1、概率論與數理統計期末考試試題（A）專業、班級：姓名：學號：題號一二二四五六七八九十一十二總成績得分、單項選擇題(每題3分共18分)1 . D 2. A 3. B 4, A5. A 6. B(1)(2)設隨機變量X其概率分布為則 PX 1.5()。(A)0.6(B) 1(C) 0X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4(D)(3)設事件A1與A2同時發生必導致事件A發生，則下列結論正確的是(A)P(A)P(A1A2)(B)P(A)P(A1)P(A2)1(C)P(A)P(A1 A2)(D)P(A)P(A1)P(A2)1(4)設隨機變量 XN( 3, 1), Y N(2, 1),且X與

2、Y相互獨立，令 Z X 2 Y 7,則 Z().(A) N(0, 5);(B) N(0, 3);(C) N(0, 46);(D) N(0, 54).(5)設X1X2， ,Xn為正態總體N(未知，則()是一個統計量n(A)Xi22(B)1 1(C) X(D)2)的一個簡單隨機樣本，其中2n2 (Xi )i 1X設樣本Xi,X2, ,Xn來自總體XN(, 2), 2未知。統計假設為H0：0( 0已知)Hi：0。則所用統計量為()(A)U X7(B) T 上萬,nS nf1© 2 (n 1對zD 21 n2(C)2(D)2(Xi)i 1二、填空題(每空3分共15分)1 4. t(9)xex

3、 x 02 c1. P(B) 2. f (x), 3e 3.0x 0P(A),則 P(B|A)(1)如果 P(A 0, P(B) 0, P(AB)(2)設隨機變量X的分布函數為0, F(x) 1 (1x x)e x, x0, 0.則X的密度函數f(x)P(X 2)(3)XiX9(4)設總體X和Y相互獨立，且都服從N(0,1) , Xi,X2, X9是來自總體X的樣本，丫1,丫2, X是來自總體Y的樣本，則統計量服從 分布(要求給出自由度)。三、(6 分)設 A, B 相互獨立，P(A) 0.7, P(A B) 0.88,求 P(A B).解： 0.88=P(A B) P(A) P(B) P(A

4、B)= P(A) P(B) P(A)P(B) (因為A, B相互獨立).2分= 0.7 P(B) 0.7P(B)3 分則P(B) 0.6 .4 分P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)0.7 0.7 0.6 0.28 6 分四、(6分)某賓館大樓有4部電梯，通過調查，知道在某時刻 T,各電梯在 運行的概率均為0.7,求在此時刻至少有1臺電梯在運行的概率。解：用X表示時刻T運行的電梯數，則Xb(4, 0.7).2分所求概率P X 11 P X 04分1 C0(0.7)0(1 0.7)4=0.9919 .6 分五、xe(6分)設隨機變量X的概率密度為f(x)0,求隨機變量Y

5、=2X+1的概率密度。解：因為y 2x 1是單調可導的，故可用公式法計算 .1分當X 0時，Y 1 .2分y 11由 y 2x1, 得 x , x' 4 分22.5分從而Y的密度函數為fY(y).6分六、(8分)已知隨機變量X和Y的概率分布為X101Y01P111P1142422而且 P XY 0 1.(1)求隨機變量X和Y的聯合分布；(2)判斷X與Y是否相互獨立？解：因為P XY 01 ,所以P XY 00(1)根據邊緣概率與聯合概率之間的關系得出1V-10x011400121 40121214124(2)因為 P X0,Y00 P X0 P Y一C 1102 214.4分所以 X與

6、Y不相互獨立七、(8分)設二維隨機變量(Xf (x, y)求：(1) P(0 X 1,0 Y解：(1) P(0 X1,0 Y 2)1 3x 2 4y .0 3e dx 04e dy=1 e31 e8(2)fx(x)12e (3x4y)dy3e3x x 00 x 0,Y)的聯合密度函數為12e (3x 4y), x 0,y 0,0,其他.2) ; (2)求X的邊緣密度。1 2dx 12e (3x 4y)dy .2 分003x 1 4y 2e 0 e 0.4分.6 分.8 分八、（6分）一工廠生產的某種設備的壽命 X （以年計）服從參數為1的指數分 4布。工廠規定，出售的設備在售出一年之內損壞可予

7、以調換。 若工廠售出一臺設 備盈利100元，調換一臺設備廠方需花費300元，求工廠出售一臺設備凈盈利的 期望。解:因為X e(1)4得 f (x).2分用Y表示出售一臺設備的凈盈利100 Y100 300所以P(Y100)200EY1164dxx14 .-e 4dx41100 e 4200) (11e 4).4分1300e 4 20033.64 (元).6分九、(8分)設隨機變量X與Y的數學期望分別為2和2,方差分別為1和4,而相關系數為 0.5,求E(2X Y), D(2X Y)。解：已知 EX 2, EY 2, DX 1, DY 4, XY 0.5則 E(2X Y) 2EX EY 2 (

8、2) 26.4 分D(2X Y) D(2X) DY 2cov(2X,Y).5 分2DX DY 4 cov( X, Y).6 分2DX DY 4VDXVDY xy=12 .8 分十、（7分）設供電站供應某地區1 000戶居民用電，各戶用電情況相互獨立。已 知每戶每日用電量（單位：度）服從0, 20上的均勻分布，利用中心極限定 理求這1 000戶居民每日用電量超過10 100度的概率。（所求概率用標準正 態分布函數（x）的值表示）.解：用Xi表示第i戶居民的用電量，則XiU 0,20_20 20（20 0）100今EX i 10 DX i 2萬2 1231000則1000戶居民的用電量為X Xi,

9、由獨立同分布中心極限定理i 1P X 101001 P X 101003 分X 1000 P 1010100 1000 10100、100031001000310100 1000 10()1001000 13.6分卜一、（7 分）設 Xi,X2,4是取自總體X的一組樣本值,X的密度函數為其中 0未知，求解：最大似然函數為、（1）xf （x）0,的最大似然估計,0x1, 其他，nL(Xi, Xn, ) f (Xi)i 1(1)Xi.2分=(1)n(X1,Xn)In L(xi,xn, ) nln( 1)ln(xi,Xn)0 Xi, Xn 1 .4分a d In L n令 ln(x1,xn) 0.5 分d1于是的最大似然估計：lnln(xi,xn)十二、(5分)某商店每天每百元投資的利潤率 X N( ,1)服從正態分布，均值為,長期以來方差2穩定為1,現隨機抽取的100天的利潤，樣本均值為x 5,試求 的置信水平 為95%的置信區間。