1、1第八章 傅立葉變換 第八章第八章 Fourier 變換變換8.2 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)8.1 Fourier 變換的概念變換的概念 8.3 Fourier 變換的性質(zhì)變換的性質(zhì)2第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 Fourier 變換是積分變換中常見(jiàn)的一種變換，它既能夠變換是積分變換中常見(jiàn)的一種變換，它既能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算簡(jiǎn)化運(yùn)算 ( ( 如求解微分方程、化卷積為乘積等等如求解微分方程、化卷積為乘積等等 ) )，又具有，又具有非常特殊的物理意義。非常特殊的物理意義。 的地位，而且在各種工程技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用。的地位，而且在各種工程技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用。展起來(lái)的。在微積分

2、課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)了展起來(lái)的。在微積分課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)了Fourier 級(jí)數(shù)的有關(guān)級(jí)數(shù)的有關(guān) 內(nèi)容，因此本節(jié)將先簡(jiǎn)單地回顧一下內(nèi)容，因此本節(jié)將先簡(jiǎn)單地回顧一下 Fourier 級(jí)數(shù)展開(kāi)。級(jí)數(shù)展開(kāi)。8.1 Fourier 變換的概念變換的概念因此，因此，F(xiàn)ourier 變換不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中具有重要變換不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中具有重要Fourier 變換是在周期函數(shù)的變換是在周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)3第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 8.1 Fourier 變換的概念變換的概念一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)二、非周期函數(shù)的二

3、、非周期函數(shù)的 Fourier 變換變換4第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)1. 簡(jiǎn)諧波的基本概念簡(jiǎn)諧波的基本概念)cos()(0 tAtx簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)諧波為基本為基本周期周期；02 T 210 TF為為頻率頻率。A 稱為稱為振幅振幅， 其中，其中，0 稱為稱為角頻率角頻率， 稱為稱為相位相位， ( ( 稱為稱為零相位零相位) )。0 ( (單位：秒單位：秒) )( (單位：赫茲單位：赫茲 Hz) )tbta00sincos 補(bǔ)補(bǔ) 5第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Four

4、ier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)2. 正交函數(shù)系正交函數(shù)系函數(shù)系函數(shù)系tntn0cos)( 1)(0 t tt01cos)( tt022cos)( tntn0sin)( tt01sin)( tt022sin)( 補(bǔ)補(bǔ) 6第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 2. 正交函數(shù)系正交函數(shù)系特點(diǎn)特點(diǎn) 由由 組合疊加可以生成組合疊加可以生成周期為周期為 T 的復(fù)雜波。的復(fù)雜波。)(),(ttkk (1) 周期性周期性(2) 正交性正交性 2/2/,0d)()(TTtttnm 2/2/,0d)()(TTtttlk 2/2/,0d)()(TTtttlk )(lk 一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier

5、 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)7第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)2. 正交函數(shù)系正交函數(shù)系問(wèn)題問(wèn)題對(duì)于任何一個(gè)周期為對(duì)于任何一個(gè)周期為 T 的的( (復(fù)雜復(fù)雜) )函數(shù)函數(shù) ，)(tfT 100)()()()(nnnnnTtbtatAtf ? 1000sincosnnntnbtnaA . )cos(100 nnntnAA 能否：能否：( ( Fourier級(jí)數(shù)的歷史回顧級(jí)數(shù)的歷史回顧) )8第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 區(qū)間區(qū)間 上上滿足如下條件滿足如下條件( (稱為稱為 Dirichlet 條件條件) )：2/,

6、2/TT 則在則在 的的連續(xù)連續(xù)點(diǎn)點(diǎn)處有處有)(tfT(1) 連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)；連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)；(2) 只有有限個(gè)極值點(diǎn)只有有限個(gè)極值點(diǎn) .( ( Dirichlet 定理定理) )設(shè)設(shè) 是以是以 T 為周期的實(shí)值函數(shù)，且在為周期的實(shí)值函數(shù)，且在)(tfT定理定理3. Fourier 級(jí)數(shù)的三角形式級(jí)數(shù)的三角形式一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)P183定理定理 8.1 在在 的的間斷間斷處，上處，上式左端為式左端為 .)0()0(21 tftfTT)(tfT9第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 ,20T 稱之為稱之為基頻基頻。(

7、 ( Dirichlet 定理定理) )定理定理3. Fourier 級(jí)數(shù)的三角形式級(jí)數(shù)的三角形式,dcos)(22/2/0 TTTnttntfTa,2,1,0 n,dsin)(22/2/0 TTTnttntfTb其中其中,2,1 n, )sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)稱稱 (A) 式為式為 Fourier 級(jí)數(shù)的三角形式級(jí)數(shù)的三角形式。定義定義一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)10第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 4. Fourier 級(jí)數(shù)的物理含義級(jí)數(shù)的物理含義,cosnnnAa ,sinnnnAb ，200aA ,2

8、2nnnbaA 令令則則 (A) 式變?yōu)槭阶優(yōu)镺nAnanb n , )sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)改寫(xiě)改寫(xiě)一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)P184 )cos()(100nnnTtnAAtf 11第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 這些簡(jiǎn)諧波的這些簡(jiǎn)諧波的( (角角) )頻率分別為一個(gè)基頻頻率分別為一個(gè)基頻 的倍數(shù)。的倍數(shù)。0頻率成份，其頻率是以基頻頻率成份，其頻率是以基頻 為間隔離散取值的。為間隔離散取值的?！? 這是周期信號(hào)的一個(gè)非常重要的特點(diǎn)這是周期信號(hào)的一個(gè)非常重要的特點(diǎn)。4. Fourier 級(jí)數(shù)的物理含義級(jí)數(shù)

9、的物理含義)cos()(100nnnTtnAAtf 認(rèn)為認(rèn)為 “ 一個(gè)周期為一個(gè)周期為 T 的周期信號(hào)的周期信號(hào) 并不包含所有的并不包含所有的)(tfT意義意義周期信號(hào)可以分解為一系列周期信號(hào)可以分解為一系列固定頻率固定頻率的簡(jiǎn)諧波之和，的簡(jiǎn)諧波之和，表明表明一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)12第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 相位相位n反映了在信號(hào)反映了在信號(hào) 中中頻率為頻率為 的簡(jiǎn)諧波的簡(jiǎn)諧波)(tfT0n 這兩個(gè)指標(biāo)完全定量地刻畫(huà)了信號(hào)的頻率特性。這兩個(gè)指標(biāo)完全定量地刻畫(huà)了信號(hào)的頻率特性。4. Fourier 級(jí)數(shù)的物理含義級(jí)數(shù)的物理含義反映了頻

10、率為反映了頻率為 的簡(jiǎn)諧波在信號(hào)的簡(jiǎn)諧波在信號(hào) 中中0n)(tfT振幅振幅nA所占有的份額；所占有的份額；沿時(shí)間軸移動(dòng)的大小。沿時(shí)間軸移動(dòng)的大小。一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù))cos()(100nnnTtnAAtf 13第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 5. Fourier 級(jí)數(shù)的指數(shù)形式級(jí)數(shù)的指數(shù)形式代入代入 (A) 式并整理得式并整理得根據(jù)根據(jù) Euler 公式公式 ,sincos00j0etnjtntn )1( j可得可得,2cos00ee0tjntjntn 2sin00ee0tjntjnjjtn . )e2e2(2)(1000 ntjnnn

11、tjnnnTjbajbaatf推導(dǎo)推導(dǎo), )sincos(2)(0100tnbtnaatfnnnT (A)已知已知一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)P183 14第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 5. Fourier 級(jí)數(shù)的指數(shù)形式級(jí)數(shù)的指數(shù)形式. )e2e2(2)(1000 ntjnnntjnnnTjbajbaatf推導(dǎo)推導(dǎo)則有則有令令,200ac ,2nnnjbac ,2nnnjbac 其中其中,de)(12/2/0 TTtjnTnttfTc,2,1,0 n,)(0e ntjnnTctf(B)稱稱 (B) 式為式為 Fourier 級(jí)數(shù)的指數(shù)形式級(jí)數(shù)

12、的指數(shù)形式。定義定義一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)15第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 (1) 分解式是惟一的。分解式是惟一的。注意注意(2) 計(jì)算系數(shù)計(jì)算系數(shù) 時(shí)時(shí), 其中的積分可以在任意其中的積分可以在任意nc一個(gè)長(zhǎng)度為一個(gè)長(zhǎng)度為 T 的區(qū)間上進(jìn)行。的區(qū)間上進(jìn)行。(3) 采用周期延拓技術(shù)，可以將結(jié)論應(yīng)用到采用周期延拓技術(shù)，可以將結(jié)論應(yīng)用到僅僅定義在某個(gè)有限區(qū)間上的函數(shù)。僅僅定義在某個(gè)有限區(qū)間上的函數(shù)。5. Fourier 級(jí)數(shù)的指數(shù)形式級(jí)數(shù)的指數(shù)形式一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)16第八章 傅立葉變換8.1 Fourier

13、 變換的概念 6. 離散頻譜與頻譜圖離散頻譜與頻譜圖,00Ac ，221|22nnnnnAbacc 得得OnAnanb n nbn nc2nc 2,200ac ,2nnnjbac 分析分析,2nnnjbac 由由即即 的模與輻角正好是振幅和相位。的模與輻角正好是振幅和相位。nc,argargnnncc . )0( n稱稱 為為頻譜頻譜，記為，記為nc.)(0ncnF 稱稱 為為振幅譜振幅譜，稱稱 為為相位譜相位譜；|ncncarg定義定義一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)P185 17第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 6. 離散頻譜與頻譜圖離散頻譜與頻譜

14、圖將振幅將振幅 、相位、相位 與頻率與頻率 的關(guān)系畫(huà)成圖形。的關(guān)系畫(huà)成圖形。0n|ncncarg頻譜圖頻譜圖O| )(|0nF 0 02 03 04 0 02 03 04 O 0 02 03 04 0 02 03 04 )(arg0nF一、周期函數(shù)的一、周期函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)18第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 (1) 當(dāng)當(dāng) n = 0 時(shí)，時(shí)，解解 基頻基頻.120 T)0(0Fc TTttfT0d)(1.d2120tt 2/2/d)(1TTTttfTO)(tfTt 2 219第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 解解 (2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0

15、 n)(0nFcn 2/2/de)(10TTtjnTttfT jnttt20de21 jnttjn20de21 20e21jnttjn jnttjn20de21.nj TtjnTttfT0de)(10O)(tfTt 2 220第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 (3) 的的 Fourier 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 0.e)(nnjntTnjtf)(tfT解解)(0nF .0, |1,0,nnn(4) 振幅譜為振幅譜為)(arg0nF .0,2,0,2,0,0nnn相位譜為相位譜為O)(tfTt 2 221第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 (5) 頻譜圖如下圖所示。頻

16、譜圖如下圖所示。 解解1 22 1O)(0nF 1 22 1O)(arg0nF 2/2/ O)(tfTt 2 222第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 借助借助 Fourier 級(jí)數(shù)展開(kāi)，使得人們能夠完全了解一個(gè)級(jí)數(shù)展開(kāi)，使得人們能夠完全了解一個(gè)信號(hào)的頻率特性，從而認(rèn)清了一個(gè)信號(hào)的本質(zhì)，這種對(duì)信號(hào)的頻率特性，從而認(rèn)清了一個(gè)信號(hào)的本質(zhì)，這種對(duì)信號(hào)的分析手段也稱為信號(hào)的分析手段也稱為頻譜分析頻譜分析(或者或者諧波分析諧波分析)。但是，但是，F(xiàn)ourier 級(jí)數(shù)要求被展開(kāi)的函數(shù)必須是周期函級(jí)數(shù)要求被展開(kāi)的函數(shù)必須是周期函數(shù)，數(shù)， 而在工程實(shí)際問(wèn)題中，而在工程實(shí)際問(wèn)題中， 大量遇到的

17、是非周期函數(shù)，大量遇到的是非周期函數(shù)，那么，對(duì)一個(gè)非周期函數(shù)是否也能進(jìn)行頻譜分析呢那么，對(duì)一個(gè)非周期函數(shù)是否也能進(jìn)行頻譜分析呢?二、非周期函數(shù)的傅立葉變換二、非周期函數(shù)的傅立葉變換23第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 二、非周期函數(shù)的傅立葉變換二、非周期函數(shù)的傅立葉變換(1) 非周期函數(shù)可以看成是一個(gè)周期為無(wú)窮大的非周期函數(shù)可以看成是一個(gè)周期為無(wú)窮大的“周期函數(shù)周期函數(shù)”。1. 簡(jiǎn)單分析簡(jiǎn)單分析)(tft)(tfTt)(tfTt2/T 2/T)(lim)(tftfTT 24第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 當(dāng)當(dāng) T 越來(lái)越大時(shí)，取值間隔越來(lái)越小；越來(lái)越大

18、時(shí)，取值間隔越來(lái)越小；當(dāng)當(dāng) T 趨于無(wú)窮時(shí)，取值間隔趨向于零，趨于無(wú)窮時(shí)，取值間隔趨向于零，因此，一個(gè)非周期函數(shù)將包含所有的頻率成份。因此，一個(gè)非周期函數(shù)將包含所有的頻率成份。其頻譜是以其頻譜是以 為間隔離散取值的。為間隔離散取值的。T20 即頻譜將連續(xù)取值。即頻譜將連續(xù)取值。(2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，頻率特性頻率特性發(fā)生了什么變化？發(fā)生了什么變化？ T二、非周期函數(shù)的傅立葉變換二、非周期函數(shù)的傅立葉變換1. 簡(jiǎn)單分析簡(jiǎn)單分析Fourier 級(jí)數(shù)表明周期函數(shù)僅包含離散的頻率成份，級(jí)數(shù)表明周期函數(shù)僅包含離散的頻率成份，分析分析25第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 (3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)

19、，時(shí)，級(jí)數(shù)求和級(jí)數(shù)求和發(fā)生了什么變化？發(fā)生了什么變化？ T二、非周期函數(shù)的傅立葉變換二、非周期函數(shù)的傅立葉變換1. 簡(jiǎn)單分析簡(jiǎn)單分析tjnnTTtjnTTttfT00ede)(1lim2/2/ 0n,n記為記為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)0, 將間隔將間隔記為記為得得T 220并由并由tjn nnTc0elim )(tf)(limtfTT 分析分析ttftjntjTnn ede)(lim21/0 )(tf(C)P187 26第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 分析分析則則按照積分定義，在一定條件下，按照積分定義，在一定條件下，(C) 式可寫(xiě)為式可寫(xiě)為 )(gT記記,ede)(/tjtjTttf

20、gnnT )(lim210)(tfttftjtjdede)(21 )(tf(3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，級(jí)數(shù)求和級(jí)數(shù)求和發(fā)生了什么變化？發(fā)生了什么變化？ T二、非周期函數(shù)的傅立葉變換二、非周期函數(shù)的傅立葉變換1. 簡(jiǎn)單分析簡(jiǎn)單分析27第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 .d| )(| ttf(2) 絕對(duì)可積，即絕對(duì)可積，即),( 上的任一有限區(qū)間內(nèi)滿足上的任一有限區(qū)間內(nèi)滿足 Dirichlet 條件；條件；(1) 在在二、非周期函數(shù)的傅立葉變換二、非周期函數(shù)的傅立葉變換定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 滿足滿足)(tf.)0()0(21 tftf的間斷處，公式的左端應(yīng)為的間斷處，公式的左端應(yīng)為

21、在在)(tf2. Fourier 積分公式積分公式稱稱 (D) 式式為為 Fourier 積分公式積分公式。定義定義則在則在的連續(xù)點(diǎn)處，有的連續(xù)點(diǎn)處，有)(tf)(tfttftjtjdede)(21 (D)P187定理定理 8.2 28第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 (2) Fourier 逆變換逆變換( (簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱傅氏逆變換傅氏逆變換) )(tf)( F稱為稱為傅氏變換對(duì)傅氏變換對(duì)，記為，記為與與. )()( Ftf二、非周期函數(shù)的傅立葉變換二、非周期函數(shù)的傅立葉變換 ttfFtde)()(j )(tf de)(21)(jtFtf)( F 1(1) Fourier 正變

22、換正變換( (簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱傅氏正變換傅氏正變換) )定義定義其中，其中，稱為稱為象原函數(shù)象原函數(shù)稱為稱為象函數(shù)象函數(shù)，)(tf)( F3. Fourier 變換的定義變換的定義P188定義定義 8.1 注注 上述變換中的廣義積分為柯西主值。上述變換中的廣義積分為柯西主值。 29第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 .e| )(|)()(arg FjFF 二、非周期函數(shù)的傅立葉變換二、非周期函數(shù)的傅立葉變換4. Fourier 變換的物理意義變換的物理意義與與 Fourier 級(jí)數(shù)的物理意義一樣，級(jí)數(shù)的物理意義一樣，F(xiàn)ourier 變換同樣變換同樣稱稱 為為振幅譜振幅譜；稱稱 為為相

23、位譜相位譜。| )(| F)(arg F刻畫(huà)了一個(gè)非周期函數(shù)的頻譜特性，不同的是，非周期刻畫(huà)了一個(gè)非周期函數(shù)的頻譜特性，不同的是，非周期函數(shù)的頻譜是連續(xù)取值的。函數(shù)的頻譜是連續(xù)取值的。一般為復(fù)值函數(shù)，故可表示為一般為復(fù)值函數(shù)，故可表示為稱稱 為為頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)( (簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜或者或者頻譜頻譜) )；)( F定義定義)( F反映的是反映的是 中各頻率分量的分布密度，它中各頻率分量的分布密度，它)(tfP188 30第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 jjaja2)e(e2 aattdej aatjj e1)e(e1 jajaj .sin2 aaa )

24、( F ttftde)(j 解解)(tf(1)(tfa a1OtP188 例例8.2 31第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 )( F(2) 振幅譜為振幅譜為 aaasin2)(arg F anananan)22(|)12(,)12(|2,0 相位譜為相位譜為解解| )(| F2aO aa )(arg FOaa主瓣主瓣旁瓣旁瓣32第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 (3) 求求 Fourier 逆變換，即可得到的逆變換，即可得到的 Fourier 積分表達(dá)式。積分表達(dá)式。解解 dcossin221ta dsinsin22taj dcossin1ta .|,0

25、,|,21,|,1atatat. )0(,dsin axxxa dsin221etja)( F 1 )(tf，0 t可得重要積分公式可得重要積分公式 : 在上式中令在上式中令注注33第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 ，0 t可得重要積分公式可得重要積分公式 : 在上式中令在上式中令. )0(,dsin axxxa 一般地，有一般地，有 .0,0,0,0,dsinaaaxxxa 特別地，有特別地，有.2dsin0 xxx 注注34第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 0)(dettj j 1.22 j 0)(e)(1tjj 1O)(tft )( F 0jdee

26、ttt 解解)(tf(1)P190 例例8.4 35第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 解解振幅譜為振幅譜為 ;1| )(|22 F(2). )/arctan()(arg F相位譜為相位譜為|)(| F a/1O )(arg F2/ 2/ O36第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 de)(21tjF 00de21 tjtt0sin tt000sin )(tf解解)( F 100e21 tjt jjttjtj2ee100 1O)( F 0 0 . )(00tSa (?)( (關(guān)于抽樣信號(hào)關(guān)于抽樣信號(hào)) )P189 例例8.3 37第八章 傅立葉變換8.1 Fo

27、urier 變換的概念 d221etjj )(tf解解 )( F 1 dcos1dsin1jtjtj dsin1t 0,10,00,1ttt)(tft 1 1 .2sgn jt.sgn t記為記為 38第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 輕松一下39第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 歷史回顧歷史回顧 Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 附：附： 1807 年年 12 月月 12 日，在法國(guó)科學(xué)院舉行的一次會(huì)議上，日，在法國(guó)科學(xué)院舉行的一次會(huì)議上，F(xiàn)ourier 宣讀了他的一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的論文，宣稱：宣讀了他的一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的論文，宣稱：在有限區(qū)間上由在有限區(qū)間上由任意

28、任意圖形定義的圖形定義的任何任何函數(shù)函數(shù)都可以表示為單純的正弦與余弦函數(shù)之和。都可以表示為單純的正弦與余弦函數(shù)之和。經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德三人經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德三人( (號(hào)稱號(hào)稱 3L) )審閱后，審閱后，認(rèn)為其推導(dǎo)極不嚴(yán)密，被拒認(rèn)為其推導(dǎo)極不嚴(yán)密，被拒( (鋸鋸) )收收。40第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 1811 年，年，F(xiàn)ourier 將修改好的論文：將修改好的論文：提交給法國(guó)科學(xué)院。提交給法國(guó)科學(xué)院。關(guān)于熱傳導(dǎo)問(wèn)題的研究關(guān)于熱傳導(dǎo)問(wèn)題的研究其新穎、實(shí)用，從而于其新穎、實(shí)用，從而于 1812 年獲得法國(guó)科學(xué)院頒發(fā)的年獲得法國(guó)科學(xué)院頒發(fā)的大獎(jiǎng)，但仍以

29、其不嚴(yán)密性被大獎(jiǎng)，但仍以其不嚴(yán)密性被論文匯編論文匯編拒拒( (鋸鋸) )收。收。經(jīng)過(guò)評(píng)審小組經(jīng)過(guò)評(píng)審小組( ( 3L ) )審閱后，認(rèn)為審閱后，認(rèn)為歷史回顧歷史回顧 Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 附：附： 41第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 1822 年，年，F(xiàn)ourier 經(jīng)過(guò)十年的努力，終于出版了專(zhuān)著：經(jīng)過(guò)十年的努力，終于出版了專(zhuān)著：熱的解析理論熱的解析理論這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用的三角級(jí)數(shù)方法，發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，特別是在的三角級(jí)數(shù)方法，發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，特別是在工程應(yīng)用方面顯示出巨

30、大的價(jià)值。工程應(yīng)用方面顯示出巨大的價(jià)值。歷史回顧歷史回顧 Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 附：附： 42第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 1829 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家年，德國(guó)數(shù)學(xué)家 Dirichlet 終于對(duì)一類(lèi)條件較終于對(duì)一類(lèi)條件較“寬寬”的的函數(shù)給出了嚴(yán)格的證明。時(shí)年函數(shù)給出了嚴(yán)格的證明。時(shí)年 24 歲。歲。 1830年年 5 月月 16 日，日，F(xiàn)ourier 在巴黎去世。在巴黎去世。啟示：?jiǎn)⑹荆?1) 有價(jià)值的東西一定是真的；真的東西一定是美的。有價(jià)值的東西一定是真的；真的東西一定是美的。(2) 堅(jiān)持不懈的努力就一定會(huì)有收獲。堅(jiān)持不懈的努力就一定會(huì)有收獲。歷史回顧歷史回顧 Fo

31、urier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 附：附： 43第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。 對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)。對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)。 對(duì)德國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。對(duì)德國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。德國(guó)數(shù)學(xué)家(18051859)狄利克雷Dirichlet，Peter Gustav Lejeune人物介紹人物介紹 狄利克雷狄利克雷附：附：44第八章 傅立葉變換8.1 Fourier 變換的概念 1859年年5月月5日卒于格丁根。日卒于格丁根。 1839年任柏林大學(xué)教授。年任柏林大學(xué)教授。 1855年接任年接任 C. F. 高斯高斯在哥廷根大學(xué)的教授職位。在哥廷根大學(xué)的教授職位。 1805年年2月月13日生于迪倫。日生于迪倫。 18221826年在巴黎求學(xué)。年在巴黎求學(xué)。中學(xué)時(shí)曾受教于物理學(xué)家中學(xué)時(shí)曾受教于物理學(xué)家 G. S. 歐姆歐姆。回國(guó)后先后在布雷斯勞大學(xué)和柏林軍事學(xué)院任教?；貒?guó)后先后在布雷斯勞大學(xué)和柏林軍事學(xué)院任教