1、第一章集合與充要條件一、集合的概念（一）概念1. 集合的概念：將某些的對象看成一個就構成一個集合，簡稱為。一般用表示集合。組成集合的對象叫做這個集合的。一般用表示集合中的元素。2. 集合與元素之間關系：如果 a 是集合 A 的元素，就說 aA，記作；如果 a 不是集合 A 的元素，就說aA，記作。3. 集合的分類：含有的集合叫做有限集；含有的集合叫做無限集；的集合叫做空集，記作。（二） 常用的數集：數集就是由組成的集合。1.自然數集：所有組成的集合叫做自然數集，記作；2.正整數集：所有組成的集合叫做正整數集，記作；3.整數集：所有組成的集合叫做整數集，記作；4.有理數集：所有組成的集合叫做有理

2、數集，記作；5.實數集：所有組成的集合叫做實數集，記作。（三） 應知應會：1.自然數：由和構成的實數。2.整數：由和構成的實數。偶數：被 2 整除的數叫做偶數；奇數：被 2 整除的數叫做奇數。3.分數：把平均分成若干份，表示這樣的或的數叫做分數。 分數中間的叫做分數線。分數線的數叫做分母，表示把一個物體；分數線的數叫做分子，表示。4.有理數：和統稱有理數。5.無理數：的小數叫做無理數。6.實數：和統稱實數。二、集合的表示法表 示 法列 舉法描 述 法定義將集合中的元素利用元素的來表示表示集合的方法。集合的方法。1. 在中畫一條；2. 左側寫上集合的，并標出元素的；（如果上下文中能夠明顯看出集合

3、中的元素1. 將集合中的元素；為實數，可以不標出元素的取值范具體方法2. 用分隔；圍。）3. 用括為一個整體。3. 右側寫出元素所具有的。【注】在使用描述法表示某些集合時，可以用來敘述集合的，再用括起來。優點明確、直接看到集合中的元素。清晰地反映出元素的特征性質。不足能表示的集合有限。抽象，不能直接看出元素。適用類型一般用來表示有限集。一般用來表示無限集。【幾個常用集合的表示方法】（一）數集：集合列舉法描述法偶數集合正偶數集合負偶數集合奇數集合正奇數集合負奇數集合1（二）點集：在平面直角坐標系中，由 x 軸上所有點組成的集合由 y 軸上所有點組成的集合由第一象限所有點組成的集合由第二象限所有點

4、組成的集合由第三象限所有點組成的集合由第四象限所有點組成的集合三、集合之間的關系集合間的子 集真子集相 等關系一般地，如果集合 B如果集合 B 是集合 A一般地，如果兩個集的，并且 A中的元素集合 A合的元素，定義有元的元素，那么把集合 B那么就說這兩個集合素屬于 B，那么把叫做集合 A 的子集。相等。B 叫做 A 的真子集。符號表示B A（或AB）BA（或 AB）B A（或AB）讀作BABA（或 AB）（或 AB）圖示1.任何一個集合都是它自身的。明確2.空集是任何集合的；是任何集合的。3.一個集合中有 n 個元素，則它的子集的數目為；真子集的數目為。四、集合的運算（一）交集1.定義：一般地

5、，對于兩個給定的集合 A、B，由的所有元素組成的集合叫做A與 B的交集。2.記作： AB；讀作： AB。3. 集合表示： A _ B _ | _ _ 。4. 圖示：用陰影表示出集合 A 與 B 的交集。ABAABB5. 性質：由交集的定義可知，對任意的兩個集合 A、 B，有（1）AB_ ；（2） A A _, A_ ；（3） A B_ A, A B_ B。（二）并集1.定義：一般地，對于兩個給定的集合A、B，由的所有元素組成的集合叫做A與 B的并集。2.記作： AB；讀作： AB。3. 集合表示： A _ B _ | _ 。4. 圖示：用陰影表示出集合 A 與 B 的并集。ABAABB5. 性

6、質：由并集的定義可知，對任意的兩個集合 A、B，有（1） A B _ ；（2） A A _, A_ ；（3） A _ A B, B _ AB 。2（二）補集1. 全集：（1）定義：在研究某些集合時，這些集合常常是一個給定集合的，這個給定的集合叫做全集。（2）表示：一般用來表示全集。（3） 在研究數集時，經常把作為全集。2.補集的定義：如果集合 A 是全集 U 的，那么，由 U 中A 的所有元素組成的集合叫做 A的補集。3.記作：；讀作：。4.集合表示： _ | _5.圖示：用陰影表示出集合 A 在全集 U 中的補集。UA6. 性質：由補集的定義可知，對任意的集合A，都有（1）ACU A_；（2

7、）ACU A_；（3） CU (CU A)_ ；（4） CU ( AB)_ ；（5） CU ( AB)_ 。五、充要條件（一）相關概念：1. 命題：判斷一件事情的語句叫做命題。2. 命題的表示方法：使用小寫英語字母 p、 q、 r、s 等表示命題。3. 真命題：成立（正確）的命題是真命題。4. 假命題：不成立（錯誤）的命題是假命題。5. “如果 .，那么 .”命題：一般形式為“如果 p，那么 q”。6. 題設（條件）：“如果”后接的 p。7. 結論：“那么”后接的 q。（二）充要條件：1. 充分條件：“如果 p，那么 q”是命題，而“如果q，那么 p”是命題，則稱 p是 q 的充分條件。記作：

8、 pq；讀作：由條件p結論 q。2. 必要條件：“如果 p，那么 q”是命題，而“如果q，那么 p”是命題，則稱 p是 q 的必要條件。記作： pq；讀作：由結論q條件 p。3. 充要條件：如果，并且，那么稱 p 是 q 的且條件，簡稱充要條件。記作： pq；讀作： p 與 q。4. 既不充分又不必要條件：如果，并且，那么稱 p 是 q 的既不充分又不必要條件。第二章不等式一、比較實數大小的方法（一）實數的大小與正負1.正數零，負數零，正數負數。2.兩個正數，絕對值大的數；兩個負數，絕對值大的數。3.正數的和為數，負數的和為數。4.同號相乘（除）得數；毅號相乘（除）得數。5.互為相反數的兩個數

9、之和為；互為倒數的兩個數之積為。（二）數軸1.定義：數軸是一條規定了、的直線。2.意義：數軸上的點與實數是的關系。3.在數軸上，原點所代表的實數是，原點右邊的點所代表的實數是數，原點左邊的點所代表的實數是數。4.在數軸上，右邊的點代表的數總比左邊的點代表的數，即，越往右的點代表的數越，越往左的點代表的數越。5. 在數軸上，表示下列數的范圍：（1）x 3；（2）x < 2；（3） 1 x < 3。3（三）比較兩個實數大小的方法：比較法。一般地，對于兩個任意的實數a 和 b，有ab0_; ab0_; ab0_.區間集合圖像(a, b)二、不等式的基本性質1. 對稱性： a b2. 傳遞

10、性： a b, b3. 加法性質： a b a b,。c_ 。_ ；cd_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。 a, b 4. 乘法性質： ab,c0_ ，_ ；ab, c0_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ ；_ab0 , cd0_ _ _ _ _ _ _ _ ；_ab0_ _ _ _ _ _ _ _ _ n _ _ (；ab0_ _ _ _ _ _ _ _ _ n _ _ (。三、區間（一）區間表示的對象：。由上兩點間的一切所組成的集合叫做區間。這兩個點叫做區間。（二）區間的分類及定義：1. 有限區間（1）開區間：端點的區間。（2）閉區間：端點的區間。（3）右半開區間：

11、端點的區間。（4）左半開區間：端點的區間。2. 無限區間：至少有一個端點的區間。（1）不存在右端點時，可以用符號表示，讀作；（2）不存在左端點時，可以用符號表示，讀作。（三）區間、集合與圖像的關系設 a、b 為任意實數，且a < b ，則各種區間表示的集合如下表：( a, b a, b )(,b)(,b(a,)a,)(,)四、一元一次不等式1.定義：含有個未知數且未知數的最高次數是的不等式。2.一般形式： axb 0 (0)或 ax b 0 ( 0)，其中 a0 。3. 一元一次不等式在各種情況下的解集：4解集 ( a0)解集 (a 0,b24ac, x1x2 )方程或方程或不等式不等式

12、a 0000a 0yyyyaxb的圖像yy2yaxbxc的圖像OxOxOxOxOxax 2bxc0ax 2bxc0axb0ax2bxc 0描述法 :描述法 :ax 2bxc0axb0(axb 0)區間表示 :區間表示 :ax2bxc 0描述法 :描述法 :4.解一元二次不等式的基本步驟：（1）將不等式化為一元二次不等式的形式，并；axb 0區間表示 :（2）設 ax2bx c 0 ，并解方程；(axb 0) 區間表示 :（3）根據上表，寫出一元二次不等式的解集。六、含絕對值的不等式（一）絕對值的概念五、一元二次不等式1.定義：含有個未知數且未知數的最高次數是的不等式。1.絕對值的含義：在上，任

13、意一個數所對應的點到的叫做該數的絕對值。2.一般形式：或，其中。2.正數的絕對值是，負數的絕對值是它的數，0 的絕對值是。3.一元二次不等式在各種情況下的解集：3.任意實數的絕對值是數，任意兩個相反數的絕對值。5_,( x _ 0)4. 絕對值的符號表示：| x | _ 0,| x |_,( x _ 0)_,( x _ 0)5. 將方程 | x | 2 的解表示在數軸上：3 2 10123x將不等式 | x |2的解表示在數軸上：321 0123x將不等式 | x |2的解表示在數軸上：321 0123x（二）含絕對值的不等式1. 解題步驟：（1）將不等式化為含有絕對值的不等式的一般形式，即

14、| x | c 或 | x | c ； | x b |c 或 | xb | c ； | ax b |c 或 | ax b | c 。一般形式為：不等號左側是，右側是。（2）去掉絕對值符號，解出不等式：含絕對值0)| x | >c(c0)| x |< c(c的不等式描述法：描述法：解集區間表示：區間表示：數軸表示0x0x含絕對值0)| xb |> c(c0)| x b |< c(c的不等式去符號含絕對值0)| axb | > c(c0)| ax b | < c(c的不等式去符號第三章函數一、函數的概念（一）函數的概念1. 概念：在某一個變化過程中有個變量和，設

15、變量的取值范圍為，如果對于內的每一個值，按照某個，都有的值與它對應，那么把叫做，把叫做的。記作：。2. 明確：（1）x 叫做，它的取值范圍是叫做函數的；（2）y = f ( x ) 叫做；xx0 時，函數 yf ( x) 對應的值 y0 叫做函數在點 x0 處的；記作：。的集合叫做函數的。（3）函數定義中的兩個要素是和。3. 函數定義域的求法：如果函數的對應法則是用代數式表示的，那么函數的定義域就是使得這個代數式的的取值范圍。（1）當 f (x) 為整式時，函數的定義域是；（2）當 f (x) 為分式時，函數的定義域是；（3）當 f (x) 為偶次根式時，函數的定義域是；（4）分段函數的定義域

16、是各段自變量取值集合的；（5）當函數是實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使解析式有意義，還要考慮自變量的。4. 函數值及值域的求法：（1）求函數值：只要將x 的各個值函數解析式中進行即可；（2）求函數的值域：所有函數值組成的集合。（二）函數的表示法1. 解析法：利用表示函數的方法叫做解析法。6這個叫做函數的。【明確】求函數解析式的常用方法：待定系數法：已知函數的類型，可根據函數類型設其解析式，再由其他已知條件確定其系數。正比例函數的一般形式：；反比例函數的一般形式：；一次函數的一般形式：；二次函數的一般形式：。2.列表法：利用表示函數的方法叫做列表法。3.圖像法：利用表示函數的方法叫做圖像法。

17、（1）函數的圖像：在中，以函數 yf ( x) 的自變量 x 為坐標，函數值 y 為坐標的點的集合。【明確】圖像上每一點的坐標(x, y) 都函數解析式 y f ( x) ；以 yf ( x) 的每一組對應值 x，y 為坐標的點 ( x, y) 都。（2）作函數圖像常用的方法：。其步驟是：；。二、函數的性質A 函數的單調性（一）函數的單調性的概念：隨著的而（或）的性質叫做函數的單調性。設函數 yf (x) 在(a,b) 內有意義。如果對任意的 x1 ， x2(a,b) ，當時，（1）都有成立，那么函數 yf ( x) 叫做內的增函數，叫做函數 yf ( x) 的；（2）都有成立，那么函數 yf

18、 ( x) 叫做內的減函數，叫做函數 yf ( x) 的；如果函數 yf ( x) 在區間 ( a, b) 內是增函數或減函數，那么稱函數在區間(a,b) 內具有，區間 (a, b) 叫做函數 yf (x) 的。（二）函數的單調性的理解：1. 函數的單調性是與緊密相關的，即函數的。一個函數在定義域內的不同區間內可以有的單調性。2. 注意關鍵詞：（1）對“任意”的“ x1 ， x2(a, b) ”，即取特殊值，且必須；（2）“都有”即只要就一定有或。3.不是所有函數都有單調性：函數是沒有單調性的；有些函數在整個定義域內是單調性的；有些函數在整個定義域的不同區間上的單調性；有些函數在整個定義域的不

19、同區間上的單調性。（三）函數的單調性的圖像特點：對于給定區間上的函數yf (x) ，1.函數圖像從到，則稱函數在該區間上單調遞增是增函數；2.函數圖像從到，則稱函數在該區間上單調遞減是減函數。（四）判斷函數的單調性：1.圖像法：作出函數的，根據圖像的判斷函數的單調性。2. 定義法：根據函數的單調性的定義判斷函數的單調性。其步驟為：（1）設定自變量：設；（2）作差變形： 作，并通過、等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形；（3）確定大小：確定與的大小；（4）得出結論：根據得出結論。（五）函數的單調性的應用：1. 根據比較的大小；2. 根據比較的大小；3. 在給定區間內求函數的值或值。B函數的奇偶

20、性（一）函數的奇偶性的概念：設函數 yf (x) 的定義域為 D，如果對于任意的x D ，都有，則（1），那么函數 yf ( x)叫做偶函數；（2），那么函數 yf ( x)叫做奇函數。7（二）函數的奇偶性的理解：1. 函數按奇偶性可分為：、和。2. 討論函數的奇偶性的一個前提條件：函數的。（1）若函數的，再討論；（2）若函數的，則這個函數。（3）函數是既奇又偶函數。（三）函數的奇偶性的圖像特點：1.如果一個函數是偶函數，則這個函數的圖像；如果一個函數的圖像，則這個函數是偶函數。2.如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖像；如果一個函數的圖像，則這個函數是奇函數。3. 一般地，設點 P(a, b

21、) 為平面內的任意一點，則（1）點 P(a,b) 關于 x 軸的對稱點的坐標為；（2）點 P(a,b) 關于 y 軸的對稱點的坐標為；（3）點 P(a,b) 關于原點 O 的對稱點的坐標為。（四）判斷函數的奇偶性：1. 圖像法：作出函數的，根據圖像的判斷函數的奇偶性。2. 定義法：根據函數的奇偶性的定義判斷函數的奇偶性。其步驟為：（1）求出函數的；（2）判斷定義域的對稱性： 若定義域，則函數為； 若定義域，則進行；（3）比較 f ( x) 與 f ( x) ：確定，則函數為；或，則函數為；或，則函數為。3. 在公共定義域內：（1）若函數解析式中只含有x 的偶次方，則函數為函數；（2）若函數解析

22、式中只含有x 的奇次方，且，則函數為函數；若函數解析式中只含有x 的奇次方，且，則函數為函數。（五）函數的奇偶性的應用：1. 利用函數圖像的對稱性解決問題；2. 求函數關于原點對稱的區間上的函數值或解析式；3. 函數的奇偶性與單調性的綜合問題：主要體現在兩個重要的性質；（1）奇函數在關于原點對稱的區間上的單調性；（2）偶函數在關于原點對稱的區間上的單調性。三、函數的實際應用舉例（一）分段函數1. 定義：函數在自變量的取值范圍內，需要用的來表示，這種函數叫做分段函數。2. 分段函數的定義域：就是自變量的各個不同取值范圍的。3. 分段函數的圖像：在同一個坐標系中，分別在自變量的各個不同的取值范圍內

23、，根據相應的式子作出相應部分的圖像。（二）函數的實際應用1. 關鍵問題：（1）根據已知條件建立；（2）進行最值計算。（3）函數的定義域要受到的制約。2. 主要類型：（1）圖形的面積：矩形的面積： S；圓的面積： S。（2）營銷問題：成本 =；收入 =；利潤 =。8第四章指數函數與對數函數一、實數指數冪（一） n 次方根：一般地，如果（ nN * 且 n1 ），那么 x 叫做 a 的 n次方根。1. 當 n 為偶數時：正數 a 的偶次方根有個，分別用和表示，其中叫做 a 的 n 次算術根；負數的 n 次方根。2.當 n 為奇數時：實數 a 的奇次方根只有個，記作。3.無論 n 為奇數還是偶數，零

24、的n 次方根是。（二） n 次根式：形如（ nN *且 n1 ）的式子叫做 a 的 n 次根式，其中， n 叫做， a 叫做。（三）整數指數冪：當 nN * 且 a0 時，an_ ； a n_；a0_； 。（四）分數指數冪：利用分數指數冪來表示。mmm1.規定： a n_ ；當 a n 有意義，且 a0 時， a n_ 。其中： m,nN* ，且 n1 .1111a 2_ ； a 3_ ； a 2_ ； a 3_ 。2.當 n 為奇數時， a 的取值范圍是；當 n 為偶數時， a 的取值范圍是。（五）實數指數冪的運算法則：a0 ， p, qRa paq_； a p_ ； (a p ) q_；

25、(ab) p_。a q二、對數（一）對數定義：如果abN （ a0, a1），那么 b 叫做，記作，其中 a 叫做，N 叫做。（二）指數式與對數式：形如的式子叫做指數式；形如的式子叫做對數式。當 a0 且 a1， N0 時，在下式中標出相應字母與名稱：_log _ _（三）常用對數與自然對數：1.常用對數：以為底的對數叫做常用對數，簡記為；2.自然對數：以為底的對數叫做自然對數，簡記為。（四）對數的性質： a0且 a 11.log a 1_ ， loga a_ ， log a a n_ ；2.lg 1_ ， lg 10_ ，；3.ln 1_ ， ln e_ ， ln en_ ；4.N _ 0

26、，即和沒有對數 .（五）對數的運算法則：a 0 且 a1， M0 ， N01.lg( MN ) _ _ ， lg M_ _ ，_， lg 1Nlg M n_ ；N2.ln( MN ) _ _ ， ln M_ _ ，Nln M n_ ， ln 1_ ；N3.log a (MN ) _， log aM_ _ ，Nn1，log a M_ _ ， log a N_ _log a nam_ _ 。9三、冪函數、指數函數、對數函數（三）對數函數（一）冪函數1.概念：形如（a）的函數稱為對數函數。1.概念：形如（a）的函數稱為冪函數。【明確】對數函數的自變量是數，數是常數。【明確】冪函數的自變量是數，數是常

27、數。2.性質：2.性質：函數（1）定義域：看。定義域值域 當 a 是正整數時，； 當 a 是負整數時，；0 a 1a 1 當 a 是正分數，且分母為偶數，分子為奇數時，；底數當 a 是正分數，且分母為偶數，分子為偶數時，；當 a 是正分數，且分母為奇數時，； 當 a 是負分數時，。圖像（2）值域：由和決定。（3）單調性和奇偶性：看，具體問題，具體分析。（二）指數函數對數函數的圖像一定經過點。1.概念：形如（a）的函數稱為指數函數。在上是函數；在上是函數；【明確】指數函數的自變量是數，數是常數。單調性當 0x 1時， y；當 0x 1時， y；2.性質：當 x1時， y。當 x1時， y。函數定

28、義域值域奇偶性對數函數是函數。底數0a 1a 1（四）指數函數與對數函數的應用1.指數模型：，其中 c 為，a 為。一般情況下，已知起始數據，變化百分數和變化的時間求結果時，用指數模型。圖像2.對數的應用：一般情況下， 已知起始數據， 變化百分數和變化后的數據或數據變化的倍數，用對指數函數的圖像一定經過點。數求變化的時間。即 log變化百分數數據變化的倍數 。在上是函數；在上是函數；單調性當 x0 時， y；當 x0 時，；當 x0 時，。當 x0 時， y。奇偶性指數函數是函數。10第五章三角函數一、角的概念的推廣（一）任意角的概念1. 角的概念：一條繞著它的旋轉到另一位置形成的圖形叫做角。

29、旋轉開始的位置叫做角的，終止的位置叫做角的，端點叫做角的。正角：按方向旋轉所形成的角；負角：按方向旋轉所形成的角；零角：旋轉所形成的角。2. 終邊相同的角：與角終邊相同的角（包括角在內）都可以寫成。與角終邊相同的角有個。與角終邊相同的角所組成的集合為。3. 象限角和界限角：將角的與重合，與重合。（1）象限角：角的在的角就叫做第幾象限的角；第一象限的角的集合是：；第二象限的角的集合是：；第三象限的角的集合是：；第四象限的角的集合是：；銳角：，鈍角；【明確】銳角是第一象限的角，而第一象限的角是銳角；鈍角是第二象限的角，而第二象限的角是鈍角。（2）界限角：角的在的角就叫做界限角；直角：的角，平角：的

30、角，周角：的角。終邊在 x 軸正半軸上的角的集合是：；終邊在 x 軸負半軸上的角的集合是：；終邊在 x 軸上的角的集合是：；終邊在 y 軸正半軸上的角的集合是：；終邊在 y 軸負半軸上的角的集合是：；終邊在 y 軸上的角的集合是：。（二）弧度制1. 弧度制：（1）弧度：把等于長的所對的叫做 1 弧度的角。記作：或。【規定】正角的弧度為，負角的弧度為，零角的弧度為。（2）弧度制：以為單位來度量角的單位制叫做弧度制。（3）弧度的計算：公式：； 角度與弧度的轉換：，；1_ ,1(rad )_ _ 。2. 常用特殊角的弧度與角度之間的轉換：角度030456090120135150180弧度角度2102

31、25240270300315330360弧度二、三角函數（一）三角函數的定義1. 定義：一般地，設角是平面直角坐標系中的一個任意角，點為角上任意一點，點P 到的距離為且，那么角的正弦、余弦和正切分別定義為：sin_, cos_, tan_ 。2. 三角函數包括：、和。113. 三角函數的正負號：所在的點P的坐標costan象限sinxy第一象限第二象限第三象限第四象限【記憶要點】第一象限正，第二象限正，第三象限正，第四象限正。4. 特殊角三角函數值：2. 比例關系：。轉化：、。【明確】（1）單位圓：在平面直角坐標系中， 以為圓心，為半徑的圓叫做單位圓。（2）必須是同角才具備以上關系式。（3）角

32、的終邊與單位圓的交點P 的坐標為。（三）誘導公式1. 終邊相同的角的 同名三角函數值。2. 設角是第一象限的角（一般為090 ），則有030456090180270360弧度sincostan（二）同角三角函數的基本關系式1. 平方關系：。（1）轉化一：；當角是第、象限的角時，取號，即；當角是第、象限的角時，取號，即；若沒有說明角終邊所在象限，則。（1）轉化二：；當角是第、象限的角時，取號，即；當角是第、象限的角時，取號，即；若沒有說明角終邊所在象限，則。12（四）三角函數的圖像和性質1. 正弦函數：（1）解析式：；2. 余弦函數：（1）解析式：；（2）定義域：；（2）定義域：；（3）值 域：；（3）值 域：；（4）周期性：周期性，最小正周期是；（4）周期性：周期性，最小正周期是；（5）單調性：（5）單調性：正弦函數在每一個區間(kZ ) 上分別是增函數，函數值(kZ ) 上分別是增函數，函數值由增大到；