(tgbtfa 線性性質線性性質 )(taf.1 asFa相似性質相似性質 延遲性質延遲性質 )( tf. )(esFs . )()( tutf )(e1sFs 2021-12-26復變函數與積分變換24微分性質微分性質 )(tf . )0()(fssF )()(tfn. )0()0()0()()1(21 nnnnffsfssFs)(sF ; )(tft )()(sFn. )()1(tftnn 積分性質積分性質d)(0 tttf. )(1sFs sssFd)(.)(ttf 部分部分基本性質匯總基本性質匯總 )(etfta. )(asF 位移性質位移性質 2021-12-26復變

14、函數與積分變換25證明證明 )(tf TTt st sttfttf0d)(d)(ee,21II 記為記為 0)(d)(exTxfTxs其中，其中， 2I令令 Ttx 0d)(eexxfxsTsTs e, )(tf即得即得 .d)(110ee Tt sTsttf )(tf性質性質 五、周期函數的像函數五、周期函數的像函數P223 2021-12-26復變函數與積分變換26 22 ssTsT ee1122 s.2cth s函數函數 的周期為的周期為 )(tf, T 解解 故有故有 Tt sTstt0dsin11ee )(tf sTe1122)cossin(e sttst sT0P224 例例9.1

15、4 2021-12-26復變函數與積分變換27六、卷積與卷積定理六、卷積與卷積定理1. 卷積卷積 當當 時，時， 如果函數滿足：如果函數滿足： 0 t,0)()(21 tftf)()(21tftf .d)()(21 tff 按照上一章中卷積的定義，兩個函數的卷積是指按照上一章中卷積的定義，兩個函數的卷積是指 則有則有 )()(21tftf . )0(,d)()(021 ttfft 顯然，由上式給出的卷積的仍然滿足交換律、結合律顯然，由上式給出的卷積的仍然滿足交換律、結合律 以及分配律等性質。以及分配律等性質。P224 2021-12-26復變函數與積分變換28tt0)cos( ttd)cos(

16、0 .sintt )()(21tftf ttd)sin(0 解解 ttt0)sin( tt0)cos(d P224 例例9.15 2021-12-26復變函數與積分變換29六、卷積與卷積定理六、卷積與卷積定理2. 卷積定理卷積定理 )()(21tftf . )()(21sFsF 定理定理 021d)()(ettftft s 0021dd)()(e ttfft st Dt sttffdd)()(e21 證明證明 )()(21tftf 左邊左邊 021dd)()(e ttfft s tD t t( (跳過跳過?)?)2021-12-26復變函數與積分變換30 )()(21tftf . )()(21

17、sFsF 定理定理 六、卷積與卷積定理六、卷積與卷積定理2. 卷積定理卷積定理 證明證明 左邊左邊 021dd)()(e ttfft s令令 txxxfxssd)(02ee , )(2esFs 記為記為 01d)( IfIttfIt sd)(e2 其中其中 左邊左邊 )(d)(201esFfs )()(21sFsF 右邊。右邊。 2021-12-26復變函數與積分變換31ttd)cos(cos0 tttd)2cos(cos210 . )sincos(21ttt 故有故有 ,11)(22 sssssF12 ss,cost 解解 由于由于 ttcoscos )()(1sFtf P225 例例9.1

18、6 2021-12-26復變函數與積分變換32利用利用 Laplace 變換計算廣義積分變換計算廣義積分附：附：;d)()(0e ttfsFt s 在在 Laplace 變換及其性質中，如果取變換及其性質中，如果取 s 為某些為某些特定特定的值，的值， 就可以用來求一些函數的廣義積分。就可以用來求一些函數的廣義積分。)(sF 0;d)(ettftt s sssFd)( 0.d)(etttft s;d)()0(0 ttfF)0(F 0;d)(ttft 0d)(ssF 0.d)(tttf 注意在注意在 使用這些公式時必須謹慎，必要時需要事先考察使用這些公式時必須謹慎，必要時需要事先考察一下一下 s 的取值范圍以及廣義積分的存在性。的取值范圍以及廣義積分的存在性。P221 注注 2021-12-26復變函數與積分變換332cost由由 解解 0d2cosettt s,42 ss