1、參數方程應用專題1 .分析一：注意到變量（x, y）的幾何意義，故研究二元函數x+2y的最值時，可轉化為幾何問題。若設x+2y=t,則方程x+2y=t表示一組直線（t取不同的值，方程表示不同的直線） 顯然（x, y）既滿足2x2+3y2=12,又滿足x+2y=t ,故點（x, y）是方程解法一：分析二：由于研究二元函數 x+2y相對困難，因此有必要消元， 但由x, y滿足的方程2x2+3y2=12 表出x或y,會出現無理式，這對進一步求函數最值依然不夠簡潔，能否有其他途徑把二元 函數x+2y轉化為一元函數呢？解法注以上兩種解法都是通過引入新的變量來轉化問題，解法一是通過引入t,而把x+2y幾何

2、化為直線的縱截距的最值問題；解法二則是利用橢圓的參數方程，設出點P的坐稱為“參數法”。2 .求橢圓2 .解：（先設出點P的坐標，建立有關距離的函數關系）3 .已知實數 x, y 滿足(x-1 2 +(y-2f =25,求 x2 +y2,2x+y 的最值。x = 1 +5cos日 解：設圓的參數萬程為 ,但為參數)y = 2 +5sin8 x2 +y2 =(1 +5cos 日 2 +(2+5sin 日 2 = 30 + 10<5sin(0最大值與最小值分別是30 10 5,30 -10.52x + y=2(1+5cos8)+2 + 5sine=4+15sin® +邛)，最大值與最

3、小值分別是19與-11。4. （ 1984年高考題）在 ABC中，/ A, / B, / C所對的邊分別為a、b、c,c=10, cosA =- =- , P為ABC的內切圓的動點，求點 P到頂點A B、C的距離的平方和 cos B a 3的最大值和最小值。解：由，運用正弦定理，可得：sinA cosA=sinB cosBsin2A=sin2B由 Aw B,可得 2A=ti-2B。A+B=,則 ABC為直角三角形。又C=10,可得：a=6,b=8,r=2一 一 x = 2+ 2cos9 如圖建立坐標系，則內切圓的參數方程為l（e為參數）y =2 + 2sin8. _ _-_-222 -一 一一

4、所以圓上動點P的坐標為（2 + 2cosH,2+2sinB）,從而PA + PB +| PC =80 8日因0w Q <2兀，所以所最大值與最小值是88, 72225.設直線l :x +2y -2 =0 ,交橢圓C : 十y= 1于A、B兩點，在橢圓C上找一點P,94使MBP面積最大。x = 3cos9解：設橢圓的參數方程為J（8為參數），則P（3cos,2si n ）,到直線y = 2sinl : x+2y -2 =0的距離為3cos日 +4sin 日-2|5sin（6 + 中）一2 55此時s i （生+邛）=一1,即日+邛=更時,2x =3cos8 = -9化 8、,5,所以 p

5、9,81y =2sin 0 = 55 57J56 .求直線x+/3y -1 =0的參數方程，并說明參數的幾何意義。設Mo（1,0 ）, M是直線上任意一點，則t表示有向線段 MM0的數量。3 x=2+t，45 (t為參數)，yt5254(1)PM11t2 _ 152 一 4(2)c 3 15 x = 25 44 15 y =5 4174所以=3 47 .已知：直線l過點P（2,0）,斜率為一，直線l和拋物線y2 =2x相交于A, B兩點，設線 3段AB的中點為M，求（1） P, M兩點間的距離。（2） M點的坐標。（3）線段AB的長AB。4 .4.43 解：由tana = 一得：since =

6、,cosc(=一，所以直線的參數萬程為 355代入 y2 =2x化簡彳導:16t2 6t 4=0 , ti +t2 =15,tit2 =2558，、3 5J65(3) AB =%： t1 +t2 2 - 4t1t2 =88.分析與解：方法之一可把直線的參數方程化為普通方程，與雙曲線方程聯立，消元，再結合韋達x = 2 t（t為參數）2. 3 .y = t2(1年代入x2 -y2 =1,得：2+t<2 J整理,得 t 2-4t -6 = 0設其二根為t1 , t2 ,則ti t2 = 4, t1 t2 - -6從而弦長為 AB =t1 -12 I = d(t1 +t2 2 -4t1 t2

7、=j42 4(6)= V40 =2師9直線，則AB的中點坐標為9.中點坐標為(把代入，設 A、B對應的參數分別為，則 AB中點對應的參數為，將代入直線參數方程, 可求得中點的坐標。)10 (1)寫出經過點Mo(1,5),傾斜角是冗/3的直線l的參數方程;(2)利用這個參數方程，求這條直線l與直線x - y -2V3 = 0的交點到點Mo的距離。(3)求這條直線l和圓x1 2 +y2 =16的兩個交點到點 Mo的距離的和與積。1x =1 + t解：(1)20為參數)c , 3 .y =5十t(2)10 6 3x =1 +1t把，J- (t為參數 戕入x2+y2=16化簡彳導:t2+(1+5忑1+

8、10 = 0y =5 + tL2t1 -121 =，。1 +t2 2 -4墳2 =,36+10點，皿=1011求經過點(1,1),傾斜角為135°的直線截橢圓y2 = 1所得的弦長。解：直線的參數方程為.2x =1 - t2-(t為參數2y = 1 t2y2 =1 化簡得 5t2 6 2t 2 = 0t1 -t2=&1 +t2 2 - 4堞2 =4.25八、1112.已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線方程是 y =±a x .過點P(-4,0 )作斜率為- 的直線l ,使得l和G交于A,B兩點，和y軸交于點C ,并且點P在線段AB上，又滿足2PA PB = PC

9、.求雙曲線G的方程；x = 4把直線l的參數方程方程帚t為參數）代入雙曲線方程，整理得17t232-t +16m=0,設A, B對應的參數為t1，t2,172_32, 12. ：二-4 171746< 3由韋達定理:11t 217 -16-m , PA12PB = tt2171712人4令4 + -；=t .17t = . 17, PC =d17由|P Ap3（m -16）=17 , m =282872x所以，雙曲線的方程為 一13.已知Il,l2是過點P（）的兩條互相垂直的直線，且I|,|2與雙曲線y2-x2=1各有兩個交點，分別為 A1,B1 和 A2,B2.若|A1B1| = A2

10、B2I求 I|,I2 的方程.13 .設I1的參數方程為：x 二 一"'24cosa （t為參數），則l2的參數方程為： y = tsin 二x = - 2 tcos（-二，）2Jly = t sin（萬：）（t為參數），即'x = r5-tsinC（t 為參數） y = tcos”把它們代入22y -x. 2t cos2 二-2 2tsin« 3 = 0,設 A,B1,A2,B2對應的參數是 L,t2,t3,t4,定 理 得 t1 +t23cos 2 二2 2 cos 工,tt 2cos2-二 A1B1=t1一 t22二 t1t2- 4t1t2_28cos

11、 -122 cos2- cos2：同理：,A2 B2=t32一 t4二13 t 4。4t 3t 48sin2 112= 2 一cos 2- cos2-由 A1B1A B28cos=1 得：t cos2u -2V2t cos« +3 = 0 : _ 12 cos2 2 1cos2:22、8sin2口 十 12【cos2 2ac 02s /2cos2u =sin2a , tana =±42 ,所以所求的直線方程為:l1 ： y =V2(x + J2或，l2:y = _2_(x + 顯)l1 ： y =-® x + 應)夜 l l2 ： y = -2- x、2的值為最1

12、4.已知直線l過點P(3,2 ),且與x軸y軸的正半軸分別交于 A,B兩點，求PA j PB小值時的直線l的方程.參數2J26272橫坐標2-4i12-3后0縱坐標5 +衣65 + 3<27根據數據，可知直線的參數方程為，直線被圓(x 2f+(y5)2=8截得15.下表是一條直線上的點和對應參數的統計值的弦長為_2x = 2 - t2- (t為參數J4<22y =5 t216.給出兩條直線li2，斜率存在且不為0,如果滿足斜率互為相反數，且在y軸上的截距相等，那么直線l1,l2叫做攣生直線.(1)現給出4條直線：x = 2 + 2t.2 x = 3 - t”(t為參數y = 4 -

13、 - t2.2y = -8 t2(2)給出兩條直線li ：'x =x +tcos%（t為參數12 ： 4 y = y1 +sina1'x = x2 +tcost2全半.（t為參數） y = y2 +sina2那么lij2構成攣生直線的條件是什么（I） l1,l4 ； （2）tan% = tana2 且 y1 _y2 = x1 tana1 - x2 tana217.已知點M (2,1利雙曲線x22y- = 1 ,求以M (2,1曲中點的雙曲線右支的弦AB所在的直線l的方程。解：設所求的直線l的方程為:x = 2+tcos3好 1小.2（e為參數）代入xy = 1 +tsin62=

14、1化簡得：2.2t cos0.1 o .5s -sin a j+t（4cos9sin 8 ）+3 = 0,二 t1 +t2sin -4cos1C021.2.cos sin 12二k =tan =4,所求的直線l的方程為：4x + y9=02218.過點B（0,a昨雙曲線x -y2二a右支的割線 BCD,又過右焦點 F作平行于 BD的直線，交雙曲線于(1)求證：BCG、H兩點。BD o=2 ；FH(2)設M為弦CD的中點,S.MBF3-2-a2,求害U線 BD2的傾斜角的正切值。證明：(1 ) 設lBC:'"tcos" （t 為參數）、y = -a +t sin&qu

15、ot;2代入x2=a 得：t2 co2-s 2ats2i - n- 2a = 0BCbd =t1t22a2cos2 l GH :xTa+tcos%為參數y =t sin ”t2 c2 o 2 . 2at c ： oa2 =s0GFBC BD 2GF FH(2)由(1)知 ti +t22cosa - a sin a，二 BM -cos2acos2a“2 tana +1F到BD距離為I：, 二.tan2。： -1<2tana +1 sin a 23V2 2匿,a =a , tana =,tan :工 7 8s222219.從橢圓x- +）一=1上任一點向短軸的兩端點分別引直線，求這兩條直線在x軸上截距94的乘積。、，、土, ,、土x = 3cosB.解化方程為參數方程：,（。為參數）y =2sinB設P為橢圓上任一點，則P（3cos 0 ,2sin。昉是，直線BP的方程為：y -2sin '