1、高等數學測試題（九）級數部分（答案）一、選擇題（每小題 4分，共20分）oO1、若級數an an發散，則（a） n =4A 可能 liman=0,也可能 liman#0B 必有 liman#0n .n .n w ;C 必有 lim an =00n_ nD 必有 lim an =02、下列級數中，條件收斂的是（C ）n nA 、(一1):n4 n 1二一B 、' (-1) 二nw nJ(-1)nn 11n二 n 1D1-1)n-3n 1n13、級數 £ (-1)n (p >0)的斂散情況是(A ) nmnpA p >1時絕對收斂，p M1時條件收斂B p <1

2、時絕對收斂，p之1時條件收斂C p <1時發散，p >1時收斂 D 對任彳sj p >0時絕對收斂I xcos4、將函數f(x)=0展開成余弦級數時，應對 f(x)進行(B周期為)21的延拓周期為的延拓5、在 x <1時,ln(1 -x)ln1 -X二、填空題(每小題“1廣 n 1oO z n 1收斂4、函數：x ： 12偶延拓奇延拓C 1n(x -1) D -1 nx - 1)4分，共20分)un (un >0),當 un >un Jim un 0 時，該級數收斂。n 尸：(a >0)的斂散情況是 當0<aE1時發散，當a>13工(1)n

3、.二的收斂域是(1,111 (x -1)nf(x)= 展開成 x-1的哥級數是 1Z -1-3-x2n-2n5、將函數f(x)=x2在-鞏n上展開成傅立葉級數， 傅立葉系數bn是0三、解答題（共60分） 11、（6分）判斷級數 -=-2 -1+ -.21.3-131+111的斂散性解：將原級數加括號使之成為_) (-.2 -12 13 -1.3 1)111(,'n -1,1 n 1)1"令bn =,n -1. n 1 n -1一二 2 二 1 二 1而 工 =2£ =2£ 發散，由級數的性質知，原級數發散。nW n -1n=2n -1n =1n的斂散性、n

4、 - n - n2、(6分)判斷級數 n nw 2n -1解：由 lim un =lim n n 二 2n -11 n 1=lim 一史1 = 一。0 知n 122 -n級數不滿足收斂的必要條件，所以級數發散,/ - 3nLnn3、（6分）判斷級數 Z -的斂散性 n 1 n!解：由比較判別法3n1L(n 1)n1lim un-1 = lim (nn 1)=lim 3(1 -)n = 3e . 1n-unn :3 |nnnn!故原級數發散。7 n(n J.)4、(6分)判斷級數 Z (-1)k()n的斂散性 n.2n 1解：考慮已給級數的絕對值級數 £ ()n ,由根值判別法 n 2

5、n-1lim ；，(一n)n = lim n- = <1,故原級數絕對收斂。.2n -1 n = 2n -12o0 An -1 . 一 5、(10分)求級數 Z 的和nX斛：因為 e=E,令其中n=D n!n=2 n! 一 j 1x = 1,得 e = £ 一,則 n=o n!11 1- 1- 1“ U = % 一_'、-1-1 -e -1-2) =e-1-(e-2)=1 n=2n!n=2(nT)!n=2n!men!nzon!.二 12n6、(16分)求級數 Z (-1) (1+)x 的收斂區間與和函數 f (X)n 1n(2n _ 1)叩 L” (n 1)(2n 1)

6、 1i n(2n -1)口2斛：因為lim-l_ =1,所以當 x 父1時，原級n ':(n 1)(2n 1) n(2n -1) 1數絕對收斂，當X2A1時，原級數發散，因此，原級數的收斂半徑為1,收斂區間為(1,1)。(11S(x)1 xn,X (-1,1)5 JU尸加工S (x) =、 xn1 2n 1S (x)(-1)n,x2nNn 1,X (-1,1)1/，x (-1,1)由于 S(0) =0 , S(0) =0所以S(x) =x0S (t)dt =xS(x) = 0S(t)dt =x 1 dt = arctan x0 1 t2x12arctan xdt = x arctan x - - ln(1 x )022又 “ (-1)nlx2n=' , x (-1,1) nm1 x從而22x2 xf (x) = 2S(x) 2 = 2x arctanx Tn(1 x ) ,2 , x (-1,1)1 x1 x7、(10分)將 f(x)=x2在-飛元上展開為傅立葉級數，并由此推導等式 "(-112解：因為f(x)=x2在T,n上是偶函數，則bn=0 (n =1,2,|l|)a01 二.二一 f (x)dx :2二2an1 二一、 ,=一 f(x)cosnxdx =2 二x2cosnxdx二.04r(-