1、課時素養(yǎng)評價 五十六簡單的三角恒等變換(二) (25分鐘·50分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多項選擇題全選對的得4分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分)1.函數(shù)y=12sin 2x+sin2x,xr的值域是()a.-12,32b.-32,12c.-22+12,22+12d.-22-12,22-12【解析】選c.y=12sin 2x+sin2x=12sin 2x-12cos 2x+12=22sin2x-4+12,因為-1sin2x-41,所以y=12sin 2x+sin2x的值域為-22+12,22+12.【加練·固】若函數(shù)f(x)=(1+3tan x)cos x,

2、0x<2,則f(x)的最大值是()a.1b.2c.3+1d.3+2【解析】選b.f(x)=(1+3tan x)cos x=1+3sinxcosxcos x=3sin x+cos x=2sin x+6.因為0x<2,所以6x+6<23,所以當x+6=2時,f(x)取到最大值2.2.若sin(+)cos -cos(+)sin =0,則sin(+2)+sin(-2)等于()a.1b.-1c.0d.±1【解析】選c.因為sin(+)cos -cos(+)sin =sin(+-)=sin =0,所以sin(+2)+sin(-2)=2sin cos 2=0.3.若tan4-=3

3、,則cos21+sin2=()a.3b.-3c.34d.-34【解析】選a.因為tan4-=1-tan1+tan=3,所以tan =-12.所以cos21+sin2=cos2-sin2sin2+2sincos+cos2=1-tan2tan2+2tan+1=1-1414-1+1=3.4.(多選題)設函數(shù)f(x)=sin2x+4+cos2x+4,則()a.y=f(x)的最小值為-2,其周期為b.y=f(x)的最小值為-2,其周期為2c.y=f(x)在0,2內單調遞增,其圖象關于直線x=4對稱d.y=f(x)在0,2內單調遞減,其圖象關于直線x=2對稱【解析】選a、d.f(x)=2sin2x+4+4

4、=2sin2x+2=2cos 2x,所以y=f(x)在0,2內單調遞減,周期為,又f2=2cos =-2,是最小值.所以函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱.二、填空題(每小題4分,共8分)5.函數(shù)y=1-tan22x1+tan22x的最小正周期是_. 【解析】y=1-tan22x1+tan22x=cos 4x,t=24=2.答案:26.如圖所示,有一塊正方形的鋼板abcd,其中一個角有部分損壞,現(xiàn)要把它截成一塊正方形的鋼板efgh,其面積是原正方形鋼板面積的三分之二,則應按角度x=_來截. 【解析】設正方形鋼板的邊長為a,截后的正方形邊長為b,則a2b2=32,ab=

5、32,又a=gc+cf=bsin x+bcos x,所以sin x+cos x=62,所以sin x+4=32.因為0<x<2,4<x+4<34,所以x+4=3或23,x=12或512.答案:12或512三、解答題(共26分)7.(12分)設函數(shù)f(x)=2cos2x+sin2x-6+a(其中>0,ar),且f(x)的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為6.(1)求的值.(2)設f(x)在區(qū)間6,3上的最小值為3,求a的值.【解析】f(x)=1+cos 2x+32sin 2x-12cos 2x+a=sin2x+6+a+1.(1)由2x+6=2k+2(kz)得x=

6、k+6(kz).又>0,所以當k=0時,f(x)的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為x=6=6,故=1.(2)由(1)知f(x)=sin2x+6+a+1,由6x3,得32x23,22x+656,所以當2x+6=56,即x=3時,f(x)取得最小值為12+a+1.由12+a+1=3,得a=3-32.8.(14分)有一塊以o為圓心的半圓形空地,要在這塊空地上劃出一個內接矩形abcd,使其一邊ad落在圓的直徑上,另外兩點b,c落在半圓的圓周上,已知半圓的半徑長為a,如何選擇關于點o對稱的點a,d的位置,可以使矩形abcd的面積最大?【解析】如圖所示,設aob=0,2,則ab=asin ,o

7、a=acos .設矩形abcd的面積為s,則s=2oa·ab,所以s=2acos ·asin =a2·2sin cos =a2sin 2.因為0,2,所以2(0,).因此,當2=2,即=4時,smax=a2.這時點a,d到點o的距離為22a,矩形abcd的面積最大值為a2. (15分鐘·30分)1.(4分)已知cos,sin 是函數(shù)f(x)=x2-tx+t(tr)的兩個零點,則sin 2=()a.2-22b.22-2c.2-1d.1-2【解析】選a.因為cos ,sin 是函數(shù)f(x)=x2-tx+t(tr)的兩個零點,所以sin +cos =t,sin

8、 cos =t,由sin2+cos2=1,得(sin +cos )2-2sin cos =1,即t2-2t=1,解得t=1-2,或t=1+2(舍).所以sin 2=2sin cos =2t=2-22.2.(4分)要使3sin +cos =4m-64-m有意義,則應有()a.m73b.m-1c.m-1或m73d.-1m73【解析】選d.3sin +cos =232sin+12cos=2sin+6=4m-64-m,所以sin+6=2m-34-m,由于-1sin+61,所以-12m-34-m1,所以-1m73.3.(4分)已知cos4+·cos4-=34,34,則sin +cos 的值是_

9、. 【解析】cos4+·cos4-=sin4-cos4-=12sin2-2=12cos 2=34.所以cos 2=32.因為34,所以232,2,所以sin 2=-12,且sin +cos <0.所以(sin +cos )2=1+sin 2=1-12=12.所以sin +cos =-22.答案:-22【加練·固】已知sin =12+cos ,且0,2,則cos2sin-4的值為_. 【解析】將sin -cos =12兩邊平方,得2sin ·cos =34,所以(sin +cos )2=74,所以sin +cos =72,則cos2sin-

10、4=cos2-sin222(sin-cos)=-2(sin +cos )=-142.答案:-1424.(4分)已知a+b=23,那么cos2a+cos2b的最大值是_,最小值是_. 【解析】因為a+b=23,所以cos2a+cos2b=12(1+cos 2a+1+cos 2b)=1+12(cos 2a+cos 2b)=1+cos(a+b)cos(a-b)=1+cos23cos(a-b)=1-12cos(a-b),所以當cos(a-b)=-1時,原式取得最大值32;當cos(a-b)=1時,原式取得最小值12.答案:32125.(14分)已知函數(shù)f(x)=2cos2x2,g(x)=si

11、nx2+cosx22.(1)求證:f2-x=g(x).(2)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)(x0,)的單調區(qū)間,并求使h(x)取到最小值時x的值.【解析】(1)f(x)=2cos2x2=1+cos x,g(x)=sinx2+cosx22=1+2sinx2cosx2=1+sin x.因為f2-x=1+cos2-x=1+sin x,所以f2-x=g(x).(2)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=cos x-sin x=222cosx-22sinx=2cosx+4.因為x0,所以4x+454,當4x+4,即0x34時,h(x)單調遞減,當<x+454,即34<x時,h(x)單調遞增.

12、所以函數(shù)h(x)的單調遞減區(qū)間為0,34,單調遞增區(qū)間為34,根據(jù)函數(shù)h(x)的單調性,可知當x=34時,函數(shù)h(x)取到最小值.1.已知cos2-cos2=a,那么sin(+)·sin(-)等于()a.-a2b.a2c.-ad.a【解析】選c.sin(+)sin(-)=(sin cos +cos sin )(sin cos -cos sin )=sin2cos2-cos2sin2=(1-cos2)cos2-cos2(1-cos2)=cos2-cos2=-a.2.如圖,矩形abcd的長ad=23,寬ab=1,a,d兩點分別在x,y軸的正半軸上移動,b,c兩點在第一象限,求ob2的最大值.【解析】過點b作bhoa,垂足為