1、函數展開成冪級數函數展開成冪級數 由于冪級數在收斂域內確定了一個和函數，因此我們就有可能利用冪級數來表示函數。如果一個函數已經表示為冪級數，那末該函數的導數、積分等問題就迎刃而解。一、泰勒級數一、泰勒級數上節例題上節例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級數在其收斂存在冪級數在其收斂域內以域內以f(x)為和函數為和函數問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數在什么條件下才能展開成冪級數?定定理理 1 1 如如果果函函數數)(xf在在)(0 xU 內內具具有有任任意意

2、階階導導 數數, , 且且在在)(0 xU 內內能能展展開開成成)(0 xx 的的冪冪級級數數, , 即即 nnnxxaxf)()(00 則則其其系系數數 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 且且展展開開式式是是唯唯一一的的. . 證明證明即即內內收收斂斂于于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010逐項求導任意次逐項求導任意次,得得 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即即得得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系數泰

3、勒系數泰勒系數是唯一的泰勒系數是唯一的,.)(的展開式是唯一的的展開式是唯一的xf 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導處任意階可導, ,則冪級數則冪級數nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的泰勒級數泰勒級數. .nnnxnf 0)(!)0(稱稱為為)(xf在在點點0 x的的麥麥克克勞勞林林級級數數. .問題問題nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 泰勒級數在收斂區間是否收斂于泰勒級數在收斂區間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.定義定義 0, 00,)(21xxexfx例如例如在在x=0點任意可導點任意可導,), 2 , 1 , 0(0)0(

4、)( nfn且且 00)(nnxxf的的麥麥氏氏級級數數為為. 0)(),( xs內和函數內和函數該級數在該級數在).()(,0 xfxfx于于的麥氏級數處處不收斂的麥氏級數處處不收斂外外除除 定定理理 2 2 )(xf在在點點0 x的的泰泰勒勒級級數數, ,在在)(0 xU 內內收收斂斂于于)(xf在在)(0 xU 內內0)(lim xRnn. .證明證明必要性必要性,)(能展開為泰勒級數能展開為泰勒級數設設xf)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn )()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 充分性

5、充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒級數收斂于的泰勒級數收斂于定定理理 3 3 設設)(xf在在)(0 xU上上有有定定義義, ,0 M, ,對對),(00RxRxx , ,恒恒有有 Mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,則則)(xf在在),(00RxRx 內內可可展展開開成成點點0 x的的泰泰勒勒級級數數. .證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收收斂斂在在 nn

6、nxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故),(00RxRxx .0的泰勒級數的泰勒級數可展成點可展成點x二、函數展開成冪級數二、函數展開成冪級數1.1.直接法直接法( (泰勒級數法泰勒級數法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討討論論).(xf斂斂于于則則級級數數在在收收斂斂區區間間內內收收例例1.)(展展開開成成冪冪級級數數將將xexf 解解,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me nx

7、xnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的的冪冪級級數數展展開開成成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x例例3.)()1()(的的冪冪級級數數展展開開成成將將xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1

8、, 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R若設若設內內在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利利用用)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 即即,)1

9、ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2留意留意: :.1的取值有關的取值有關處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(1 收收斂斂區區間間為為;1 , 1(11 收收斂斂區區間間為為.1 , 11 收收斂斂區區間間為為牛頓二項式展開式牛頓二項式展開式有有時時當當,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘2.2

10、.間接法間接法根據唯一性根據唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過變量代換通過變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積分逐項積分,復合復合等方法等方法,求展開式求展開式.例如例如)(sincos xx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x例例4處處展展開開成成泰泰勒勒級級數數在在將將141)( xxxxf).1()1()(nfx并并求求的的冪冪級級數數展展開開成成 解解)1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是,31n .3!)1()(nnnf 故故三、小結三、小結1.如何求函數的泰勒級數如何求函數的泰勒級數;2.泰勒級數收斂于函數的條件泰勒級數收斂于函數的條件;3.函數展開成泰勒級數的方法函數