1、§7-4平面應(yīng)力狀態(tài)一、一點處的應(yīng)力狀態(tài)及單元體在討論軸向拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力時，我們已經(jīng)知道通過拉（壓）桿內(nèi)任一點處的斜截面上的應(yīng)力是隨著截面方位角的變化而變化的。在圓軸扭轉(zhuǎn)時，截面上各點處剪應(yīng)力的大小與該點與截面形心的距離成正比例關(guān)系；等直梁彎曲時， 梁橫截面上各點處的正應(yīng)力 及剪應(yīng)力隨與截面中性軸的距離而變化。因此，為了解決構(gòu)件的強度問題，就要知道受荷載作用后的構(gòu)件，在哪一點處及過該點處的哪個方位的斜截面上的應(yīng)力是最大的，并研究其破壞的原因。 過桿件內(nèi)一點的所有不同方位截面上在該點處的應(yīng)力情況，稱為此點處的應(yīng)力狀態(tài)。如圖 7-18a 所示，為研究梁在荷載作用下其橫截面m m

2、 上 A 點處的應(yīng)力情況， 圍繞該點取一個邊長為微分量的正六面體為研究對象，這個微六面體稱為單元體。在 m m 截面處截取微段長 dx，然后在 A 點處用兩相距為dy 高的上下水平面和相距寬為dz 的前后豎直平面相切割，取出 單元體 （又稱微元體） ,如圖 7-18b所示。根據(jù)梁的 M 和 Q 圖（圖 7-18c）可知，此單元體左側(cè)截面上有受壓的正應(yīng)力和向上的切應(yīng)力，由于梁在荷載作用下是平衡的，因而從其中取出的單元體也應(yīng)平衡，則單元體右側(cè)截面有受壓的正應(yīng)力和向下的切應(yīng)力，根據(jù)剪應(yīng)力互等定理得出上下水平面上的應(yīng)力如圖7-18b 所示。當前后豎直平面上的應(yīng)力為零時的應(yīng)力狀態(tài)，稱為平面應(yīng)力狀態(tài) ，可

3、用如圖 7-18d所示的平面圖形表示。Pb)mmAma) ABmdxzAyzdmdym dxQ圖m-m截面c)d)M 圖A圖 7-18二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析 解析法從受力構(gòu)件內(nèi)取出一點，其平面應(yīng)力狀態(tài)的單元體，如圖7-19a 所示。四個側(cè)面上的應(yīng)力為x 、 x 和y 、y 。單元體前后兩個面上的應(yīng)力為零，可用如圖7-19b所示的平面圖形表示。yyydynfaffxdAx xx xxxxdA cosxxxce bxeceycyydA sinyyya)b)c)d)圖7-19現(xiàn)討論圖示單元體中任意斜截面ef 上的應(yīng)力。斜截面的方位角從 x 截面（其法線與x軸重合）量起，以逆時針轉(zhuǎn)向為正。在90 90間

4、變化時，該斜截面（通常稱為截面）就代表圖中的所有截面。用截面法將單元體沿ef截開，取出ecf楔體為研究對象，如圖7-19c所示。斜截面上的應(yīng)力為和，設(shè)斜截面的面積為dA，則平面cf和ce的面積分別為dAcos和dA sin，如圖7-19d所示。列平衡方程求和。由X0得：dAcosdA sinxdA cosydAsin0（ 7-8）由Y0得：dA sindA cosxdA sinxdA cos0（ 7-9）根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，并有三角函數(shù)關(guān)系：cos21cos22sin 21cos22sin 2sincos將上述三式代入（7-8）、（ 7-9）得：xyxy cos2x sin 2（7-10）22

5、xy sin 2xcos2（ 7-11）2式（ 7-10）、（7-11）就是平面應(yīng)力狀態(tài)時計算過一點任一方位斜截面上的應(yīng)力公式，它反映了斜截面上的應(yīng)力隨方位角的變化規(guī)律。例 7-6 如圖 7-20 所示，矩形截面簡支梁的截面尺寸b 200mm ， h600mm 。試求距離支座 0.5mm 處截面上 A 點在斜截面 m m 上的應(yīng)力。m80KNAb/4b/4Az40b/2mb/2 b/20.5m1.5ma)yb)0.858MPaAA0.833MPa400.475MPaAA0.375MPaA0.375MPaAd)c)圖 7-20解：（ 1）求距離支座0.5mm 處截面上的剪力和彎矩Q8040kN2

6、M400.520kN m（ 2）求截面上 A 點的正應(yīng)力及剪應(yīng)力AMyA20 103 10316000.833MPaI z2006003412450)40103200450(300AQSz120.375MPaI zb320020012600（ 3）求斜截面 mm 上的應(yīng)力40xyxycos2xsin 2AA cos 2A sin 222220.8330.833400.375 sin 2400.858MPa22cos 240xy sin 2xcos2Asin 2Acos2220.833sin 2400.375 cos2400.475MPa2斜截面 mm 上的應(yīng)力均為負值， 說明正應(yīng)力是壓應(yīng)力，

7、剪應(yīng)力的方向?qū)卧w是逆時針方向錯動的，如圖 7-20c 所示。三、平面應(yīng)力狀態(tài)分析 圖解法前面討論了用解析法計算單元體內(nèi)斜截面上的應(yīng)力， 下面將研究用圖解法 （應(yīng)力圓法），求單元體內(nèi)任一斜截面上的應(yīng)力。將式（ 7-10）改寫為：xyxycos2xsin 222把上式及式（7-11）各自平方相加，整理后得：222xy2xy222x上式為一圓的方程，在直角坐標系中，該方程代表圓心為（xy ，0），半徑22為xy2 的圓。通常稱這個圓為應(yīng)力圓（或莫爾圓）。2x應(yīng)力圓是根據(jù)單元體的x 截面（以 x 軸為法線的面）和y 截面（以 y 軸為法線的面）上已知的應(yīng)力x 、 x 、y、 y 做出的。具體步驟為

8、：1）建立直角坐標系，選取比例尺；2）根據(jù) x 截面上的x 、 x 值，在坐標系中定出 D x 點，根據(jù)y 截面上的y 、 y 值在坐標系中定出 D y點；3）以 D x D y 為直徑作圓即得應(yīng)力圓，如圖7-21b 所示。從圖上不難證明， 直徑與軸的交點 C 即為圓心， 其坐標為 （xy ，0），半徑 CD x22的大小為xyx2 。所以按上述方法作出的圓確為式（ 7-10）（ 7-11）對應(yīng)的圖形。2畫出應(yīng)力圓后， 可用它來求單元體內(nèi)任一斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。應(yīng)力圓上的點與單元體內(nèi)某一個斜截面上的應(yīng)力之間的關(guān)系如下：1）應(yīng)力圓圓周上的某一點的坐標值（，）與單元體內(nèi)某個斜截面上的應(yīng)力值、

9、一一對應(yīng)。 如圖 7-21b 中的應(yīng)力圓上的D x 點對應(yīng)單元體的x 平面，應(yīng)力圓上的 Dy 點對應(yīng)單元體的 y 平面，應(yīng)力圓上的 E 點對應(yīng)單元體上傾角為的斜截面。2）應(yīng)力圓上點與點之間的關(guān)系對應(yīng)單元體上面與面之間的關(guān)系。應(yīng)力圓上兩點間圓弧所對的圓心角為單元體中對應(yīng)的兩個截面所夾角度的兩倍。如圖7-21b 中，應(yīng)力圓上D x 和Dy 兩點間圓弧所對應(yīng)的圓心角為180°，單元體中相對應(yīng)的兩個截面（x、y 截面）所夾角度為 90°，是兩倍的關(guān)系，并且它們的轉(zhuǎn)向相同?？傊?，應(yīng)力圓圓周上某一點與單元體內(nèi)斜截面上應(yīng)力之間的關(guān)系為“點面對應(yīng)、 轉(zhuǎn)向相同、夾角兩倍” 。yynyxxxxxyyaxED xy2xoCyD y11 )2( + )2(xyxyb圖 7-21例 7-7如圖 7-22 所示，某工字鋼簡支梁一點處的單元體，試用應(yīng)力圓法求解40 時斜截面上的應(yīng)力。A20Dxn8040Co1002020 DyMPaa)b)圖 7-22解：建立直角坐標系， 選取比例尺， 以 x100MPa